Os matemáticos há muito refletem sobre o alcance de uma cabra amarrada a uma cerca no pasto, apenas encontrando respostas aproximadas até agora.
Aqui está um problema que parece simples: imagine uma cerca circular que envolve um acre de grama. Se você amarrar uma cabra na parte interna da cerca, de quanto comprimento de corda você precisa para permitir que o animal acesse exatamente meio acre?
Parece geometria do ensino médio, mas matemáticos e entusiastas da matemática têm refletido sobre esse problema de várias formas por mais de 270 anos. E embora eles tenham resolvido com sucesso algumas versões, o quebra-cabeça da cabra em um círculo se recusou a render qualquer coisa, exceto respostas vagas e incompletas.
Mesmo depois de todo esse tempo, “ninguém sabe uma resposta exata para o problema original básico”, disse Mark Meyerson, um matemático emérito da Academia Naval dos EUA. “A solução é dada apenas aproximadamente.”
Mas no início deste ano, um matemático alemão chamado Ingo Ullisch finalmente fez progressos, encontrando o que é considerada a primeira solução exata para o problema – embora até mesmo isso venha de uma forma pesada e hostil ao leitor.
“[Esta] é a primeira expressão explícita que conheço [para o comprimento da corda]”, disse Michael Harrison, um matemático da Carnegie Mellon University. “Certamente é um avanço.”
Claro, isso não vai virar os livros didáticos ou revolucionar a pesquisa matemática, Ullisch admite, porque esse problema é isolado. “Não está conectado a outros problemas ou embutido em uma teoria matemática.” Mas é possível que mesmo quebra-cabeças divertidos como esse dêem origem a novas ideias matemáticas e ajudem os pesquisadores a encontrar novas abordagens para outros problemas.
Dentro (e fora) do Barnyard
O primeiro problema desse tipo foi publicado na edição de 1748 do periódico londrino The Ladies Diary: Or, The Woman’s Almanack – uma publicação que prometia apresentar “novos avanços nas artes e ciências, e muitos detalhes divertidos”.
O cenário original envolve “um cavalo amarrado para se alimentar em um Gentlemen’s Park.” Neste caso, o cavalo é amarrado do lado de fora de uma cerca circular. Se o comprimento da corda é igual à circunferência da cerca, qual é a área máxima da qual o cavalo pode se alimentar? Essa versão foi posteriormente classificada como um “problema exterior”, uma vez que se tratava de pastar fora, e não dentro, do círculo.
Cortesia de Coleções Especiais da Biblioteca da Universidade de Princeton
Uma resposta apareceu na edição de 1749 do Diário. Foi fornecido pelo “Sr. Heath”, que se baseou em “Julgamento e uma Tabela de Logaritmos”, entre outros recursos, para chegar a sua conclusão.
A resposta de Heath – 76.257,86 jardas quadradas para uma corda de 160 jardas – foi uma aproximação ao invés de uma solução exata. Para ilustrar a diferença, considere a equação x2 – 2 = 0. Pode-se derivar uma resposta numérica aproximada, x = 1,4142, mas isso não é tão preciso ou satisfatório quanto a solução exata, x = √2.
O problema reapareceu em 1894, na primeira edição do American Mathematical Monthly, reformulado como o problema inicial de pastar em uma cerca (desta vez sem qualquer referência a animais de fazenda). Esse tipo é classificado como um problema interno e tende a ser mais desafiador do que sua contraparte externa, explicou Ullisch. No problema externo, você começa com o raio do círculo e o comprimento da corda e calcula a área. Você pode resolver isso por meio da integração.
“Reverter esse procedimento – começando com uma determinada área e perguntando quais entradas resultam nessa área – é muito mais complicado”, disse Ullisch.
Nas décadas que se seguiram, o Monthly publicou variações sobre o problema do interior, que envolviam principalmente cavalos (e em pelo menos um caso uma mula) em vez de cabras, com cercas de formato circular, quadrado e elíptico. Mas na década de 1960, por razões misteriosas, as cabras começaram a substituir os cavalos na literatura sobre problemas de pastagem – isso apesar do fato de que as cabras, de acordo com o matemático Marshall Fraser, podem ser “independentes demais para se submeterem a amarras”.
Cabras em dimensões superiores
Em 1984, Fraser foi criativo, levando o problema do reino plano e pastoral para um terreno mais amplo. Ele calculou quanto tempo uma corda é necessária para permitir que uma cabra pastoreie exatamente na metade do volume de uma esfera n-dimensional à medida que n vai para o infinito. Meyerson identificou uma falha lógica no argumento e corrigiu o erro de Fraser mais tarde naquele ano, mas chegou à mesma conclusão: conforme n se aproxima do infinito, a proporção da corda de amarração para o raio da esfera se aproxima de √2.
Como Meyerson observou, essa maneira aparentemente mais complicada de enquadrar o problema – no espaço multidimensional, em vez de em um campo de grama – na verdade tornou mais fácil encontrar uma solução. “Em dimensões infinitas, temos uma resposta clara, enquanto em duas dimensões não existe uma solução tão clara.”
Em 1998, Michael Hoffman, também um matemático da Naval Academy, expandiu o problema em uma direção diferente depois de encontrar um exemplo do problema externo por meio de um grupo de notícias online. Essa versão buscou quantificar a área disponível para um touro amarrado fora de um silo circular. O problema intrigou Hoffman, e ele decidiu generalizá-lo para o exterior não apenas de um círculo, mas de qualquer curva suave e convexa, incluindo elipses e até mesmo curvas não fechadas.
“Uma vez que você vê um problema declarado em um caso simples, sendo um matemático, você frequentemente tenta ver como pode generalizá-lo”, disse Hoffman.
Hoffman considerou o caso em que a guia (de comprimento L) é menor ou igual a metade da circunferência da curva. Primeiro, ele desenhou uma linha tangente à curva no ponto onde a guia do touro está presa. O touro pode pastar em um semicírculo de área πL2 / 2 delimitado pela tangente. Hoffman então concebeu uma solução integral exata para os espaços entre a tangente e a curva para determinar a área total de pastejo.
Mais recentemente, o matemático da Universidade Lancaster Graham Jameson elaborou o caso tridimensional do problema interno em detalhes com seu filho Nicholas, escolhendo-o porque recebeu menos atenção. Uma vez que as cabras não podem se mover facilmente em três dimensões, os Jamesons chamaram isso de “problema dos pássaros” em seu artigo de 2017: se você amarra um pássaro a um ponto no interior de uma gaiola esférica, quanto tempo a amarra deve ter para confinar o pássaro para metade do volume da gaiola?
“O problema tridimensional é realmente mais simples de resolver do que o bidimensional”, disse o Jameson mais velho, e a dupla chegou a uma solução precisa. No entanto, uma vez que a forma matemática da resposta – que Jameson caracterizou como “exata (embora horrível!)” – teria sido assustadora para os não iniciados, eles também usaram uma técnica de aproximação para fornecer uma resposta numérica para o comprimento da corda que “manipuladores de pássaros pode preferir.”
Pegando sua cabra
No entanto, uma solução exata para o problema bidimensional do interior de 1894 permanecia ilusória – até o artigo de Ullisch no início deste ano. Ullisch ouviu pela primeira vez sobre o problema das cabras de um parente em 2001, quando era criança. Ele começou a trabalhar nele em 2017, após fazer o doutorado pela Universidade de Münster. Ele queria tentar uma nova abordagem.
Já era bem sabido que o problema da cabra podia ser reduzido a uma única equação transcendental, que por definição inclui termos trigonométricos como seno e cosseno. Isso poderia criar um obstáculo, já que muitas equações transcendentais são intratáveis; x = cos (x), por exemplo, não tem soluções exatas.
Mas Ullisch configurou o problema de tal forma que ele pudesse obter uma equação transcendental mais tratável para trabalhar: sin (β) – β cos (β) – π/2 = 0. E embora esta equação também possa parecer incontrolável, ele percebeu que poderia abordá-lo usando análise complexa – um ramo da matemática que aplica ferramentas analíticas, incluindo as do cálculo, a expressões contendo números complexos. A análise complexa existe há séculos, mas, pelo que Ullisch sabe, ele foi o primeiro a aplicar essa abordagem a cabras famintas.
Com essa estratégia, ele conseguiu transformar sua equação transcendental em uma expressão equivalente para o comprimento da corda que permitiria ao bode pastar na metade do cercado. Em outras palavras, ele finalmente respondeu à pergunta com uma formulação matemática precisa.
Infelizmente, há um problema. A solução de Ullisch não é algo simples como a raiz quadrada de 2. É um pouco mais confusa – a proporção de duas expressões chamadas integrais de contorno, com vários termos trigonométricos adicionados à mistura – e não pode te dizer, de uma forma prática sentido, quanto tempo para fazer a guia da cabra. Ainda são necessárias aproximações para obter um número que seja útil para qualquer pessoa na criação de animais.
Mas Ullisch ainda vê valor em ter uma solução exata, mesmo que não seja limpa e simples. “Se usarmos apenas valores numéricos (ou aproximações), nunca saberemos a natureza intrínseca da solução”, disse ele. “Ter uma fórmula pode nos dar mais informações sobre como a solução é composta.”
Não desistindo da cabra
Ullisch deixou de lado a cabra que pastava por enquanto, pois não tinha certeza de como ir mais longe com isso, mas outros matemáticos estão perseguindo suas próprias ideias. Harrison, por exemplo, tem um artigo publicado na Mathematics Magazine no qual explora propriedades da esfera para atacar uma generalização tridimensional do problema da cabra pastando.
“Muitas vezes é valioso em matemática pensar em novas maneiras de obter uma resposta – mesmo para um problema que já foi resolvido antes”, observou Meyerson, “porque talvez ele possa ser generalizado para uso de outras maneiras”.
E é por isso que tanta tinta matemática foi dedicada a animais de fazenda imaginários. “Meus instintos dizem que nenhum avanço matemático virá do trabalho com o problema das cabras que pastam”, disse Harrison, “mas nunca se sabe. Uma nova matemática pode vir de qualquer lugar.”
Hoffman está mais otimista. A equação transcendental que Ullisch criou está relacionada às equações transcendentais que Hoffman investigou em um artigo de 2017. O interesse de Hoffman por essas equações foi despertado, por sua vez, por um artigo de 1953 que estimulou mais trabalhos, apresentando métodos estabelecidos sob uma nova luz. Ele vê possíveis paralelos na maneira como Ullisch aplicou abordagens conhecidas em análises complexas a equações transcendentais, desta vez em um novo cenário envolvendo cabras.
“Nem todo progresso na matemática vem de pessoas que fazem descobertas fundamentais”, disse Hoffman. “Às vezes, consiste em olhar para abordagens clássicas e encontrar um novo ângulo – uma nova maneira de juntar as peças que pode eventualmente levar a novos resultados.”
Publicado em 08/01/2021 00h10
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