Uma nova prova demonstra o poder da dinâmica aritmética, uma disciplina emergente que combina insights da teoria dos números e sistemas dinâmicos.
Joseph Silverman se lembra de quando começou a conectar os pontos que acabariam levando a um novo ramo da matemática: 25 de abril de 1992, em uma conferência no Union College em Schenectady, Nova York.
Aconteceu por acaso enquanto ele estava numa palestra do condecorado matemático John Milnor. O assunto de Milnor era um campo chamado dinâmica complexa, sobre o qual Silverman sabia pouco. Mas, à medida que Milnor introduzia algumas idéias básicas, Silverman começou a ver uma notável semelhança com o campo da teoria dos números, onde era um especialista.
“Se você apenas mudar algumas palavras, há um tipo de problema análogo”, ele se lembra de ter pensado consigo mesmo.
Silverman, um matemático da Brown University, deixou a sala inspirado. Ele fez a Milnor algumas perguntas complementares durante o café da manhã do dia seguinte e depois começou a trabalhar na analogia. Seu objetivo era criar um dicionário que traduzisse entre sistemas dinâmicos e teoria dos números.
À primeira vista, os dois parecem ramos não relacionados da matemática. Mas Silverman reconheceu que eles se complementam de uma maneira particular. Enquanto a teoria dos números procura padrões em sequências de números, os sistemas dinâmicos realmente produzem sequências de números – como a sequência que define a posição de um planeta no espaço em intervalos regulares de tempo. Os dois se fundem quando os matemáticos procuram padrões teóricos dos números ocultos nessas sequências.
Nas décadas desde que Silverman assistiu à palestra de Milnor, os matemáticos expandiram dramaticamente as conexões entre os dois ramos da matemática e construíram as bases de um campo inteiramente novo: a dinâmica aritmética.
O alcance do campo continua crescendo. Em um artigo publicado no Annals of Mathematics no ano passado, um trio de matemáticos estendeu a analogia a um dos lugares mais ambiciosos e inesperados até então. Ao fazer isso, eles resolveram parte de um problema de décadas na teoria dos números que anteriormente não parecia ter qualquer conexão clara com sistemas dinâmicos.
A nova prova quantifica o número de vezes que um tipo de curva pode cruzar pontos especiais em um espaço circundante. Os teóricos dos números já se perguntaram se há um limite para o número de interseções que pode haver. Os autores da prova usaram a dinâmica aritmética para provar que há um limite superior para uma coleção particular de curvas.
“Queríamos entender a teoria dos números. Não nos importávamos se havia um sistema dinâmico, mas como havia um, pudemos usá-lo como uma ferramenta”, disse Laura DeMarco, matemática da Universidade de Harvard e coautora do artigo junto com Holly Krieger de a Universidade de Cambridge e Hexi Ye da Universidade de Zhejiang.
Movendo em uma curva
Em maio de 2010, um grupo de matemáticos se reuniu em um pequeno instituto de pesquisa em Barbados, onde passou dias ensolarados discutindo matemática a apenas algumas dezenas de metros da praia. Até mesmo as salas de aula – sem paredes e bancos de madeira simples – os deixavam o mais próximo possível da natureza.
“Uma noite, quando estava chovendo, você nem conseguia ouvir as pessoas, por causa da chuva no telhado de metal”, disse Silverman.
A conferência foi um momento crucial no desenvolvimento da dinâmica aritmética. Reuniu especialistas da teoria dos números, como Silverman, e sistemas dinâmicos, como DeMarco e Krieger. O objetivo era expandir os tipos de problemas que poderiam ser resolvidos combinando as duas perspectivas.
Seu ponto de partida foi um dos objetos centrais da teoria dos números: curvas elípticas. Assim como círculos e linhas, as curvas elípticas são números e formas. Eles são pares de números, x e y, que servem como soluções para uma equação algébrica como y2 = x3 – 2x. O gráfico dessas soluções cria uma forma geométrica que se parece vagamente com uma linha vertical projetando uma bolha.
Os matemáticos há muito se interessam em quantificar e classificar várias propriedades dessas curvas. O resultado mais proeminente até o momento é a famosa prova de Andrew Wiles de 1994 do Último Teorema de Fermat, uma questão sobre quais equações têm soluções que são números inteiros. A prova se baseou fortemente no estudo das curvas elípticas. Em geral, os matemáticos se concentram nas curvas elípticas porque ocupam o ponto ideal da investigação: elas não são fáceis o suficiente para serem triviais e não são tão difíceis a ponto de serem impossíveis de estudar.
“As curvas elípticas ainda são misteriosas o suficiente para gerarem novas contas o tempo todo”, disse Matt Baker, matemático do Instituto de Tecnologia da Geórgia.
Os matemáticos estão particularmente interessados em pontos nas curvas elípticas que funcionam como uma base para uma maneira especial de se mover nas curvas. Em uma curva elíptica, você pode adicionar pontos uns aos outros usando a adição padrão, mas essa abordagem não é muito útil: é improvável que a soma seja outro ponto na curva.
Mas as curvas elípticas vêm embaladas com uma estrutura interna especial que cria um tipo diferente de aritmética. Essa estrutura é chamada de grupo, e o resultado da soma de pontos usando suas regras aritméticas independentes é bem diferente.
Se você adicionar dois pontos em uma curva elíptica de acordo com a estrutura do grupo, a soma será sempre um terceiro ponto na curva. E se você continuar esse processo, por exemplo, adicionando um ponto a ele mesmo repetidamente, o resultado é uma sequência infinita de pontos que estão todos ao longo da curva elíptica.
Diferentes pontos de partida resultarão em diferentes sequências. Os pontos de “casa base” são pontos de partida com uma propriedade muito original. Se você adicionar repetidamente um desses pontos a si mesmo, isso não gerará uma sequência infinita de novos pontos. Em vez disso, ele cria um loop que volta ao ponto inicial.
Esses valores iniciais especiais que criam loops são chamados de pontos de torção. Eles são de interesse imediato para os teóricos dos números. Eles também têm uma correspondência notável com um tipo específico de ponto em sistemas dinâmicos – e foi essa correspondência que realmente colocou a dinâmica aritmética em movimento.
“Essa é realmente a base de porque este campo se tornou um campo”, disse Krieger.
Padrões de repetição
Os sistemas dinâmicos são frequentemente usados para descrever fenômenos do mundo real que avançam no tempo de acordo com uma regra repetida, como o ricochete de uma bola de bilhar de acordo com as leis de Newton. Você começa com um valor, conecta-o a uma função e obtém uma saída que se torna sua nova entrada.
Alguns dos sistemas dinâmicos mais interessantes são conduzidos por funções como f (x) = x2 – 1, que estão associadas a imagens fractais intrincadas conhecidas como conjuntos de Julia. Se você usar números complexos (números com uma parte real e uma parte imaginária) e aplicar a função repetidamente – alimentando cada saída de volta para a função como a próxima entrada – você gera uma sequência de pontos no plano complexo.
Este é apenas um exemplo do que é chamado de polinômio quadrático, no qual a variável é elevada à segunda potência. Polinômios quadráticos são a base da pesquisa em sistemas dinâmicos, assim como as curvas elípticas são o foco de muitas pesquisas básicas na teoria dos números.
“Polinômios quadráticos [em sistemas dinâmicos] desempenham um papel semelhante às curvas elípticas na teoria dos números”, disse Baker. “Eles são o terreno ao qual sempre parecemos retornar para tentar realmente provar algo.”
Os sistemas dinâmicos geram sequências de números à medida que evoluem. Tome, por exemplo, aquela função quadrática f (x) = x2 – 1. Se você começar com o valor x = 2, você gera a sequência infinita 2, 3, 8, 63 e assim por diante.
Mas nem todos os valores iniciais acionam uma série que fica cada vez maior. Se você começar com x = 0, a mesma função gerará um tipo muito diferente de sequência: 0, -1, 0, -1, 0 e assim por diante. Em vez de uma sequência infinita de números distintos, você termina em um pequeno loop fechado.
No mundo dos sistemas dinâmicos, os pontos de partida cujas sequências eventualmente se repetem são chamados de pontos de órbita finita. Eles são um análogo direto dos pontos de torção nas curvas elípticas. Em ambos os casos, você começa com um valor, aplica as regras do sistema ou curva e termina em um ciclo. Esta é a analogia que os três matemáticos exploram em sua nova prova.
“Esta observação simples – que os pontos de torção na curva elíptica são os mesmos que os pontos de órbita finitos para um determinado sistema dinâmico – é o que usamos em nosso trabalho repetidamente”, disse DeMarco.
Definir um teto
Krieger e Ye receberam seu doutorado pela University of Illinois, Chicago em 2013, sob a supervisão de DeMarco. O trio se reuniu novamente em agosto de 2017 no American Institute of Mathematics em San Jose, Califórnia, que hospeda programas intensivos de pesquisa de curto prazo.
“Ficamos cinco dias em um quarto. Precisávamos resolver algumas questões”, disse Ye.
Durante esse período, eles começaram a imaginar uma maneira de estender a analogia crucial entre os pontos de torção das curvas elípticas e os pontos de órbita finitos dos sistemas dinâmicos. Eles sabiam que podiam transformar um problema aparentemente não relacionado em um em que a analogia fosse diretamente aplicável. Esse problema surge de algo chamado conjectura de Manin-Mumford.
A conjectura de Manin-Mumford é sobre curvas que são mais complicadas do que curvas elípticas, como y2 = x6 + x4 + x2 – 1. Cada uma dessas curvas vem com um objeto geométrico maior associado chamado Jacobiano, que imita certas propriedades da curva e muitas vezes é mais fácil para os matemáticos estudar do que a própria curva. Uma curva fica dentro de seu jacobiano da mesma forma que uma peça fica dentro de um quebra-cabeça.
Ao contrário das curvas elípticas, essas curvas mais complicadas não têm uma estrutura de grupo que permite adicionar pontos em uma curva para obter outros pontos na curva. Mas os jacobianos associados sim. Os jacobianos também têm pontos de torção, assim como curvas elípticas, que circulam sobre si mesmas sob repetidas adições internas.
A conjectura de Manin-Mumford tem a ver com quantas vezes uma dessas curvas complicadas, aninhada dentro de sua Jacobiana, cruza os pontos de torção da Jacobiana. Ele prevê que essas interseções ocorrem finitamente muitas vezes. A conjectura reflete a inter-relação entre a natureza algébrica de uma curva (da mesma forma que os pontos de torção são soluções especiais para as equações que definem a curva) e sua vida como um objeto geométrico (refletindo como a curva está embutida em seu Jacobiano, como uma forma dentro de outro). Os pontos de torção estão lotados em todas as regiões do Jacobiano. Se você aumentar o zoom em qualquer parte minúscula dele, você os encontrará. Mas a conjectura de Manin-Mumford prevê que, surpreendentemente, a curva aninhada ainda consegue perder todas, exceto um número finito delas.
Em 1983, Michel Raynaud provou a conjectura verdadeira. Desde então, os matemáticos têm tentado atualizar seu resultado. Em vez de apenas saber que o número de interseções é finito, eles gostariam de saber que está abaixo de algum valor específico.
“Agora que você sabe que eles têm apenas finitamente muitos pontos em comum, então cada matemático que você encontraria diria, bem, quantos?” disse Krieger.
Mas o esforço para contar os pontos de interseção foi impedido pela falta de uma estrutura clara para pensar sobre os números complexos que definem esses pontos. A dinâmica aritmética acabou fornecendo um.
Traduzindo o problema
Em seu artigo de 2020, DeMarco, Krieger e Ye estabeleceram que há um limite superior no número de interseção para uma família de curvas. Um artigo mais recente de outro matemático, Lars Kühne, da Universidade de Copenhagen, apresenta uma prova que estabelece um limite superior para todas as curvas. Esse artigo, que usa ideias semelhantes ao trabalho de DeMarco, Krieger e Ye, foi postado no final de janeiro e ainda não foi totalmente examinado.
O resultado anterior de Raynaud provou simplesmente que o número de interseções é finito – mas deixou espaço para esse número finito ser tão grande quanto você poderia desejar (no sentido de que você sempre pode fazer um número finito maior). A nova prova do trio estabelece o que é chamado de limite uniforme, um limite de quão grande pode ser esse número finito de interseções. DeMarco, Krieger e Ye não identificaram exatamente esse limite, mas provaram que ele existe e também identificaram uma longa série de etapas que trabalhos futuros podem tomar para calcular o número.
Sua prova se baseia em uma propriedade única dos Jacobianos associada a esta família especial de curvas: elas podem ser divididas em duas curvas elípticas.
As curvas elípticas que compõem os Jacobianos obtêm suas soluções dos números complexos, o que dá aos seus gráficos uma aparência mais volumosa do que os gráficos de curvas elípticas cujas soluções vêm dos números reais. Em vez de uma linha ondulada, eles se parecem com a superfície de um donut. A família específica de curvas que DeMarco, Krieger e Ye estudaram tem jacobianos que parecem donuts de dois furos. Eles se separam bem em dois donuts regulares, cada um dos quais é o gráfico de uma das duas curvas elípticas constituintes.
O novo trabalho enfoca os pontos de torção dessas curvas elípticas. Os três matemáticos sabiam que o número em que estavam interessados – o número de pontos de intersecção entre curvas complicadas e os pontos de torção de seus jacobianos – poderia ser reenquadrado em termos do número de vezes que os pontos de torção de uma dessas curvas elípticas se sobrepõem aos pontos de torção do outro. Portanto, para colocar um limite na conjectura de Manin-Mumford, tudo o que os autores tiveram que fazer foi contar o número de interseções entre esses pontos de torção.
Eles sabiam que isso não poderia ser realizado diretamente. As duas curvas elípticas e seus pontos de torção não puderam ser comparados imediatamente porque eles não se sobrepõem necessariamente. Os pontos de torção são polvilhados nas superfícies das curvas elípticas, mas as duas curvas podem ter formas muito diferentes. É como comparar pontos na superfície de uma esfera com pontos na superfície de um cubo – os pontos podem ter posições relativas semelhantes sem realmente se sobrepor.
“Você não pode realmente comparar os pontos nessas curvas elípticas, porque eles estão em lugares diferentes; eles estão vivendo em diferentes objetos geométricos”, disse Krieger.
Mas, embora os pontos de torção não se sobreponham necessariamente, é possível pensar em pares deles como estando na mesma posição relativa em cada donut. E pares de pontos de torção que ocupam a mesma posição relativa em seus respectivos donuts podem ser considerados como se cruzando.
A fim de determinar precisamente onde essas interseções ocorrem, os autores tiveram que levantar os pontos de torção de suas respectivas curvas e transpô-los uns sobre os outros – quase da mesma forma que você ajustaria um mapa estelar ao céu noturno.
Os matemáticos sabiam sobre esses mapas estelares, mas não tinham uma boa perspectiva que lhes permitisse contar os pontos sobrepostos. DeMarco, Krieger e Ye conseguiram isso usando dinâmica aritmética. Eles traduziram as duas curvas elípticas em dois sistemas dinâmicos diferentes. Os dois sistemas dinâmicos geraram pontos no mesmo espaço real, o plano complexo.
“É mais fácil pensar em um espaço com dois sistemas dinâmicos separados, em vez de dois espaços separados com um sistema dinâmico”, disse DeMarco.
Os pontos de órbita finitos dos dois sistemas dinâmicos corresponderam aos pontos de torção das curvas elípticas subjacentes. Agora, para colocar um limite na conjectura de Manin-Mumford, os matemáticos só precisavam contar o número de vezes que esses pontos de órbita finitos se sobrepuseram. Eles usaram técnicas de sistemas dinâmicos para resolver o problema.
Contando a Sobreposição
Para contar o número de sobreposições, DeMarco, Krieger e Ye recorreram a uma ferramenta que mede o quanto o valor de um ponto inicial cresce à medida que é repetidamente adicionado a si mesmo.
Os pontos de torção nas curvas elípticas não têm crescimento ou mudança de longo prazo, uma vez que circulam de volta para si mesmos. Os matemáticos medem esse crescimento, ou a falta dele, usando uma “função de altura”. É igual a zero quando aplicado aos pontos de torção de curvas elípticas. Da mesma forma, é igual a zero quando aplicado aos pontos de órbita finitos de sistemas dinâmicos. As funções de altura são uma ferramenta essencial na dinâmica aritmética porque podem ser usadas em qualquer lado da divisão entre os dois ramos.
Os autores estudaram a frequência com que os pontos de altura zero coincidem para os sistemas dinâmicos que representam as curvas elípticas. Eles mostraram que esses pontos estão suficientemente espalhados ao redor do plano complexo de modo que é improvável que coincidam – tão improvável, na verdade, que eles não podem fazer isso mais do que um número específico de vezes.
Esse número é difícil de calcular e provavelmente é muito maior do que o número real de pontos coincidentes, mas os autores provaram que esse limite rígido existe. Eles então traduziram o problema de volta para a linguagem da teoria dos números para determinar um número máximo de pontos de torção compartilhados em duas curvas elípticas – a chave para sua pergunta original e uma demonstração provocativa do poder da dinâmica aritmética.
“Eles são capazes de responder a uma pergunta específica que já existia apenas na teoria dos números e que ninguém pensava que tivesse algo a ver com sistemas dinâmicos”, disse Patrick Ingram, da York University, em Toronto. “Isso chamou muita atenção.”
Pouco depois de DeMarco, Krieger e Ye postaram pela primeira vez sua prova de um uniforme com destino à conjectura de Manin-Mumford, eles lançaram um segundo artigo relacionado. O trabalho de acompanhamento é sobre uma questão em sistemas dinâmicos, em vez de teoria dos números, mas usa métodos semelhantes. Nesse sentido, o par de papéis é um produto quintessencial da analogia que Silverman notou quase 30 anos antes.
“Em certo sentido, é o mesmo argumento aplicado a duas famílias diferentes de exemplos”, disse DeMarco.
Os dois artigos sintetizaram muitas das ideias que os matemáticos que trabalham com dinâmica aritmética desenvolveram nas últimas três décadas, ao mesmo tempo que adicionaram técnicas totalmente novas. Mas Silverman vê os artigos como mais sugestivos do que conclusivos, sugerindo uma influência ainda mais ampla para a nova disciplina.
“Os teoremas específicos são casos especiais de como deveriam ser as grandes conjecturas”, disse Silverman. “Mas mesmo esses teoremas individuais são muito, muito bonitos.”
Publicado em 23/02/2021 01h22
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