Apesar de não encontrarem exemplos específicos, os pesquisadores provaram a existência de um tipo difundido de número primo tão delicado que alterar qualquer um de seus dígitos infinitos o torna composto.
Dê uma olhada nos números 294.001, 505.447 e 584.141. Notou algo especial sobre eles? Você pode reconhecer que eles são todos primos – uniformemente divisíveis apenas por eles mesmos e 1 – mas esses primos em particular são ainda mais incomuns.
Se você escolher qualquer dígito em qualquer um desses números e alterá-lo, o novo número será composto e, portanto, não será mais primo. Altere 1 em 294.001 para 7, por exemplo, e o número resultante será divisível por 7; mude para um 9, e é divisível por 3.
Esses números são chamados de “números primos digitalmente delicados” e são uma invenção matemática relativamente recente. Em 1978, o matemático e prolífico criador de problemas Murray Klamkin se perguntou se algum número como esse existia. Sua pergunta obteve uma resposta rápida de um dos solucionadores de problemas mais prolíficos de todos os tempos, Paul Erd?s. Ele provou não apenas que eles existem, mas também que há um número infinito deles – um resultado que vale não apenas para a base 10, mas para qualquer sistema numérico. Outros matemáticos ampliaram o resultado de Erd?s, incluindo o vencedor da Medalha Fields Terence Tao, que provou em um artigo de 2011 que uma “proporção positiva” de números primos são digitalmente delicados (novamente, para todas as bases). Isso significa que a distância média entre números primos digitalmente delicados consecutivos permanece bastante estável, já que os próprios números primos ficam muito grandes – em outras palavras, os primos digitalmente delicados não se tornarão cada vez mais escassos entre os primos.
Agora, com dois artigos recentes, Michael Filaseta, da Universidade da Carolina do Sul, levou a ideia adiante, apresentando uma classe ainda mais rarefeita de números primos digitalmente delicados.
“É um resultado notável”, disse Paul Pollack, da Universidade da Geórgia.
Motivado pelo trabalho de Erd?s e Tao, Filaseta se perguntou o que aconteceria se você incluísse uma sequência infinita de zeros à esquerda como parte do número primo. Afinal, os números 53 e? 0000000053 têm o mesmo valor; Mudar qualquer um desses zeros infinitos anexados a um número digital delicado o tornaria automaticamente composto?
Filaseta decidiu ligar para esses números, supondo que existissem, “amplamente digitalmente delicados”, e ele investigou suas propriedades em um artigo de novembro de 2020 com seu ex-aluno de graduação Jeremiah Southwick.
Não é de surpreender que a condição adicionada torne esses números mais difíceis de encontrar. “294.001 é digitalmente delicado, mas não amplamente digitalmente delicado”, disse Pollack, “já que se mudarmos? 000.294.001 para? 010.294.001, teremos 10.294.001” – outro número primo.
Na verdade, Filaseta e Southwick não conseguiram encontrar um exemplo na base 10 de um primo digitalmente delicado, apesar de procurar por todos os inteiros até 1.000.000.000. Mas isso não os impediu de provar algumas afirmações fortes sobre esses números hipotéticos.
Primeiro, eles mostraram que tais números são realmente possíveis na base 10 e, o que é mais, um número infinito deles existe. Indo um passo além, eles também provaram que uma proporção positiva dos números primos são digitalmente delicados, assim como Tao havia feito para números primos digitalmente delicados. (Em sua dissertação de doutorado, Southwick obteve os mesmos resultados nas bases 2 a 9, 11 e 31.)
Pollack ficou impressionado com as descobertas. “Existem infinitas coisas possíveis que você pode fazer com esses números e, não importa o que você faça, ainda terá uma resposta composta garantida”, disse ele.
A prova contou com duas ferramentas. O primeiro, denominado sistemas de cobertura ou congruências de cobertura, foi inventado por Erd?s em 1950 para resolver um problema diferente na teoria dos números. “O que um sistema de cobertura faz por você”, disse Southwick, “é dar a você um grande número de baldes, junto com a garantia de que cada número inteiro positivo está em pelo menos um desses baldes”. Se, por exemplo, você dividir todos os inteiros positivos por 2, você terminará com dois intervalos: um contendo números pares em que o resto é 0 e outro contendo números ímpares em que o resto é 1. Desta forma, todos positivos inteiros foram “cobertos” e os números que ocupam o mesmo intervalo são considerados “congruentes” entre si.
A situação envolvendo números primos digitalmente delicados é mais complicada, é claro. Você vai precisar de muito mais baldes, algo na ordem de 1025.000, e em um desses baldes cada número primo tem garantia de se tornar composto se qualquer um de seus dígitos, incluindo seus zeros à esquerda, for aumentado.
Mas para ser digitalmente delicado, um número primo também deve se tornar composto se qualquer um de seus dígitos for diminuído. É aí que entra a segunda ferramenta, chamada de peneira. Os métodos de peneira, que datam dos antigos gregos, oferecem uma forma de contar, estimar ou definir limites para o número de inteiros que satisfazem certas propriedades. Filaseta e Southwick usaram um argumento de peneira, semelhante à abordagem adotada por Tao em 2011, para mostrar que se você pegar os números primos no balde acima mencionado e diminuir um dos dígitos, uma proporção positiva desses primos se tornará composta. Em outras palavras, uma proporção positiva desses primos é amplamente digitalmente delicada.
“O teorema Filaseta-Southwick”, disse Pollack, “é uma ilustração bonita e inesperada do poder de cobrir congruências”.
Então, em um jornal de janeiro, Filaseta e seu atual aluno de graduação Jacob Juillerat fizeram uma afirmação ainda mais surpreendente: Existem sequências arbitrariamente longas de primos consecutivos, cada um dos quais é amplamente digitalmente delicado. Seria possível, por exemplo, encontrar 10 primos consecutivos que são digitalmente delicados. Mas para fazer isso, você teria que examinar um grande número de primos, disse Filaseta, “provavelmente mais do que o número de átomos no universo observável.” Ele comparou isso a ganhar na loteria 10 vezes seguidas: as chances de ganhar são extraordinariamente pequenas, mas ainda diferentes de zero.
Filaseta e Juillerat provaram seu teorema em duas etapas. Primeiro, eles usaram os argumentos do sistema de cobertura para provar que há um balde contendo um número infinito de primos, todos amplamente delicados digitalmente. Na segunda etapa, eles aplicaram um teorema, provado em 2000 por Daniel Shiu, para mostrar que em algum lugar da lista de todos os primos existe qualquer número arbitrário de primos consecutivos contidos neste balde. Esses primos consecutivos, em virtude de estarem naquele balde, são necessariamente digitalmente delicados.
Carl Pomerance, do Dartmouth College, gostou muito desses artigos, chamando Filaseta de “um mestre na aplicação de congruências de cobertura a muitos problemas interessantes da teoria dos números. A matemática pode ser um exercício de utilização de ferramentas poderosas e também pode ser pura diversão.”
Ao mesmo tempo, observou Pomerance, representar um número em termos de seus dígitos na base 10 pode ser conveniente, “mas não vai à essência do que esse número realmente é.” Existem maneiras mais fundamentais de representar os números, afirmou ele, como a forma como os primos de Mersenne são definidos – números primos na forma 2p – 1 para um primo p.
Filaseta concorda. No entanto, os artigos recentes levantam questões que podem valer a pena explorar. Filaseta está curioso para saber se os primos digitalmente delicados existem em todas as bases. Juillerat, por sua vez, se pergunta se “existem infinitos primos que se tornam compostos quando você insere um dígito entre dois dígitos, em vez de apenas substituir um dígito”.
Outra pergunta tentadora vem de Pomerance: todos os primos acabam se tornando digitalmente delicados ou amplamente digitalmente delicados quando você se aproxima do infinito? Da mesma forma, há um número limitado de números primos que não são digitalmente delicados (ou amplamente digitalmente delicados)? Ele sente que a resposta a essa pergunta, seja qual for a sua formulação, deve ser não. Mas ele e Filaseta consideram isso uma conjectura intrigante, que nenhum dos dois sabe como provar sem confiar em outra conjectura não comprovada.
“A história da pesquisa matemática é que você não sabe de antemão se pode resolver um problema desafiador ou se isso levará a algo importante”, disse Pomerance. “Você não pode decidir com antecedência: hoje vou fazer algo valioso. Embora seja ótimo, é claro, quando as coisas acontecem assim.”
Publicado em 03/04/2021 00h37
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