De todas as intermináveis perguntas que crianças e matemáticos fizeram sobre o infinito, uma das mais fascinantes tem a ver com seu tamanho.
No final do blockbuster da Marvel Vingadores: Ultimato, um holograma pré-gravado de Tony Stark se despede de sua filha dizendo: “Eu te amo 3.000”. O momento tocante ecoa uma cena anterior em que os dois estão envolvidos no ritual brincalhão da hora de dormir para quantificar seu amor um pelo outro. De acordo com Robert Downey Jr., o ator que interpreta Stark, a fala foi inspirada em trocas semelhantes com seus próprios filhos.
O jogo pode ser uma maneira divertida de explorar grandes números:
“Eu te amo 10.”
“Mas eu te amo 100.”
“Bem, eu te amo 101!”
Foi exatamente assim que “googolplex” se tornou uma palavra popular em minha casa. Mas todos nós sabemos onde esse argumento acaba levando:
“Eu te amo infinitamente!”
“Oh sim? Eu te amo infinito mais 1!”
Seja no playground ou na hora de dormir, as crianças encontram o conceito de infinito muito antes da aula de matemática e, compreensivelmente, desenvolvem um fascínio por esse conceito misterioso, complicado e importante. Algumas dessas crianças crescem e se tornam matemáticos fascinados com o infinito, e alguns desses matemáticos estão descobrindo coisas novas e surpreendentes sobre o infinito.
Você pode saber que alguns conjuntos de números são infinitamente grandes, mas você sabia que alguns infinitos são maiores que outros? E que não temos certeza se existem outros infinitos entre os dois que conhecemos melhor? Os matemáticos vêm refletindo sobre essa segunda questão há pelo menos um século, e alguns trabalhos recentes mudaram a maneira como as pessoas pensam sobre o assunto.
Para resolver questões sobre o tamanho de conjuntos infinitos, vamos começar com conjuntos que são mais fáceis de contar. Um conjunto é uma coleção de objetos, ou elementos, e um conjunto finito é apenas um conjunto que contém um número finito de objetos.
Determinar o tamanho de um conjunto finito é fácil: basta contar o número de elementos que ele contém. Como o conjunto é finito, você sabe que eventualmente parará de contar e, quando terminar, saberá o tamanho do seu conjunto.
Essa estratégia não funciona com conjuntos infinitos. Aqui está o conjunto dos números naturais, que é denotado ?. (Alguns podem argumentar que zero não é um número natural, mas esse debate não afeta nossas investigações sobre o infinito.)
N={0,1,2,3,4,5,?}
Qual o tamanho desse conjunto? Como não há maior número natural, tentar contar o número de elementos não funcionará. Uma solução é simplesmente declarar o tamanho desse conjunto infinito como “infinito”, o que não é errado, mas quando você começa a explorar outros conjuntos infinitos, percebe que também não está certo.
Considere o conjunto de números reais, que são todos os números exprimíveis em uma expansão decimal, como 7, 3,2, ?8,015, ou uma expansão infinita como √2=1,414213… Como todo número natural também é um número real, o conjunto dos reais é pelo menos tão grande quanto o conjunto dos números naturais e, portanto, também deve ser infinito.
Mas há algo insatisfatório em declarar que o tamanho do conjunto dos números reais é o mesmo “infinito” usado para descrever o tamanho dos números naturais. Para ver por que, escolha dois números quaisquer, como 3 e 7. Entre esses dois números sempre haverá um número finito de números naturais: aqui estão os números 4, 5 e 6. Mas sempre haverá um número infinito de números reais entre eles, números como 3,001, 3,01, π, 4,01023, 5,666… e assim por diante.
Notavelmente, não importa quão próximos dois números reais distintos estejam um do outro, sempre haverá infinitos números reais entre eles. Por si só, isso não significa que os conjuntos dos números reais e dos números naturais tenham tamanhos diferentes, mas sugere que há algo fundamentalmente diferente nesses dois conjuntos infinitos que justifica uma investigação mais aprofundada.
O matemático Georg Cantor investigou isso no final do século 19. Ele mostrou que esses dois conjuntos infinitos realmente têm tamanhos diferentes. Para entender e apreciar como ele fez isso, primeiro temos que entender como comparar conjuntos infinitos. O segredo é um grampo das aulas de matemática em todos os lugares: funções.
Existem muitas maneiras diferentes de pensar sobre funções – notação de função como f(x)=x2+1, gráficos de parábolas no plano cartesiano, regras como “pegue a entrada e adicione 3 a ela” – mas aqui vamos pense em uma função como uma maneira de combinar os elementos de um conjunto com os elementos de outro.
Vamos tomar um desses conjuntos como ?, o conjunto dos números naturais. Para o outro conjunto, que chamaremos de S, pegaremos todos os números naturais pares. Aqui estão nossos dois conjuntos:
Existe uma função simples que transforma os elementos de – nos elementos de S: f(x)=2x. Esta função simplesmente duplica suas entradas, então se pensarmos nos elementos de – como as entradas de f(x) (chamamos o conjunto de entradas de uma função de “domínio”), as saídas sempre serão elementos de S. Para exemplo, f(0)=0, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6 e assim por diante.
Você pode visualizar isso alinhando os elementos dos dois conjuntos lado a lado e usando setas para indicar como a função f transforma entradas de – em saídas em S.
atribui exatamente um elemento de S para cada elemento de S. Isso é o que as funções fazem, mas f(x) faz isso de uma maneira especial. Primeiro, f atribui tudo em S a algo em N. Usando terminologia de função, dizemos que todo elemento de S é a “imagem” de um elemento de – sob a função f. Por exemplo, o número par 3.472 está em S, e podemos encontrar um x em – tal que f(x)=3.472 (ou seja, 1.736). Nessa situação, dizemos que a função f(x) mapeia – em S. Uma maneira mais elegante de dizer isso é que a função f(x) é “sobrejetora”. Seja qual for a descrição, o importante é o seguinte: como a função f(x) transforma entradas de – em saídas em S, nada em S é perdido no processo.
A segunda coisa especial sobre como f(x) atribui saídas a entradas é que dois elementos em – não são transformados no mesmo elemento em S. Se dois números são diferentes, então seus duplos são diferentes; 5 e 11 são números naturais diferentes em N, e suas saídas em S também são diferentes: 10 e 22. Neste caso dizemos que f(x) é “1-para-1” (também escrito “1-1”) , e descrevemos f(x) como “injetivo”. A chave aqui é que nada em S é usado duas vezes: cada elemento em S é emparelhado com apenas um elemento em N.
Essas duas características de f(x) combinam-se de maneira poderosa. A função f(x) cria um casamento perfeito entre os elementos de – e os elementos de S. O fato de f(x) ser “onto” significa que tudo em S tem um parceiro em N, e o fato de f(x) ) é 1 para 1 significa que nada em S tem dois parceiros em N. Em suma, a função f(x) emparelha cada elemento de – com exatamente um elemento de S.
Uma função que é tanto injetiva quanto sobrejetora é chamada de bijeção, e uma bijeção cria uma correspondência de 1 para 1 entre os dois conjuntos. Isso significa que cada elemento em um conjunto tem exatamente um parceiro no outro conjunto, e essa é uma maneira de mostrar que dois conjuntos infinitos têm o mesmo tamanho.
Como nossa função f(x) é uma bijeção, isso mostra que os dois conjuntos infinitos – e S são do mesmo tamanho. Isso pode parecer surpreendente: afinal, todo número natural par é ele mesmo um número natural, então – contém tudo em S e mais. Isso não deveria fazer – maior que S? Se estivéssemos lidando com conjuntos finitos, a resposta seria sim. Mas um conjunto infinito pode conter completamente outro e eles ainda podem ter o mesmo tamanho, da mesma forma que “infinito mais 1” não é realmente uma quantidade maior de amor do que o velho “infinito”. Esta é apenas uma das muitas propriedades surpreendentes dos conjuntos infinitos.
Uma surpresa ainda maior pode ser que existam conjuntos infinitos de tamanhos diferentes. Anteriormente exploramos as diferentes naturezas dos conjuntos infinitos de números reais e naturais, e Cantor provou que esses dois conjuntos infinitos têm tamanhos diferentes. Ele o fez com seu brilhante e famoso argumento diagonal.
Como existem infinitos números reais entre quaisquer dois reais distintos, vamos nos concentrar por enquanto nos infinitos números reais entre zero e 1. Cada um desses números pode ser pensado como uma expansão decimal (possivelmente infinita), como esta.
e assim por diante são apenas os dígitos do número, mas exigiremos que nem todos os dígitos sejam zero para não incluir o próprio número zero em nosso conjunto.
O argumento diagonal começa essencialmente com a pergunta: O que aconteceria se existisse uma bijeção entre os números naturais e esses números reais? Se tal função existisse, os dois conjuntos teriam o mesmo tamanho e você poderia usar a função para combinar cada número real entre zero e 1 com um número natural. Você pode imaginar uma lista ordenada de correspondências, como esta.
A genialidade do argumento diagonal é que você pode usar essa lista para construir um número real que não pode estar na lista. Comece a construir um número real dígito por dígito da seguinte maneira: Faça o primeiro dígito após o ponto decimal algo diferente de a1, faça o segundo dígito algo diferente de b2, faça o terceiro dígito algo diferente de c3 e assim por diante.
Este número real é definido por sua relação com a diagonal da lista. Está na lista? Não pode ser o primeiro número da lista, pois tem um primeiro dígito diferente. Nem pode ser o segundo número da lista, pois tem um segundo dígito diferente. Na verdade, não pode ser o enésimo número nesta lista, porque tem um enésimo dígito diferente. E isso é verdade para todo n, então esse novo número, que está entre zero e 1, não pode estar na lista.
Mas todos os números reais entre zero e 1 deveriam estar na lista! Essa contradição surge da suposição de que existe uma bijeção entre os números naturais e os reais entre zero e 1 e, portanto, tal bijeção não pode existir. Isso significa que esses conjuntos infinitos têm tamanhos diferentes. Um pouco mais de trabalho com funções (veja os exercícios) pode mostrar que o conjunto de todos os números reais é do mesmo tamanho que o conjunto de todos os reais entre zero e 1, e assim os reais, que contêm os números naturais, devem ser um conjunto infinito maior.
O termo técnico para o tamanho de um conjunto infinito é sua “cardinalidade”. O argumento diagonal mostra que a cardinalidade dos reais é maior que a cardinalidade dos números naturais. A cardinalidade dos números naturais é escrita ?0, pronunciado “alef nada”. Em uma visão padrão da matemática, este é o menor cardinal infinito.
O próximo cardeal infinito é N1 (“alef um”), e uma pergunta simples deixou os matemáticos perplexos por mais de um século: N1 é a cardinalidade dos números reais? Em outras palavras, existem outros infinitos entre os números naturais e os números reais? Cantor pensou que a resposta era não – uma afirmação que veio a ser conhecida como a hipótese do continuum – mas não conseguiu provar. No início dos anos 1900, essa questão era considerada tão importante que, quando David Hilbert reuniu sua famosa lista de 23 importantes problemas abertos em matemática, a hipótese do continuum era a número um.
Cem anos depois, muito progresso foi feito, mas esse progresso levou a novos mistérios. Em 1940, o famoso lógico Kurt Gödel provou que, sob as regras comumente aceitas da teoria dos conjuntos, é impossível provar que existe um infinito entre os números naturais e os reais. Isso pode parecer um grande passo para provar que a hipótese do continuum é verdadeira, mas duas décadas depois o matemático Paul Cohen provou que é impossível provar que tal infinito não existe! Acontece que a hipótese do continuum não pode ser provada de uma forma ou de outra.
Juntos, esses resultados estabeleceram a “independência” da hipótese do continuum. Isso significa que as regras de conjuntos comumente aceitas simplesmente não dizem o suficiente para nos dizer se existe ou não um infinito entre os números naturais e os reais. Mas, em vez de desencorajar os matemáticos em sua busca pela compreensão do infinito, isso os levou a novas direções. Os matemáticos estão agora procurando novas regras fundamentais para conjuntos infinitos que possam explicar o que já se sabe sobre o infinito e ajudar a preencher as lacunas.
Dizer “Meu amor por você é independente dos axiomas” pode não ser tão divertido quanto dizer “eu te amo infinito mais 1”, mas talvez ajude a próxima geração de matemáticos amantes do infinito a ter uma boa noite de sono.
Exercícios
1. Seja T={1,3,5,7,…}, o conjunto dos números naturais ímpares positivos. T é maior, menor ou do mesmo tamanho que N, o conjunto dos números naturais?
2. Encontre uma correspondência de 1 para 1 entre o conjunto de números naturais, N, e o conjunto de inteiros Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
3. Encontre uma função f(x) que seja uma bijeção entre o conjunto dos números reais entre zero e 1 e o conjunto dos números reais maiores que zero.
4. Encontre uma função que seja uma bijeção entre o conjunto dos números reais entre zero e 1 e o conjunto de todos os números reais.
Resposta 1:
O mesmo tamanho. Você pode usar a função f(x)=2x+1 para transformar entradas de – em saídas em T, e isso é sobrejetivo (onto) e injetivo (1-1). Esta função é uma bijeção entre – e T, e como existe uma bijeção, os conjuntos têm o mesmo tamanho.
Resposta 2:
Uma maneira é visualizar a lista de pares correspondentes, assim:
Você também pode tentar definir uma função que corresponda aos elementos. Esta função,
f(n)={n+12?n2se n for ímpar se n for par
mapeia – para Z e é 1-1. Portanto, existem tantos números inteiros quanto números naturais, outro feito curioso do infinito.
Resposta 3:
Existem muitas possibilidades, mas uma simples é f(x)=x1?x. Todo número real positivo é a imagem sob f(x) de um número real entre zero e 1. Por exemplo, para descobrir qual número está emparelhado com, digamos, 102, basta definir 102=x1?x e resolver para x:
102=x1?x
102(1?x)=x
102=103x
x=102103
Observe que o x que encontramos está entre zero e 1, conforme necessário. Então, para qualquer número, como 102, podemos encontrar uma entrada que é mapeada nele, o que sugere que f(x) é sobrejetiva. Uma maneira de ver que f(x) também é injetiva (1-1) é fazendo um gráfico e observando que ela passa no teste da linha horizontal: toda linha horizontal no plano cartesiano passa pelo gráfico de f(x) no máximo uma vez , o que significa que nenhuma saída é usada duas vezes.
Resposta 4:
Existem muitas possibilidades, mas uma simples é f(x)=x1?x. Todo número real positivo é a imagem sob f(x) de um número real entre zero e 1. Por exemplo, para descobrir qual número está emparelhado com, digamos, 102, basta definir 102=x1?x e resolver para x:
102=x1?x
102(1?x)=x
102=103x
x=102103
Observe que o x que encontramos está entre zero e 1, conforme necessário. Então, para qualquer número, como 102, podemos encontrar uma entrada que é mapeada nele, o que sugere que f(x) é sobrejetiva. Uma maneira de ver que f(x) também é injetiva (1-1) é fazendo um gráfico e observando que ela passa no teste da linha horizontal: toda linha horizontal no plano cartesiano passa pelo gráfico de f(x) no máximo uma vez , o que significa que nenhuma saída é usada duas vezes.
Publicado em 01/10/2022 16h24
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