Durante décadas, os matemáticos procuraram um par específico de superfícies que não podem ser transformadas uma na outra no espaço quadridimensional. Agora eles os encontraram.
Na geometria e no campo intimamente relacionado da topologia, adicionar uma dimensão espacial pode muitas vezes ter efeitos maravilhosos: objetos anteriormente distintos tornam-se indistinguíveis. Mas uma nova prova descobre que existem alguns objetos cujas diferenças são tão gritantes que não podem ser apagadas com um pouco mais de espaço.
O trabalho, publicado no final de maio, resolve uma questão colocada por Charles Livingston em 1982 sobre objetos bidimensionais conhecidos como superfícies Seifert. Livingston sabia que muitos pares de certos tipos de superfícies Seifert são distintos quando situados dentro dos limites apertados do espaço tridimensional, mas tornam-se equivalentes no espaço quadridimensional, onde há mais espaço para movê-los.
“É uma coisa comum na topologia que, quando você tem algo interessante e adiciona uma dimensão extra, pode não ser mais interessante”, disse Maggie Miller, da Universidade de Stanford e do Clay Mathematics Institute, coautor da nova prova com Kyle Hayden do Columbia University, Seungwon Kim da Seoul National University, JungHwan Park do Korea Advanced Institute of Science and Technology, e Isaac Sundberg do Bryn Mawr College.
Livingston, agora professor emérito da Universidade de Indiana, questionou-se se o efeito homogeneizador de passar para quatro dimensões se aplica a todos esses pares de superfícies Seifert, ou se existem algumas que mantêm sua singularidade.
O novo trabalho identifica o primeiro par de superfícies Seifert que são comprovadamente distintas entre si em quatro dimensões e em três. Ele também vai um passo adiante, identificando pares adicionais de superfícies Seifert que se tornam semelhantes em alguns aspectos, mas não em outros, elucidando assim as sutis complexidades do espaço quadridimensional.
Para entender as superfícies de Seifert, você precisa primeiro entender os nós, que você pode pensar como laços fechados de corda. O nó mais simples é apenas um círculo. Nós mais complicados incluem o trifólio e a figura oito, em que a corda se cruza várias vezes antes de suas extremidades se unirem.
Nós são objetos unidimensionais, mas eles formam o limite de superfícies bidimensionais. Pense novamente em um laço circular de corda. Esse loop forma o limite de um disco bidimensional que fica dentro dele. Da mesma forma, nós mais complicados ligam superfícies mais complicadas. Uma superfície Seifert é qualquer superfície cujo limite é um nó.
Além disso, um único nó pode ligar mais de uma superfície Seifert. Uma maneira de ver como é imaginar um nó traçado em uma superfície. Ele dividirá a superfície em duas superfícies Seifert complementares.
A pergunta de Livingston era sobre a equivalência entre superfícies Seifert. Especificamente, ele estava interessado em superfícies que podem ser gradualmente deformadas para se parecerem exatamente umas com as outras, como um disco redondo que pode ser esticado em um disco oblongo. Quaisquer duas superfícies que podem ser feitas para se assemelharem perfeitamente dessa maneira são chamadas isotopicamente equivalentes.
Livingston queria saber se existem pares de superfícies Seifert do mesmo nó (e do mesmo gênero – o que significa que eles têm o mesmo número de buracos) que não são isotópicos no espaço tridimensional ou quadridimensional. Nas décadas seguintes, os matemáticos não conseguiram encontrar nenhum cujas diferenças tridimensionais sobrevivessem ao transporte para a dimensão superior.
“Eu fiz essa pergunta e ela ficou lá por 40 anos”, disse Livingston.
Miller se interessou pela questão no ano passado. Em abril passado, Miller, Hayden e Sundberg estavam em uma conferência em Providence, Rhode Island, onde se encontraram conversando tarde da noite. Miller mencionou um par de superfícies que ela, Kim e Park tinham em mente para provar a conjectura de Livingston. As superfícies foram identificadas pela primeira vez em 1975 e, embora ninguém tenha provado que são isotópicas em quatro dimensões, ninguém também a refutou. As superfícies são construídas a partir de um nó com 19 cruzamentos e parecem imagens deslocadas umas das outras.
Fonte: Kyle Hayden, Seungwon Kim, Maggie Miller, Junghwan Park e Isaac Sundberg
Para determinar se objetos topológicos como um par de superfícies são equivalentes, os matemáticos usam uma variedade de testes. Esses testes, chamados invariantes, assumem muitas formas. Alguns são mais complicados de correr e perceber mais sobre o objeto; outros são mais fáceis de implementar, mas percebem menos.
Hayden e Sundberg vinham fazendo um trabalho interessante recentemente usando uma invariante chamada homologia de Khovanov, que usa álgebra para extrair informações sobre como um objeto é formado. Esses cálculos podem ser difíceis de realizar e para objetos muito complicados – como um nó com centenas de cruzamentos – são proibitivamente difíceis. Mas para o nó e superfícies Seifert associadas que Miller, Kim e Park tinham em mente, eles eram muito tratáveis. Determinar se duas superfícies são equivalentes torna-se uma questão de comparar os números que você obtém quando calcula a invariante de homologia de Khovanov de cada uma.
“Se você sabe que os números são diferentes, sabe que as superfícies são diferentes”, disse Khovanov, que desenvolveu sua técnica homônima no final dos anos 1990.
Hayden e Sundberg olharam para o par de superfícies de Seifert que Miller chamou sua atenção e rapidamente mostraram que suas invariantes de homologia de Khovanov não correspondiam, provando que as superfícies eram distintas.
“Acontece que esses exemplos realmente estavam escondidos à vista de todos por um longo tempo”, disse Hayden.
Nesse ponto, os matemáticos resolveram a questão de Livingston – identificar um par de superfícies Seifert que não são isotópicas no espaço tridimensional e permanecem assim em quatro – mas não pararam por aí. Encorajados pelas notícias de Hayden e Sundberg, o grupo decidiu ver se eles poderiam provar o mesmo resultado usando invariantes mais básicos. Eles o fizeram, usando uma técnica fundamental em topologia chamada cobertura ramificada.
“Eles respondem a uma pergunta de 40 anos com cerca de uma página de matemática”, disse Patrick Naylor, da Universidade de Princeton. “Isso não acontece com muita frequência.”
Eles também identificaram pares adicionais de superfícies de Seifert que, no espaço quadridimensional, não são isotópicas em um sentido (não são isotópicas “suavemente”), mas são em outro (são isotópicas “topologicamente”). Essa distinção, entre equivalência topológica e suave, não se aplica em três dimensões e é um dos profundos mistérios do espaço quadridimensional – embora menos agora para superfícies Seifert.
Publicado em 18/06/2022 14h44
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