Laurent Fargues e Peter Scholze descobriram uma maneira nova e mais poderosa de conectar a teoria dos números e a geometria como parte do amplo programa de Langlands.
O maior projeto em matemática recebeu um presente raro, na forma de um artigo gigantesco de 350 páginas postado em fevereiro que mudará a forma como os pesquisadores ao redor do mundo investigam algumas das questões mais profundas do campo. A obra forma um novo objeto geométrico que realiza um sonho ousado e outrora fantasioso sobre a relação entre geometria e números.
“Isso realmente abre uma enorme quantidade de possibilidades. Seus métodos e construções são tão novos que estão apenas esperando para serem explorados”, disse Tasho Kaletha, da Universidade de Michigan.
O trabalho é uma colaboração entre Laurent Fargues do Instituto de Matemática de Jussieu em Paris e Peter Scholze da Universidade de Bonn. Ele abre uma nova frente no longo “programa de Langlands”, que busca ligar ramos díspares da matemática – como cálculo e geometria – para responder a algumas das questões mais fundamentais sobre números.
Seu trabalho concretiza essa visão, dando aos matemáticos uma maneira inteiramente nova de pensar sobre questões que os inspiraram e confundiram durante séculos.
No centro do trabalho de Fargues e Scholze está um objeto geométrico revitalizado chamado curva Fargues-Fontaine. Foi desenvolvido pela primeira vez por volta de 2010 por Fargues e Jean-Marc Fontaine, que foi professor na Universidade Paris-Sud até morrer de câncer em 2019. Depois de uma década, a curva só agora está atingindo sua forma mais elevada.
“Naquela época, eles sabiam que a curva Fargues-Fontaine era algo interessante e importante, mas não entendiam de que forma”, disse Eva Viehmann, da Universidade Técnica de Munique.
A curva pode ter permanecido confinada ao canto técnico da matemática onde foi inventada, mas em 2014 eventos envolvendo Fargues e Scholze a impulsionaram para o centro do campo. Nos sete anos seguintes, eles trabalharam nos detalhes básicos necessários para adaptar a curva de Fargues à teoria de Scholze. O resultado final não é tanto uma ponte entre os números e a geometria, como o colapso do solo entre eles.
“É uma espécie de buraco de minhoca entre dois mundos diferentes”, disse Scholze. “Eles realmente se tornam a mesma coisa de alguma forma através de lentes diferentes”.
Colheita de Raiz
O programa de Langlands é uma visão de pesquisa ampla que começa com uma preocupação simples: encontrar soluções para equações polinomiais como x2 – 2 = 0 e x4 – 10x2 + 22 = 0. Resolvê-los significa encontrar as “raízes” do polinômio – os valores de x que tornam o polinômio igual a zero (x = ± 21/2para o primeiro exemplo e x = ± (5 ± 31/2)1/2 para o segundo).
Por volta de 1500, os matemáticos descobriram fórmulas organizadas para calcular as raízes de polinômios cujas potências mais altas são 2, 3 ou 4. Eles então procuraram maneiras de identificar as raízes de polinômios com variáveis elevadas à potência de 5 e além. Mas em 1832 o jovem matemático Évariste Galois descobriu que a pesquisa foi infrutífera, provando que não existem métodos gerais para calcular as raízes de polinômios de maior potência.
Galois não parou por aí, no entanto. Nos meses que antecederam sua morte em um duelo em 1832 aos 20 anos, Galois apresentou uma nova teoria de soluções polinomiais. Em vez de calcular as raízes com exatidão – o que não pode ser feito na maioria dos casos – ele propôs estudar as simetrias entre as raízes, que ele codificou em um novo objeto matemático eventualmente chamado de grupo de Galois.
No exemplo x2 – 2, em vez de tornar as raízes explícitas, o grupo de Galois enfatiza que as duas raízes (sejam elas quais forem) são imagens espelhadas uma da outra no que diz respeito às leis da álgebra.
“Os matemáticos tiveram que se afastar das fórmulas porque geralmente não havia fórmulas”, disse Brian Conrad, da Universidade de Stanford. “Calcular um grupo de Galois é uma medida de calcular as relações entre as raízes.”
Ao longo do século 20, os matemáticos desenvolveram novas maneiras de estudar os grupos de Galois. Uma estratégia principal envolveu a criação de um dicionário traduzindo entre os grupos e outros objetos – muitas vezes funções provenientes do cálculo – e investigá-los como um proxy para trabalhar diretamente com os grupos de Galois. Essa é a premissa básica do programa de Langlands, que é uma visão ampla para investigar grupos de Galois – e realmente polinômios – por meio desses tipos de traduções.
O programa de Langlands começou em 1967, quando seu homônimo, Robert Langlands, escreveu uma carta a um famoso matemático chamado André Weil. Langlands propôs que deveria haver uma maneira de combinar cada grupo de Galois com um objeto chamado forma automórfica. Enquanto os grupos de Galois surgem na álgebra (refletindo a maneira como você usa a álgebra para resolver equações), as formas automórficas vêm de um ramo muito diferente da matemática chamado análise, que é uma forma aprimorada de cálculo. Os avanços matemáticos da primeira metade do século 20 identificaram semelhanças suficientes entre os dois para fazer Langlands suspeitar de uma ligação mais completa.
“É notável que esses objetos de natureza muito diferente de alguma forma se comunicam uns com os outros”, disse Ana Caraiani, do Imperial College London.
Se os matemáticos pudessem provar o que veio a ser chamado de correspondência de Langlands, eles poderiam investigar com segurança todos os polinômios usando as poderosas ferramentas do cálculo. A relação conjecturada é tão fundamental que sua solução também pode tocar em muitos dos maiores problemas em aberto na teoria dos números, incluindo três dos problemas de um milhão de dólares do Prêmio do Milênio: a hipótese de Riemann, a conjectura BSD e a conjectura de Hodge.
Dadas as apostas, gerações de matemáticos foram motivadas a se juntar ao esforço, desenvolvendo as conjecturas iniciais de Langlands no que é quase certamente o maior e mais abrangente projeto no campo hoje.
“O programa Langlands é uma rede de conjecturas que afetam quase todas as áreas da matemática pura”, disse Caraiani.
Números de formas
No início dos anos 1980, Vladimir Drinfeld e mais tarde Alexander Beilinson propuseram que deveria haver uma maneira de interpretar as conjecturas de Langlands em termos geométricos. A tradução entre números e geometria costuma ser difícil, mas, quando funciona, pode abrir completamente os problemas.
Para dar apenas um exemplo, uma questão básica sobre um número é se ele tem um fator primo repetido. O número 12: É fatorado em 2 × 2 × 3, com o 2 ocorrendo duas vezes. O número 15 não (é fatorado em 3 × 5).
Em geral, não há uma maneira rápida de saber se um número tem um fator repetido. Mas existe um problema geométrico análogo que é muito mais fácil.
Os polinômios têm muitas das mesmas propriedades dos números: você pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividi-los. Existe até uma noção do que significa para um polinômio ser “primo”. Mas, ao contrário dos números, os polinômios têm uma aparência geométrica clara. Você pode representar graficamente suas soluções e estudá-los para obter insights sobre elas.
Por exemplo, se o gráfico é tangente ao eixo x em qualquer ponto, você pode deduzir que o polinômio tem um fator repetido (indicado exatamente no ponto de tangência). É apenas um exemplo de como uma pergunta aritmética obscura adquire um significado visual, uma vez convertida em seu análogo para polinômios.
“Você pode representar graficamente os polinômios. Você não pode representar graficamente um número. E quando você representa graficamente um [polinômio], ele dá ideias”, disse Conrad. “Com um número, você só tem o número.”
O programa “geométrico” de Langlands, como veio a ser chamado, visava encontrar objetos geométricos com propriedades que pudessem substituir os grupos de Galois e formas automórficas nas conjecturas de Langlands. Provar uma correspondência análoga neste novo cenário usando ferramentas geométricas poderia dar aos matemáticos mais confiança nas conjecturas originais de Langlands e talvez sugerir maneiras úteis de pensar sobre elas. Era uma bela visão, mas também um tanto arejada – um pouco como dizer que você poderia cruzar o universo se tivesse apenas uma máquina do tempo.
“Fazer objetos geométricos que desempenham um papel semelhante na definição de números é uma coisa muito mais difícil de fazer”, disse Conrad.
Assim, por décadas, o programa geométrico de Langlands manteve-se distante do original. Os dois eram animados pelo mesmo objetivo, mas envolviam objetos tão fundamentalmente diferentes que não havia uma maneira real de fazê-los falar um com o outro.
“O pessoal da aritmética parecia confuso com [o programa geométrico de Langlands]. Eles disseram que está tudo bem e bom, mas completamente alheio à nossa preocupação”, disse Kaletha.
O novo trabalho de Scholze e Fargues, no entanto, finalmente cumpre as esperanças fixadas no programa geométrico de Langlands – ao encontrar a primeira forma cujas propriedades se comunicam diretamente com as preocupações originais de Langlands.
Tour de Force de Scholze
Em setembro de 2014, Scholze estava ministrando um curso especial na Universidade da Califórnia, Berkeley. Apesar de ter apenas 26 anos, ele já era uma lenda no mundo da matemática. Dois anos antes, ele havia concluído sua dissertação, na qual articulou uma nova teoria geométrica baseada em objetos que ele inventou chamados de espaços perfectóides. Ele então usou essa estrutura para resolver parte de um problema na teoria dos números chamado conjectura de monodromia de peso.
Porém, mais importante do que o resultado específico era o senso de possibilidade que o cercava – não havia como dizer quantas outras questões em matemática poderiam render a essa nova perspectiva incisiva.
O tópico do curso de Scholze foi uma versão ainda mais expansiva de sua teoria dos espaços perfectóides. Matemáticos ocuparam os assentos na pequena sala de seminário, alinharam-se ao longo das paredes e se espalharam pelo corredor para ouvi-lo falar.
“Todos queriam estar lá porque sabíamos que isso era algo revolucionário”, disse David Ben-Zvi, da Universidade do Texas, Austin.
A teoria de Scholze foi baseada em sistemas de números especiais chamados de p-ádicos. O “p” em p-adic significa “primo”, como nos números primos. Para cada primo, há um sistema de número p-ádico único: o 2-ádico, o 3-ádico, o 5-ádico e assim por diante. Os números P-ádicos têm sido uma ferramenta central na matemática há mais de um século. Eles são úteis como sistemas numéricos mais gerenciáveis para investigar questões que ocorrem de volta nos números racionais (números que podem ser escritos como uma proporção de números inteiros positivos ou negativos), que são difíceis de controlar em comparação.
A virtude dos números p-ádicos é que cada um deles se baseia em apenas um único primo. Isso os torna mais diretos, com uma estrutura mais óbvia, do que os racionais, que têm uma infinidade de primos sem nenhum padrão óbvio entre eles. Os matemáticos muitas vezes tentam primeiro entender as questões básicas sobre os números nos p-ádicos e, em seguida, levam essas lições de volta à sua investigação dos racionais.
“Os números p-ádicos são uma pequena janela para os números racionais”, disse Kaletha.
Todos os sistemas numéricos têm uma forma geométrica – os números reais, por exemplo, têm a forma de uma linha. Os espaços perfectoides de Scholze deram uma forma geométrica nova e mais útil aos números p-ádicos. Essa geometria aprimorada tornou os p-ádicos, vistos por meio de seus espaços perfetóides, uma maneira ainda mais eficaz de sondar fenômenos teóricos dos números básicos, como questões sobre as soluções de equações polinomiais.
“Ele reimaginou o mundo p-ádico e o transformou em geometria”, disse Ben-Zvi. “Por serem tão fundamentais, isso leva a muitos e muitos sucessos.”
Em seu curso em Berkeley, Scholze apresentou uma versão mais geral de sua teoria dos espaços perfetóides, construída sobre objetos ainda mais novos que ele criou chamados de diamantes. A teoria prometia ampliar ainda mais o uso dos números p-ádicos. No entanto, na época em que Scholze começou a lecionar, ele nem havia terminado de trabalhar nisso.
“Ele estava ministrando o curso enquanto desenvolvia a teoria. Ele tinha ideias à noite e apresentava-as frescas de sua mente pela manhã”, disse Kaletha.
Foi uma exibição virtuosística, e uma das pessoas na sala ao ouvi-la foi Laurent Fargues.
Tenha curva, viajará
Ao mesmo tempo em que Scholze dava suas palestras, Fargues participava de um semestre especial no Instituto de Pesquisa em Ciências Matemáticas, na colina do campus de Berkeley. Ele também havia pensado muito sobre os números p-ádicos. Na última década, ele trabalhou com Jean-Marc Fontaine em uma área da matemática chamada teoria p-adica de Hodge, que se concentra em questões aritméticas básicas sobre esses números. Durante esse tempo, ele e Fontaine criaram um novo objeto geométrico próprio. Era uma curva – a curva de Fargues-Fontaine – cujos pontos cada um representava uma versão de um objeto importante chamado anel p-ádico.
Como originalmente concebido, era uma ferramenta estreitamente útil em uma parte técnica da matemática, algo que provavelmente não abalaria todo o campo.
“É um princípio organizador na teoria p-adica de Hodge, é como eu penso. Era impossível para mim acompanhar todos esses anéis antes que essa curva surgisse”, disse Caraiani.
Mas enquanto Fargues ouvia Scholze, ele imaginou um papel ainda maior para a curva na matemática. O objetivo nunca realizado do programa geométrico de Langlands era encontrar um objeto geométrico que codificasse respostas a questões da teoria dos números. Fargues percebeu como sua curva, combinada com a geometria p-ádica de Scholze, poderia servir exatamente para esse papel. Por volta do meio do semestre, ele puxou Scholze de lado e compartilhou seu plano inicial. Scholze estava cético.
“Ele mencionou essa ideia para mim durante uma pausa para o café no MSRI”, disse Scholze. “Não foi uma conversa muito longa. No começo eu pensei que não poderia ser bom.”
Mas eles tiveram mais conversas e Scholze logo percebeu que a abordagem poderia funcionar, afinal. Em 5 de dezembro, com o fim do semestre, Fargues deu uma palestra no MSRI em que apresentou uma nova visão para o programa geométrico de Langlands. Ele propôs que deveria ser possível redefinir a curva de Fargues-Fontaine em termos da geometria p-ádica de Scholze e, em seguida, usar esse objeto redefinido para provar uma versão da correspondência de Langlands. A proposta de Fargues foi uma virada final e inesperada no que já havia sido uma emocionante temporada de matemática.
“Foi como o grande final deste semestre. Lembro-me de estar em estado de choque”, disse Ben-Zvi.
Uma correspondência local
As conjecturas originais de Langlands são sobre a correspondência de representações dos grupos de Galois dos números racionais com formas automórficas. Os p-ádicos são um sistema numérico diferente e também há uma versão das conjecturas de Langlands. (Ambos ainda estão separados do programa geométrico de Langlands.) Também envolve um tipo de correspondência, embora neste caso seja entre as representações do grupo de Galois dos números p-ádicos e as representações dos grupos p-ádicos.
Embora seus objetos sejam diferentes, o espírito das duas conjecturas é o mesmo: estudar soluções para polinômios – em termos de números racionais em um caso e números p-ádicos no outro – relacionando dois tipos de objetos aparentemente não relacionados. Os matemáticos referem-se à conjectura de Langlands para números racionais como a correspondência “global” de Langlands, porque os racionais contêm todos os primos, e a versão para p-ádicos como a correspondência “local” de Langlands, uma vez que os sistemas de números p-ádicos lidam com um primo de uma vez.
Em sua palestra de dezembro no MSRI, Fargues propôs provar a conjectura de Langlands local usando a geometria da curva de Fargues-Fontaine. Mas, como ele e Fontaine desenvolveram a curva para uma tarefa completamente diferente e mais limitada, sua definição exigia uma geometria mais poderosa que pudesse fornecer a estrutura e a complexidade de que a curva precisaria em última instância para suportar esses planos ampliados.
A situação era semelhante a como você poderia chegar a uma forma de três lados independente de qualquer teoria geométrica específica, mas se você combinar essa forma com a teoria da geometria euclidiana, de repente ela assume uma vida mais rica: você obtém trigonometria, a pitagórica teorema e noções bem definidas de simetria. Torna-se um triângulo completo.
“[Fargues] estava pegando a ideia da curva e usando a geometria poderosa que Scholze desenvolveu para concretizar essa ideia”, disse Kaletha. “Isso permite que você declare formalmente as belas propriedades da curva.”
A estratégia de Fargues ficou conhecida como a “geometrização da correspondência local de Langlands”. Mas na época em que ele fez isso, a matemática existente não tinha as ferramentas de que ele precisava para realizá-la, e novas teorias geométricas não aparecem todos os dias. Felizmente, a história estava do seu lado.
“[A conjectura de Fargues] foi uma ideia ousada porque Fargues precisava de uma geometria que não existia. Mas, como se viu, Scholze naquele exato momento o estava desenvolvendo”, disse Kaletha.
Edifício da Fundação
Após o tempo que passaram juntos em Berkeley, Fargues e Scholze passaram os próximos sete anos estabelecendo uma teoria geométrica que lhes permitiria reconstruir a curva Fargues-Fontaine de uma forma adequada aos seus planos.
“Em 2014 já estava basicamente claro qual deveria ser a imagem e como tudo deveria se encaixar. Acontece que tudo estava completamente mal definido. Não havia fundações para falar sobre nada disso”, disse Scholze.
O trabalho decorreu em várias etapas. Em 2017, Scholze concluiu um artigo denominado “Étale Cohomology of Diamonds”, que formalizou muitas das ideias mais importantes que apresentou durante suas palestras em Berkeley. Ele combinou esse artigo com outro trabalho massivo que ele e o co-autor Dustin Clausen, da Universidade de Copenhagen lançaram como uma série de palestras em 2020. Esse material – todas as 352 páginas – foi necessário para estabelecer uma base para alguns pontos específicos que havia surgido no trabalho de Scholze sobre diamantes.
“Scholze teve que apresentar uma teoria totalmente diferente, que estava lá apenas para cuidar de certas questões técnicas que surgiram nas últimas três páginas de seu artigo [de 2017]”, disse Kaletha.
Juntos, esses e outros artigos permitiram que Fargues e Scholze elaborassem uma maneira inteiramente nova de definir um objeto geométrico. Imagine que você comece com uma coleção desorganizada de pontos – uma “nuvem de poeira”, nas palavras de Scholze – que você deseja colar da maneira certa para montar o objeto que está procurando. A teoria desenvolvida por Fargues e Scholze fornece orientações matemáticas exatas para realizar aquela colagem e certifica que, no final, você obterá a curva Fargues-Fontaine. E, desta vez, está definido da maneira certa para a tarefa em questão – endereçando a correspondência local de Langlands.
“Essa é tecnicamente a única maneira de colocarmos as mãos nele”, disse Scholze. “Você tem que reconstruir muitas bases da geometria neste tipo de estrutura, e foi muito surpreendente para mim que isso seja possível.”
Depois de definir a curva Fargues-Fontaine, Fargues e Scholze embarcaram na próxima etapa de sua jornada: equipá-la com os recursos necessários para provar uma correspondência entre representações de grupos de Galois e representações de grupos p-ádicos.
Para entender esses recursos, vamos primeiro considerar um objeto geométrico mais simples, como um círculo. Em cada ponto do círculo, é possível posicionar uma linha tangente à forma exatamente naquele ponto. Cada ponto possui uma linha tangente única. Você pode coletar todas essas linhas juntas em um objeto geométrico auxiliar, chamado de feixe tangente, que está associado ao objeto geométrico subjacente, o círculo.
Em seu novo trabalho, Fargues e Scholze fazem algo semelhante para a curva Fargues-Fontaine. Mas, em vez de planos tangentes e feixes, eles definem maneiras de construir muitos objetos geométricos mais complicados. Um exemplo, chamado de polias, pode ser associado naturalmente a pontos na curva Fargues-Fontaine da mesma forma que linhas tangentes podem ser associadas a pontos em um círculo.
Os feixes foram definidos pela primeira vez na década de 1950 por Alexander Grothendieck, e eles controlam como as características algébricas e geométricas do objeto geométrico subjacente interagem entre si. Por décadas, os matemáticos suspeitaram que eles poderiam ser os melhores objetos para enfocar no programa geométrico de Langlands.
“Você reinterpreta a teoria das representações dos grupos de Galois em termos de feixes”, disse Conrad.
Existem versões locais e globais do programa geométrico de Langlands, assim como existem para o original. Perguntas sobre feixes se relacionam ao programa geométrico global, que Fargues suspeitava poder conectar à correspondência local de Langlands. O problema era que os matemáticos não tinham os tipos certos de feixes definidos no tipo certo de objeto geométrico para carregar o dia. Agora Fargues e Scholze os forneceram, por meio da curva Fargues-Fontaine.
O fim do começo
Especificamente, eles surgiram com dois tipos diferentes: feixes coerentes correspondem a representações de grupos p-ádicos e feixes étale a representações de grupos de Galois. Em seu novo artigo, Fargues e Scholze provam que sempre há uma maneira de combinar um feixe coerente com um feixe étale e, como resultado, sempre há uma maneira de combinar uma representação de um grupo p-ádico com a representação de um grupo de Galois
Desta forma, eles finalmente provaram uma direção da correspondência local de Langlands. Mas a outra direção permanece uma questão em aberto.
“Isso lhe dá uma direção, como ir de uma representação de um grupo p-ádico para uma representação de um grupo de Galois, mas não lhe diz como voltar”, disse Scholze.
O trabalho é um dos maiores avanços até agora no programa de Langlands – frequentemente mencionado ao mesmo tempo que o trabalho de Vincent Lafforgue do Instituto Fourier em Grenoble, França, sobre um aspecto diferente da correspondência de Langlands em 2018. É também o mais evidência tangível de que os primeiros matemáticos não eram tolos em tentar o programa de Langlands por meios geométricos.
“Essas coisas são uma grande justificativa para o trabalho que as pessoas fizeram em Langlands geométricas por décadas”, disse Ben-Zvi.
Para a matemática como um todo, há um sentimento de admiração e possibilidade na recepção do novo trabalho: admiração pela maneira como a teoria da geometria p-ádica que Scholze vem construindo desde a pós-graduação se manifesta na curva de Fargues-Fontaine, e possibilidade porque essa curva abre dimensões inteiramente novas e inexploradas do programa de Langlands.
“Isso realmente mudou tudo. Nos últimos cinco ou oito anos, eles realmente mudaram todo o campo”, disse Viehmann.
O próximo passo claro é acertar os dois lados da correspondência local de Langlands – para provar que é uma rua de mão dupla, em vez da estrada de mão única que Fargues e Scholze pavimentaram até agora.
Além disso, há a própria correspondência global de Langlands. Não há uma maneira óbvia de traduzir a geometria de Fargues e Scholze dos números p-ádicos em construções correspondentes para os números racionais. Mas também é impossível olhar para este novo trabalho e não se perguntar se pode haver uma maneira.
Publicado em 25/07/2021 10h39
Artigo original: