Muitos avanços complicados na matemática de pesquisa são estimulados pelo desejo de entender algumas das questões mais simples sobre números. Como os números primos são distribuídos nos números inteiros? Existem cubos perfeitos (como 8 = 23 ou 27 = 33) que podem ser escritos como a soma de dois outros cubos? De maneira mais geral, os matemáticos podem querer resolver uma equação. Mas muitas vezes é impossível fazer isso mexendo na própria equação. Em vez disso, os matemáticos encontram maneiras de conectar as soluções a estruturas extremamente abstratas cuja complexidade codifica seus segredos.
Nas últimas décadas, uma das linhas de pesquisa mais empolgantes da matemática seguiu essa forma. Envolveu a compreensão da relação entre certos tipos de equações polinomiais chamadas curvas elípticas e objetos mais esotéricos chamados formas modulares, que ganharam destaque na matemática em 1994, quando Andrew Wiles os usou para provar o Último Teorema de Fermat, um dos resultados mais celebrados do século XX. matemática.
Em janeiro passado, Ana Caraiani, do Imperial College London e da Universidade de Bonn, e James Newton, da Universidade de Oxford, abriram uma nova veia de pesquisa nessa área ao provar que uma relação que Wiles havia estabelecido entre curvas elípticas e formas modulares também vale para alguns objetos matemáticos chamados campos quadráticos imaginários.
Wiles provou que certos tipos de curvas elípticas são modulares – o que significa que existe uma forma modular específica que corresponde a cada curva – quando as duas variáveis e os dois coeficientes envolvidos na definição da curva são todos números racionais, valores que podem ser escritos como frações. Depois de seu trabalho, os matemáticos se esforçaram para estabelecer a modularidade em uma ampla variedade de contextos. Em 2001, quatro matemáticos provaram que todas as curvas elípticas são modulares sobre os números racionais (enquanto Wiles só havia provado isso para algumas curvas). Em 2013, três matemáticos, incluindo Samir Siksek, da Universidade de Warwick, provaram que as curvas elípticas também são modulares sobre campos quadráticos reais (o que significa que as variáveis e coeficientes são retirados de um sistema numérico chamado campo quadrático real).
À medida que os avanços aumentavam, um objetivo específico permanecia fora de alcance: provar que as curvas elípticas são modulares sobre campos quadráticos imaginários.
Os campos quadráticos são um trampolim matemático entre os números racionais e os números reais, que incluem todos os números decimais possíveis, mesmo aqueles com padrões infinitos à direita do ponto decimal que nunca se repetem. (Isso inclui todos os números irracionais, como √2 ou π.)
Os campos quadráticos escolhem algum inteiro – digamos, 5 – e incluem todos os números da forma a + b√5 onde a e b são números racionais. Se o inteiro em questão for positivo, o campo quadrático resultante é um subconjunto dos números reais, por isso é conhecido como um campo quadrático real.
E as curvas elípticas definidas sobre campos quadráticos imaginários – aquelas que são formadas pela raiz quadrada de um número negativo?
Esse é o problema que Caraiani e Newton enfrentaram.
Centenas de anos atrás, os matemáticos definiram a raiz quadrada de números negativos de maneira direta: eles deram um nome, i, à raiz quadrada de -1. Então a raiz quadrada de qualquer outro número negativo é apenas i vezes a raiz quadrada do número positivo correspondente. Então √-5 = i √5. Os números imaginários desempenham um papel crucial na matemática porque, para muitos problemas, são mais fáceis de trabalhar do que os números reais.
Mas provar que as curvas elípticas são modulares sobre campos quadráticos imaginários permaneceu fora de alcance, porque as técnicas para provar a modularidade sobre campos quadráticos reais não funcionam.
Caraiani e Newton alcançaram a modularidade – para todas as curvas elípticas em cerca de metade de todos os campos quadráticos imaginários – descobrindo como adaptar um processo para provar a modularidade pioneiro de Wiles e outros para curvas elípticas sobre campos quadráticos imaginários.
“É aí que entra o belo trabalho de Caraiani e Newton. Eles melhoraram o segundo passo de Wiles”, disse Chandrashekhar Khare, da Universidade da Califórnia, em Los Angeles.
O trabalho é uma conquista técnica por si só e abre as portas para o progresso em algumas das questões mais importantes da matemática no cenário imaginário.
Matchmaker, Matchmaker
Os matemáticos se preocupam com as soluções para equações polinomiais – combinações de variáveis elevadas a potências constantes – pelo menos desde os antigos gregos. As equações vêm em variedades infinitas, obtidas ajustando a quantidade de variáveis, os coeficientes dessas variáveis e as potências às quais são elevadas.
3x5 + x4 – 9x3 – 4x2 + x – 7 = 0 é apenas um exemplo.
Curvas elípticas são equações polinomiais que estão no nível ideal de dureza para investigação matemática. Existe uma fórmula organizada (e amplamente ensinada) para encontrar soluções para polinômios quadráticos em uma variável, na qual a maior potência é 2, mas não existe tal fórmula para soluções de polinômios em que a maior potência é 5 ou superior. Adicionar mais variáveis geralmente torna as coisas mais complicadas também. Mas curvas elípticas, que possuem duas variáveis e cuja maior potência é 3, como (y2 = x3 + 1), são desafiadores o suficiente para inspirar a invenção, sem serem tão difíceis que se sintam desesperados.
Uma das questões básicas sobre uma curva elíptica é se existem finitos ou infinitos pares racionais que a resolvem. Algumas curvas elípticas têm um número finito de soluções racionais, outras têm um número infinito e algumas não têm nenhuma.
“Eles têm esse tipo de comportamento intermediário engraçado”, disse Caraiani.
Se você receber uma curva elíptica aleatória, não ficará imediatamente evidente em qual categoria ela se encaixa. Mas é possível decodificá-lo emparelhando-o com um objeto correspondente chamado forma modular, cujas propriedades revelam a resposta.
Pegue-me um formulário modular
Formas modulares são funções estudadas em análise, uma forma avançada de cálculo. Eles são muito simétricos e muitas vezes podem ser transladados – deslocados para a esquerda ou para a direita – sem perder a aparência. Desta forma, eles têm características em comum com outras funções altamente simétricas, como a função seno, embora sejam menos simples de escrever ou visualizar.
Cada forma modular vem com coeficientes. Você pode escrevê-los, produzindo uma série de números. Esses números têm propriedades muito boas e parecem longe de serem aleatórios. Eles confundiram os matemáticos a partir do início do século 20, quando o gênio matemático Srinivasan Ramanujan começou a perceber que os padrões nos coeficientes de uma forma modular são explicados pelo fato de que cada forma modular está ligada a um segundo tipo de objeto chamado representação de Galois. O trabalho posterior confirmou o link.
As curvas elípticas também têm representações de Galois e, após o trabalho de Ramanujan, parecia possível que as representações de Galois pudessem ser interpoladas entre curvas elípticas e formas modulares: comece com uma, identifique sua representação de Galois, encontre a outra.
“Você meio que pensa: curvas elípticas, objetos de geometria, têm representações de Galois e formas modulares têm representações de Galois – existe uma correspondência?” Siksek disse.
No final dos anos 1950, Yutaka Taniyama e Goro Shimura propuseram que existe uma combinação perfeita de 1 para 1 entre certas formas modulares e curvas elípticas. Na década seguinte, Robert Langlands desenvolveu essa ideia na construção de seu amplo programa de Langlands, que se tornou um dos programas de pesquisa de maior alcance e consequências em matemática.
Se a correspondência de 1 para 1 for verdadeira, daria aos matemáticos um poderoso conjunto de ferramentas para entender as soluções para curvas elípticas. Por exemplo, há um tipo de valor numérico associado a cada forma modular. Um dos problemas em aberto mais importantes da matemática (prová-la com um prêmio de um milhão de dólares) – a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer – propõe que, se esse valor for zero, então a curva elíptica associada a essa forma modular tem infinitas soluções racionais, e se não for zero, a curva elíptica tem um número finito de soluções racionais.
Mas antes que qualquer coisa assim possa ser abordada, os matemáticos precisam saber que a correspondência é válida: dê-me uma curva elíptica e eu posso entregar a você sua forma modular correspondente. Provar isso é o que muitos matemáticos, de Wiles a Caraiani e Newton, têm feito nas últimas décadas.
Olhe através de seu livro
Antes do trabalho de Wiles, os matemáticos conseguiram provar uma direção da correspondência: em alguns casos, eles podiam começar com uma forma modular e encontrar sua curva elíptica correspondente. Mas ir na outra direção – que é o que os matemáticos querem dizer quando falam sobre curvas elípticas serem modulares – era mais difícil, e Wiles foi o primeiro a alcançá-lo.
“As pessoas anteriores sabiam como ir de uma forma modular para uma curva elíptica sob certas circunstâncias, mas essa direção inversa de elíptica para modular foi a que Wiles motivou”, disse Khare.
Wiles provou a modularidade para alguns tipos de curvas elípticas com coeficientes que são números racionais. Isso por si só foi suficiente para provar o Último Teorema de Fermat por meio de uma contradição. (Wiles provou que se o Último Teorema de Fermat fosse falso, isso implicaria na existência de uma curva elíptica que o trabalho anterior havia estabelecido que não pode existir. Portanto, o Último Teorema de Fermat deve ser verdadeiro.)
À medida que os matemáticos estenderam o trabalho de Wiles sobre curvas elípticas, eles seguiram o mesmo método que ele havia usado para provar seu resultado inicial.
Após o sucesso na generalização do resultado para números racionais e corpos quadráticos reais, a próxima extensão óbvia foi para campos quadráticos imaginários.
“Só podem acontecer duas coisas: o campo é real ou imaginário”, disse Caraiani. “O caso real já foi entendido, então é natural partir para o caso imaginário.”
Campos quadráticos imaginários têm as mesmas propriedades aritméticas básicas que os números racionais e reais, mas o método de Wiles não poderia ser transplantado para lá tão facilmente. Existem muitas razões pelas quais, mas em particular, as formas modulares sobre campos quadráticos imaginários são muito menos simétricas do que sobre os racionais e sobre os campos quadráticos reais. Essa relativa falta de simetria torna mais difícil definir suas representações de Galois, que são a chave para estabelecer uma correspondência com uma curva elíptica.
Durante anos após a prova de Fermat de Wiles, “o caso de campos quadráticos imaginários ainda estava além do que era possível”, disse Khare. Mas na última década, uma série de avanços preparou o caminho para o trabalho de Caraiani e Newton.
Traga-me um anel (ou melhor ainda, um campo)
O primeiro passo no método de Wiles foi estabelecer uma correspondência aproximada entre curvas elípticas e formas modulares. Os dois estão conectados por meio de representações de Galois que são codificadas em uma série de números originados exclusivamente em ambos os lados do emparelhamento.
Em última análise, você deseja mostrar que os números que definem as representações de Galois correspondem exatamente, mas nesta primeira etapa é suficiente mostrar que eles diferem por alguma margem de erro consistente. Por exemplo, você pode provar que uma série de números coincide se você pode adicionar ou subtrair múltiplos de 3 para ir de cada número ao seu número correspondente. Nesta luz, (4, 7, 2) combina com (1, 4, 5) ou com (7, 10, 8), mas não com (2, 8, 3). Você também pode dizer que eles correspondem se diferirem por múltiplos de 5, 11 ou qualquer número primo (por razões técnicas, mas importantes, a margem de erro sempre deve ser primo). Um artigo de 2019 de Patrick Allen, Khare e Jack Thorne forneceu esse tipo de apoio para o problema.
“Eles provaram teoremas que lhe dão um ponto de partida”, disse Newton.
Na mesma época em que o artigo de 2019 estava em andamento, um grupo de 10 matemáticos estava trabalhando para realizar etapas adicionais do método de Wiles para campos quadráticos imaginários. A colaboração começou durante uma semana passada no Instituto de Estudos Avançados e incluiu Allen e Thorne – coautores do artigo de 2019 – assim como Caraiani e Newton.
O primeiro objetivo do grupo foi estabelecer que as representações de Galois provenientes de formas modulares possuem um certo tipo de consistência interna. Essa propriedade – que é um pré-requisito para combiná-los com as representações de Galois provenientes de curvas elípticas – é chamada de compatibilidade local-global.
A colaboração de 10 pessoas conseguiu fazer isso em alguns casos especiais, mas não na maioria. À medida que a colaboração diminuía, Caraiani e Newton decidiram continuar trabalhando juntos para ver se podiam fazer mais.
“Estávamos em Londres ao mesmo tempo e gostamos de conversar sobre coisas que apareceram naquele projeto de 10 autores”, disse Caraiani. “Sabíamos quais eram os pontos críticos, quais eram as obstruções para ir mais longe.”
Noite após noite no escuro
Pouco depois de começarem a trabalhar sozinhos, Caraiani e Newton traçaram uma estratégia para ir além do trabalho que começaram com o grupo maior. Não parecia obviamente errado, mas eles também não tinham ideia se realmente funcionaria.
“Começamos com essa ideia otimista de que as coisas dariam certo, que poderíamos provar algo um pouco mais forte do que este artigo de 10 autores e, eventualmente, o fizemos”, disse Newton.
Caraiani e Newton trabalharam nessa ideia por dois anos e, no final de 2021, seu otimismo valeu a pena: eles melhoraram o resultado de compatibilidade local-global feito pela equipe de 10 autores. Eles descrevem como em uma longa seção técnica que compreende a primeira metade de seu trabalho final, que tem mais de 100 páginas.
“Sabíamos que assim que tivéssemos esta peça técnica instalada, a modularidade estaria em jogo”, disse Caraiani.
O primeiro passo do método de Wiles foi estabelecer uma espécie de modularidade aproximada. A segunda etapa foi o resultado da compatibilidade local-global. O terceiro passo foi pegar seu conhecimento de que pelo menos um pequeno número de curvas é modular e aproveitá-lo para provar que muitas curvas são modulares. Esse movimento foi possível devido ao que é chamado de teorema de levantamento de modularidade.
“Ele permite que você espalhe a modularidade por aí”, disse Newton. “Se você conhece a modularidade de alguma coisa, esse levantamento [de] coisas permite resgatar a modularidade de muitas outras coisas. Você meio que propaga essa propriedade de modularidade de uma maneira legal.”
Uma partida incomparável
A aplicação do teorema da elevação permitiu que Caraiani e Newton provassem a modularidade de infinitas curvas elípticas, mas ainda havia alguns casos extremos que eles não conseguiam obter. Essas eram algumas famílias de curvas elípticas com propriedades únicas que as tornavam inacessíveis ao teorema da elevação.
Mas como eram tão poucos, Caraiani e Newton podiam atacá-los manualmente – calculando suas representações de Galois uma a uma para tentar estabelecer uma correspondência.
“Lá nos divertimos calculando muitos e muitos pontos em algumas curvas”, disse Caraiani.
O esforço foi bem-sucedido, até certo ponto. Caraiani e Newton finalmente conseguiram provar que todas as curvas elípticas são modulares em cerca de metade dos campos quadráticos imaginários, incluindo aqueles campos formados pela combinação dos números racionais com a raiz quadrada de -1, -2, -3 ou -5. Para outros campos quadráticos imaginários, eles conseguiram provar a modularidade para muitas, mas não todas, curvas elípticas. (A modularidade dos holdouts permanece uma questão em aberto.)
Seu resultado fornece uma base para investigar algumas das mesmas questões básicas sobre curvas elípticas sobre campos quadráticos imaginários que os matemáticos perseguem sobre os racionais e os reais. Isso inclui a versão imaginária do Último Teorema de Fermat – embora seja necessário estabelecer fundamentos adicionais antes que isso seja acessível – e a versão imaginária da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer.
Mas se os matemáticos progredirem em qualquer um dos lugares, Caraiani não fará parte disso – pelo menos não por enquanto. Depois de anos trabalhando na modularidade das curvas elípticas, ela está pronta para tentar outra coisa.
“Se obtenho um resultado em uma direção, nem sempre gosto de continuar trabalhando apenas nessa direção”, disse ela. “Portanto, agora mudei meus interesses para algo com um sabor um pouco mais geométrico.”
Publicado em 09/07/2023 17h49
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