É possível verificar provas para problemas matemáticos muito difíceis com o entrelaçamento quântico infinito
Tem sido um mistério por que a matemática pura pode revelar tanto sobre a natureza do mundo físico.
A antimatéria foi descoberta nas equações de Paul Dirac antes de ser detectada nos raios cósmicos. Quarks apareceram em símbolos esboçados em um guardanapo por Murray Gell-Mann vários anos antes de serem confirmados experimentalmente. As equações de Einstein para a gravidade sugeriram que o universo estava se expandindo uma década antes de Edwin Hubble fornecer a prova. A matemática de Einstein também previu ondas gravitacionais um século inteiro antes que aparelhos gigantes detectassem essas ondas (que foram produzidas por colisões de buracos negros – também deduzidas pela matemática de Einstein).
O físico vencedor do Nobel Eugene Wigner aludiu ao poder misterioso da matemática como a “eficácia irracional da matemática nas ciências naturais”. De alguma forma, disse Wigner, a matemática criada para explicar fenômenos conhecidos contém pistas para fenômenos ainda não experimentados – a matemática dá mais do que foi colocada. “A enorme utilidade da matemática nas ciências naturais é algo que beirava o misterioso e … não há explicação racional para isso”, escreveu Wigner em 1960.
Mas talvez haja uma nova pista para o que essa explicação pode ser. Talvez o poder peculiar da matemática para descrever o mundo físico tenha algo a ver com o fato de que o mundo físico também tem algo a dizer sobre matemática.
Pelo menos, isso é uma implicação concebível de um novo artigo que surpreendeu os mundos inter-relacionados da matemática, ciência da computação e física quântica.
Em um artigo de 165 páginas extremamente complicado, o cientista da computação Zhengfeng Ji e seus colegas apresentam um resultado que penetra no coração de questões profundas sobre matemática, computação e sua conexão com a realidade. Trata-se de um procedimento para verificar as soluções para proposições matemáticas muito complexas, mesmo algumas que se acredita serem impossíveis de resolver. Em essência, a nova descoberta se resume a demonstrar um vasto abismo entre infinito e quase infinito, com enormes implicações para certos problemas matemáticos de alto perfil. Ver esse abismo, ao que parece, requer o poder misterioso da física quântica.
Todos os envolvidos sabem há muito tempo que alguns problemas de matemática são difíceis de resolver (pelo menos sem tempo ilimitado), mas uma solução proposta pode ser facilmente verificada. Suponha que alguém alega ter a resposta para um problema tão difícil. A prova deles é longa demais para verificar linha por linha. Você pode verificar a resposta apenas fazendo a essa pessoa (o “provador”) algumas perguntas? Às vezes sim. Mas para provas muito complicadas, provavelmente não. Porém, se houver dois provadores, ambos em posse da prova, fazer algumas perguntas a cada um deles poderá permitir que você verifique se a prova está correta (pelo menos com uma probabilidade muito alta). Porém, há um problema: os provadores devem ser mantidos separados, para que não possam se comunicar e, portanto, conspiram em como responder às suas perguntas. (Essa abordagem é chamada MIP, para prova interativa multiprover – multiprover interactive proof).
Verificar uma prova sem realmente ver não é um conceito tão estranho. Existem muitos exemplos de como um profissional pode convencê-lo de que sabe a resposta para um problema sem realmente lhe responder. Um método padrão para codificar mensagens secretas, por exemplo, conta com o uso de um número muito grande (talvez com centenas de dígitos) para codificar a mensagem. Só pode ser decodificado por alguém que conhece os principais fatores que, quando multiplicados, produzem um número muito grande. É impossível descobrir esses números primos (dentro da vida útil do universo), mesmo com um exército de supercomputadores. Portanto, se alguém pode decodificar sua mensagem, eles provaram a você que conhecem os números primos, sem precisar dizer o que são.
Algum dia, porém, calcular esses números primos pode ser viável, com um computador quântico de geração futura. Os computadores quânticos de hoje são relativamente rudimentares, mas, em princípio, um modelo avançado pode decifrar códigos calculando os fatores primos para números enormemente grandes.
Esse poder deriva, pelo menos em parte, do estranho fenômeno conhecido como entrelaçamento quântico. E acontece que, da mesma forma, o entrelaçamento quântico aumenta o poder dos provadores de MIP. Ao compartilhar uma quantidade infinita de emaranhamento quântico, os provadores de MIP podem verificar provas muito mais complicadas do que os provadores de MIP não quânticos.
É obrigatório dizer que emaranhamento é o que Einstein chamou de “ação assustadora à distância”. Mas não é uma ação à distância e parece assustadora. Partículas quânticas (digamos fótons, partículas de luz) de uma origem comum (digamos, ambas cuspidas por um único átomo) compartilham uma conexão quântica que liga os resultados de certas medições feitas nas partículas, mesmo que estejam distantes. Pode ser misterioso, mas não é mágico. É física.
Digamos que dois provadores compartilhem um suprimento de pares de fótons emaranhados. Eles podem convencer um verificador de que eles têm uma prova válida para alguns problemas. Mas para uma grande categoria de problemas extremamente complicados, esse método funciona apenas se o suprimento dessas partículas entrelaçadas for infinito. Uma grande quantidade de emaranhamento não é suficiente. Tem que ser literalmente ilimitado. Uma quantidade enorme, mas finita de emaranhamento, nem pode se aproximar do poder de uma quantidade infinita de emaranhamento.
Como Emily Conover explica em seu relatório, essa descoberta prova algumas falsas conjecturas matemáticas amplamente consideradas. Uma delas, conhecido como problema de Tsirelson, sugeriu especificamente que uma quantidade suficiente de emaranhamento poderia se aproximar do que você poderia fazer com uma quantidade infinita. O problema de Tsirelson era matematicamente equivalente a outro problema em aberto, conhecido como conjectura de incorporação de Connes, que tem a ver com a álgebra de operadores, os tipos de expressões matemáticas usadas na mecânica quântica para representar quantidades que podem ser observadas.
Refutar a conjectura de Connes e mostrar que o MIP e o envolvimento poderiam ser usados ??para verificar provas imensamente complicadas, surpreendeu muitos na comunidade matemática. (Um especialista, ao ouvir as notícias, comparou suas fezes com tijolos.) Mas o novo trabalho provavelmente não causará nenhum impacto imediato no mundo cotidiano. Por um lado, os provadores oniscientes não existem e, se existissem, provavelmente teriam que ser futuros computadores quânticos super-AI com capacidade ilimitada de computação (para não mencionar um suprimento insondável de energia). Ninguém sabe como fazer isso no século Jornada nas Estrelas.
Ainda assim, a busca dessa descoberta possivelmente trará implicações mais profundas para matemática, ciência da computação e física quântica.
Provavelmente não lançará nenhuma luz sobre controvérsias sobre a melhor maneira de interpretar a mecânica quântica, como observa o teórico da ciência da computação Scott Aaronson em seu blog sobre o novo achado. Mas talvez isso possa fornecer algum tipo de pista sobre a natureza do infinito. Isso pode ser bom para alguma coisa, talvez esclarecendo se o infinito desempenha um papel significativo na realidade ou se é uma mera idealização matemática.
Em outro nível, o novo trabalho levanta um ponto interessante sobre a relação entre matemática e o mundo físico. A existência de entrelaçamento quântico, um fenômeno físico (surpreendente), de alguma forma permite que os matemáticos resolvam problemas que parecem ser estritamente matemáticos. Perguntar por que a física ajuda a matemática pode ser tão divertido quanto contemplar a eficácia irracional da matemática em ajudar a física. Talvez até um dia explique o outro.
Publicado em 19/02/2020 21h12
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