Paul Nelson resolveu o problema da subconvexidade, aproximando os matemáticos da compreensão da hipótese de Riemann e da distribuição dos números primos.
Já se passaram 162 anos desde que Bernhard Riemann fez uma pergunta seminal sobre a distribuição de números primos. Apesar de seus melhores esforços, os matemáticos fizeram muito pouco progresso na hipótese de Riemann. Mas eles conseguiram avançar em problemas relacionados mais simples.
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“É um sonho um pouco exagerado, mas você pode esperar de maneira hiperotimista que talvez tenhamos alguma ideia de como a [hipótese de Riemann] funciona trabalhando em problemas como esse”, disse Nelson.
A hipótese de Riemann e o problema da subconvexidade são importantes porque os números primos são os objetos mais fundamentais – e mais fundamentalmente misteriosos – da matemática. Quando você os plota na reta numérica, parece não haver um padrão em como eles são distribuídos. Mas em 1859 Riemann desenvolveu um objeto chamado função zeta de Riemann – uma espécie de soma infinita – que alimentou uma abordagem revolucionária que, se comprovada funcionar, desvendaria a estrutura oculta dos primos.
“Isso prova um resultado que alguns anos atrás seria considerado ficção científica”, disse Valentin Blomer, da Universidade de Bonn.
Ficando complexo
A pergunta de Riemann depende da função zeta de Riemann. Os termos que soma são os recíprocos dos números inteiros, nos quais os denominadores são elevados a uma potência definida por uma variável, s (assim 1/1s, 1/2s, 1/3s e assim por diante).
Riemann propôs que, se os matemáticos pudessem provar uma propriedade básica dessa função – o que é preciso para ela ser igual a zero – eles seriam capazes de estimar com grande precisão quantos números primos existem ao longo de qualquer intervalo na reta numérica.
Antes de Riemann, Leonhard Euler construiu uma função semelhante e a usou para criar uma nova prova de que existem infinitos primos. Na função de Euler, os denominadores são elevados a potências que são números reais. A função zeta de Riemann, por outro lado, atribui números complexos à variável s, uma inovação que traz todo o vasto estoque de técnicas da análise complexa para lidar com questões da teoria dos números.
Os números complexos têm duas partes, uma real e outra imaginária, a última das quais se relaciona com o número imaginário i, definido como a raiz quadrada de -1. Exemplos incluem 3 + 4i e 2 – 6i. Nesses casos, o 3 e o 2 são as partes reais, enquanto os 4i e -6i são as partes imaginárias.
A hipótese de Riemann é sobre quais valores de s tornam a função zeta de Riemann igual a zero. Ela prevê que os únicos valores importantes, ou não triviais, de s que fazem isso são números complexos cuja parte real é igual a 12. (A função também é igual a zero sempre que s é um inteiro negativo par com uma parte imaginária igual a zero, mas esses zeros são fáceis de ver e são consideradas triviais.) Se a hipótese de Riemann for verdadeira, a função zeta de Riemann explica como os primos são distribuídos na reta numérica. (Exatamente como isso explica isso é complicado. A Quanta produziu recentemente um vídeo detalhando como funciona.)
Nos anos desde que Riemann a propôs, a hipótese de Riemann instigou muitos avanços na matemática, embora os matemáticos tenham feito pouco progresso na questão em si. Dada essa relativa futilidade, eles às vezes redirecionaram sua atenção para questões um pouco mais fáceis que se aproximam do enigma intratável de Riemann.
Quase nada
O problema resolvido por Paul Nelson está a dois passos da hipótese de Riemann. Cada passo requer um pouco de explicação.
A primeira é a hipótese de Lindelöf. Onde a hipótese de Riemann diz que os únicos zeros não triviais da função zeta de Riemann ocorrem quando a parte real de s é igual a 1/2, a hipótese de Lindelöf apenas diz que sob essa condição, a saída da função zeta de Riemann é pequena em um certo sentido preciso.
Para ambas as hipóteses de Riemann e Lindelöf, a parte real de s é fixada em 1/2, mas a parte imaginária pode ser qualquer número que você desejar: 2i, 537i, (1/2)i. Uma maneira de definir “pequeno” é comparar o número de dígitos na entrada, s, com o número de dígitos na saída.
Os matemáticos podem facilmente estabelecer que a saída nunca tem mais de 25% dos dígitos da entrada. Isso significa que ela cresce à medida que a entrada cresce, mas não cresce desproporcionalmente. Esses 25% são chamados de limite trivial. Mas a hipótese de Lindelöf diz que, à medida que as entradas aumentam, o tamanho da saída é, na verdade, sempre limitado a 1% do número de dígitos da entrada.
Por mais de um século, os matemáticos trabalharam para fechar a lacuna entre o limite trivial (25%) e o limite conjecturado (1%). Eles fizeram uma dúzia de melhorias, a mais recente em 2017, quando Jean Bourgain provou que para valores de s com parte real 1/2, a saída da função zeta de Riemann tem um tamanho que é cerca de 15% do tamanho da entrada. Portanto, se a entrada for um número de 1.000.000 dígitos, a saída não terá mais de 150.000 dígitos. Está muito longe de provar a hipótese de Lindelöf, muito menos a pergunta de Riemann, mas é alguma coisa.
“Não fizemos nenhum progresso na hipótese de Riemann em 150 anos, enquanto esta é uma questão para a qual podemos fazer progressos incrementais”, disse Nelson. “Existe uma maneira de você manter a pontuação.”
A hipótese de Lindelöf é apenas um exemplo de um problema adjacente a Riemann passível de pontuação. Em seu novo trabalho, Nelson resolveu outro problema que está a mais um passo da pergunta de Riemann.
Famílias de funções
A função zeta de Riemann é o membro mais famoso de uma grande classe de objetos matemáticos, funções L, que codificam muitas relações aritméticas diferentes. Ao modificar a definição da função zeta de Riemann, os matemáticos constroem outras funções L que fornecem informações mais refinadas sobre os primos. Por exemplo, as propriedades de algumas funções L medem quantos primos abaixo de um certo valor têm um determinado número como seu último dígito.
Devido a essa versatilidade, as funções L são objetos de intenso estudo e são atores centrais em uma ampla visão de pesquisa conhecida como programa de Langlands. Por enquanto, os matemáticos ainda carecem de uma teoria completa que explique exatamente o que eles são.
“Existe um grande zoológico dessas coisas e, para a maioria delas, não podemos provar nada”, disse Nelson.
Vídeo: Alex Kontorovich, professor de matemática da Universidade Rutgers, desmonta a notoriamente difícil hipótese de Riemann neste explicativo abrangente.
Emily Buder/Revista Quanta; Guan-Huei Wu e Clay Shonkwiler para a revista Quanta
Uma parte dessa teoria envolve uma generalização da hipótese de Lindelöf, que prevê que sempre que a parte real da entrada do número complexo for igual a 1/2, a saída permanece pequena em relação à entrada para todas as funções L (não apenas a função zeta de Riemann).
Embora os matemáticos tenham reduzido a hipótese de Lindelöf, eles só conseguiram progressos dispersos em algo conhecido como problema da subconvexidade. Resolver isso significa simplesmente quebrar o limite trivial – isto é, provar que para qualquer função L, a saída terá menos de 25% do número de dígitos da entrada (multiplicado por uma quantidade chamada grau da função L ). Anteriormente, os matemáticos conseguiam fazer isso apenas para algumas famílias específicas de funções L (incluindo a função zeta de Riemann) e estavam longe de alcançar um resultado geral.
Mas isso começou a mudar na década de 1990, quando os matemáticos reconheceram que simplesmente quebrar o limite trivial para funções L gerais poderia levar a avanços em diferentes problemas, incluindo questões em uma área de pesquisa chamada caos quântico aritmético e uma questão sobre quais números inteiros podem ser escritos como somas de três quadrados.
“As pessoas perceberam nos últimos 20 a 30 anos que existem todos esses problemas que podem ser resolvidos, desde que se possa provar essa afirmação de aparência técnica” sobre subconvexidade, disse Emmanuel Kowalski, do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Zurique.
Nelson foi o matemático que finalmente conseguiu, depois de duas décadas de trabalho que o ajudaram a aprender a imaginar.
Uma Mudança de Perspectiva
No início dos anos 2000, duas equipes de matemáticos ? Joseph Bernstein e Andre Reznikov em uma equipe e Philippe Michel e Akshay Venkatesh na outra ? transformaram a forma como os matemáticos estimam as funções L. Em vez de vê-los meramente em termos aritméticos, eles criaram uma forma geométrica de pensar sobre o tamanho de suas saídas. Esse trabalho contribuiu para Venkatesh ganhar a Medalha Fields, a maior honraria da matemática, em 2018.
Nesta imagem revisada, o tamanho de uma função L está ligado ao tamanho de uma integral, chamada período, que pode ser calculada integrando uma função chamada forma automórfica ao longo de um espaço geométrico. Isso forneceu aos matemáticos mais ferramentas que eles poderiam usar para tentar quebrar o limite trivial.
“Você tinha mais técnicas para usar”, disse Michel, do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Lausanne.
Nelson e Venkatesh colaboraram em um artigo de 2018 que determinou quais formas automórficas são melhores para fazer os tipos de estimativas de tamanho necessários para responder ao problema da subconvexidade. Nos anos seguintes, Nelson produziu mais dois trabalhos solo sobre o tema – o primeiro em 2020, o segundo em setembro passado – que juntos o resolveram.
Nelson provou que cada função L satisfaz um limite subconvexo, o que significa que suas saídas têm menos de 25% do tamanho de suas entradas. Ele quebrou o limite por um fio – ficando um pouco abaixo de 25% para a maioria das funções L – mas às vezes é tudo o que é preciso para atravessar de um mundo para o outro.
“Ele quebrou o limite trivial, e estamos amplamente satisfeitos com isso. É realmente a quebra das coisas”, disse Michel.
Agora os matemáticos marcharão seu subconvexo para enfrentar outros problemas, talvez até incluindo a hipótese de Riemann um dia. Isso pode parecer absurdo agora, mas a matemática prospera na esperança e, no mínimo, a nova prova de Nelson forneceu isso.
Publicado em 16/01/2022 11h46
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