Um dos resultados mais estranhos em matemática explica como é possível transformar uma esfera em duas cópias idênticas, simplesmente reorganizando suas peças.
Imagine dois amigos caminhando na floresta. Eles ficam com fome e decidem partir uma maçã, mas meia maçã parece insuficiente. Então, um deles se lembra de uma das ideias mais estranhas que ela já encontrou. É um teorema matemático envolvendo o infinito que torna possível, pelo menos em princípio, transformar uma maçã em duas.
Esse argumento é chamado de paradoxo de Banach-Tarski, em homenagem aos matemáticos Stefan Banach e Alfred Tarski, que o conceberam em 1924. Ele prova que, de acordo com as regras fundamentais da matemática, é possível dividir uma bola tridimensional sólida em pedaços que se recombinam para formar duas cópias idênticas do original. Duas maçãs de uma.
“De imediato, percebe-se que é totalmente contra-intuitivo”, disse Dima Sinapova, da Universidade de Illinois, em Chicago.
O paradoxo surge de um dos conceitos mais alucinantes da matemática: o infinito.
O infinito parece um número, mas não se comporta como um. Você pode adicionar ou subtrair qualquer número finito ao infinito e o resultado ainda é o mesmo infinito com o qual começou. Mas isso não significa que todos os infinitos são criados iguais.
Ao longo do século passado, os matemáticos provaram que alguns são maiores do que outros. Por exemplo, os números naturais (1, 2, 3 e assim por diante) são um infinito contável. Eles duram para sempre, mas é possível contá-los (como listar os números de 1 a 1 trilhão).
Em contraste, os números reais – todas as infinitas marcas de escala que denotam decimais na reta numérica – são uma infinidade incontável: É impossível contar todos os números reais que estão em qualquer intervalo da reta numérica, mesmo um aparentemente muito pequeno , como o intervalo entre zero e 1.
Essa diferença entre infinitos contáveis e incontáveis torna os números naturais um infinito menor do que os números reais – uma distinção que os matemáticos transmitem ao dizer que os dois têm “cardinalidade” diferente.
Distinguir cardinalidades é mais do que jiujitsu conceitual – em 1891 Georg Cantor provou que realmente existem mais números reais do que naturais. Cantor também provou que o número infinito de pontos em uma linha tem a mesma cardinalidade que o número infinito de pontos que preenchem o volume de uma forma, como uma esfera.
Banach e Tarski perceberam que você pode transformar uma esfera em duas dividindo o incontável conjunto infinito de pontos que ele contém em – prepare-se para isso – um incontável número infinito de conjuntos incontáveis infinitos. A separação ocorre por meio de um procedimento de dissecção muito específico.
Para construir um desses conjuntos infinitos contáveis, escolha um ponto de partida. Qualquer ponto na esfera servirá. Em seguida, escolha duas medidas de ângulo que são um número irracional de graus (ou seja, qualquer número de graus, como pi, que não pode ser escrito como uma fração). Em um momento, você começará a girar a esfera. Um desses ângulos é para rotações Norte-Sul e o outro é para rotações Leste-Oeste.
Agora, gire a esfera Norte, Sul, Leste ou Oeste pelo número apropriado de graus. Você vai pousar em um novo ponto. Este é o segundo ponto em seu conjunto (o primeiro ponto é o seu ponto de partida).
Em seguida, gire a esfera novamente em qualquer uma dessas quatro direções, com a única estipulação de que você não pode retroceder diretamente na direção de onde veio – sem girar para o oeste logo depois de girar para o leste. Você obterá um terceiro ponto. Se você repetir este procedimento um número infinito de vezes, você criará um conjunto com muitos pontos infinitos.
Este conjunto terá algumas propriedades principais. A primeira é que nunca incluirá o mesmo ponto mais de uma vez – isso é garantido em virtude do fato de que seus ângulos de rotação são irracionais. A segunda é que o conjunto será infinito de forma contável – você pode atribuir um número natural a cada ponto selecionado por meio do processo de rotação.
“A esfera inteira é um objeto incontável”, disse Spencer Unger, um teórico de conjuntos da Universidade de Toronto. “Mas é dividido em um monte de peças contáveis.”
Repita este mesmo procedimento a partir de qualquer ponto da esfera. Cada ponto de partida gera seu próprio conjunto exclusivo de pontos subsequentes. Desta forma, você pode criar um número infinito de conjuntos, cada um dos quais contendo um número infinito de pontos.
Depois de ter esses conjuntos, você vai organizar seus pontos em um punhado de grupos. Quatro grupos serão identificados pela última rotação realizada antes do pouso em um ponto. Um quinto grupo conterá o ponto central da esfera e todos os pontos nos pólos. Um sexto grupo coletará todos os pontos de partida.
Se você fosse combinar esses grupos, eles ainda produziriam apenas uma esfera – não as duas que Banach e Tarski buscavam. Para dobrar, eles adaptaram uma ideia do matemático Felix Hausdorff, que lhes permitiu girar todos os pontos dentro de um único grupo para criar um conjunto diferente de pontos que era maior do que o grupo com o qual eles começaram.
Tome, por exemplo, o grupo que contém todos os pontos derivados de uma rotação final para o Leste. Agora, gire este grupo para o oeste. Isso anula instantaneamente todas as rotações finais para o Leste e transforma o grupo na coleção (ainda infinita) de pontos que precedeu imediatamente a formação dos conjuntos originais durante o processo de construção dos conjuntos. O grupo agora contém pontos que terminaram nas rotações Norte, Sul e, criticamente, Leste, que foi a base original para o grupo. Em outras palavras, a peça girada contém coisas novas e seu antigo eu.
A natureza do infinito torna possível esse aumento aparente. Girar todo o grupo leste para oeste apaga todas as últimas rotações do leste. Então, o que resta?
Nenhum caminho terminando no oeste precedeu os Easts finais porque o retrocesso não era permitido. Mas um número infinito de caminhos que terminam no leste precederam essas curvas finais para o leste (nenhuma regra proíbe fazer do leste-leste as suas duas últimas rotações). Um número infinito de caminhos que terminam com Norte e Sul também. Simplesmente girando todo o grupo leste para oeste, nós o transformamos em um grupo que contém todos os pontos leste, norte e sul. Todos os pontos de partida também estão lá (porque todo caminho que consiste em apenas uma curva para o leste agora retornou à sua origem).
Neste ponto, duplicamos todos os pontos em três dos seis grupos (Norte, Sul e pontos de partida). Em seguida, precisamos apenas duplicar os outros três grupos (Leste, Oeste e pólos / centro). Os dois primeiros são fáceis: basta girar o grupo Norte para o Sul, que fornece todos os pontos Norte, Leste e Oeste.
Finalmente, precisamos duplicar os pólos e o ponto central. Isso ocorre por meio de um processo semelhante ao de outro argumento relacionado ao infinito chamado Hilbert?s hotel, idealizado por David Hilbert em 1924, o mesmo ano em que Banach e Tarski surgiram com seu paradoxo.
Neste experimento mental, imagine um hotel com um número infinito de quartos. Suponha que apenas a Sala 43 esteja vazia. Pegue todos os hóspedes do quarto 44 e acima e mova-os para baixo em um quarto. Você preencheu a vaga sem criar uma nova (porque quando você desloca infinitos convidados em um quarto, sempre há um convidado para substituir aquele que você acabou de mudar).
Agora imagine o conjunto ausente de pólos como vagas pontuando diferentes linhas de latitude na esfera duplicada. Mude todos os pontos em cada linha de latitude e o infinito preencherá as vagas.
O ponto central vazio existe em outro círculo que pode ser preenchido da mesma maneira. Como resultado, voila! Duplicamos todos os seis grupos. Agora podemos combinar cada conjunto de seis grupos em sua própria esfera.
O resultado parece impossível. Como você pode dobrar o volume de um objeto apenas decompondo-o e reorganizando-o? Uma explicação é que Banach-Tarski descarrega o fardo da incontabilidade. Decompor a esfera com rotações sequenciais, como contar números naturais, cria um espaço de trabalho mais gerenciável – um infinito mais gerenciável do que o incontável que assola a esfera inicial.
O paradoxo tem detratores. Alguns vêem isso como uma conclusão absurda que aponta para uma falha nas regras de raciocínio matemático que permitem isso.
“É como um termômetro”, disse Norman Wildberger, um professor de matemática recentemente aposentado da University of New South Wales em Sydney, Austrália. “É como uma enorme bandeira vermelha.”
A regra matemática que torna possível o paradoxo de Banach-Tarski é chamada de axioma da escolha. É um dos nove axiomas em um sistema chamado teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ou ZFC, que serve como base da matemática moderna.
No desenvolvimento histórico de ZFC, o axioma da escolha às vezes é visto como um acréscimo aos outros oito – um status que o torna vulnerável a críticas quando permite resultados como o paradoxo de Banach-Tarski. O axioma da escolha concede aos matemáticos o poder de “escolher” um item de cada caixa de uma coleção, mesmo que essa coleção seja infinita. Isso faz de Banach-Tarski um teste de Rorschach para trabalhar com o infinito: muitos vêem o paradoxo como maravilhoso; críticos como Wildberger se encolhem.
Mas a maioria dos matemáticos não perde o sono com o axioma da escolha. Eles vêem o paradoxo Banach-Tarski como uma demonstração da riqueza da matemática. Ele oferece um exemplo fiel de como a matemática pode se desviar da intuição física sem se contradizer.
“Quase tudo pode ser duplicado – pode ser decomposto em duas coisas da mesma cardinalidade”, disse Sinapova.
Publicado em 04/09/2021 11h27
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