A integral de caminho de Richard Feynman é tanto uma poderosa máquina de previsão quanto uma filosofia sobre como o mundo é. Mas os físicos ainda estão lutando para descobrir como usá-lo e o que isso significa.
A fórmula mais poderosa da física começa com um fino S, o símbolo de uma espécie de soma conhecida como integral. Mais adiante vem um segundo S, representando uma quantidade conhecida como ação. Juntos, esses Ss gêmeos formam a essência de uma equação que é indiscutivelmente o adivinho mais eficaz do futuro já concebido.
A fórmula oracular é conhecida como integral de caminho de Feynman. Tanto quanto os físicos podem dizer, ele prevê com precisão o comportamento de qualquer sistema quântico – um elétron, um raio de luz ou até mesmo um buraco negro. A integral do caminho acumulou tantos sucessos que muitos físicos acreditam que seja uma janela direta para o coração da realidade.
“É assim que o mundo realmente é”, disse Renate Loll, física teórica da Radboud University, na Holanda.
Mas a equação, embora esteja nas páginas de milhares de publicações de física, é mais uma filosofia do que uma receita rigorosa. Sugere que nossa realidade é uma espécie de mistura – uma soma – de todas as possibilidades imagináveis. Mas não diz aos pesquisadores exatamente como realizar a soma. Assim, os físicos passaram décadas desenvolvendo um arsenal de esquemas de aproximação para construir e calcular a integral de diferentes sistemas quânticos.
As aproximações funcionam tão bem que físicos intrépidos como Loll estão agora buscando a integral de caminho final: uma que combina todas as formas concebíveis de espaço e tempo e produz um universo com a forma do nosso como resultado líquido. Mas nessa busca para mostrar que a realidade é de fato a soma de todas as realidades possíveis, eles se deparam com uma profunda confusão sobre quais possibilidades devem entrar na soma.
Todos os caminhos levam a um
A mecânica quântica realmente decolou em 1926, quando Erwin Schrödinger criou uma equação que descrevia como os estados ondulatórios das partículas evoluem de momento a momento. Na década seguinte, Paul Dirac apresentou uma visão alternativa do mundo quântico. A dele baseava-se na venerável noção de que as coisas seguem o caminho de “menos ação” para ir de A a B – a rota que, falando de maneira geral, leva menos tempo e energia. Richard Feynman mais tarde se deparou com o trabalho de Dirac e desenvolveu a ideia, revelando o caminho integral em 1948.
O coração da filosofia está em plena exibição na quintessência da demonstração da mecânica quântica: o experimento da dupla fenda.
Os físicos disparam partículas em uma barreira com duas fendas e observam onde as partículas pousam em uma parede atrás da barreira. Se as partículas fossem balas, elas formariam um aglomerado atrás de cada fenda. Em vez disso, as partículas aterrissam ao longo da parede traseira em faixas repetidas. O experimento sugere que o que se move através das fendas é na verdade uma onda que representa as possíveis localizações da partícula. As duas frentes de onda emergentes interferem entre si, produzindo uma série de picos onde a partícula pode acabar sendo detectada.
Alexandre Gustafsson
O padrão de interferência é um resultado extremamente estranho porque implica que ambos os caminhos possíveis da partícula através da barreira têm uma realidade física.
A integral do caminho assume que é assim que as partículas se comportam mesmo quando não há barreiras ou fendas ao redor. Primeiro, imagine cortar uma terceira fenda na barreira. O padrão de interferência na parede oposta mudará para refletir a nova rota possível. Agora continue cortando fendas até que a barreira não seja nada além de fendas. Por fim, preencha o restante do espaço com “barreiras” totalmente abertas. Uma partícula disparada neste espaço segue, de certa forma, todas as rotas através de todas as fendas até a parede oposta – até mesmo rotas bizarras com desvios em loop. E de alguma forma, quando somadas corretamente, todas essas opções se somam ao que você esperaria se não houvesse barreiras: um único ponto brilhante na parede oposta.
É uma visão radical do comportamento quântico que muitos físicos levam a sério. “Eu considero isso completamente real”, disse Richard MacKenzie, físico da Universidade de Montreal.
Mas como um número infinito de caminhos curvos pode resultar em uma única linha reta? O esquema de Feynman, grosso modo, é pegar cada caminho, calcular sua ação (o tempo e a energia necessários para percorrer o caminho) e, a partir disso, obter um número chamado amplitude, que indica a probabilidade de uma partícula percorrer esse caminho. Então você soma todas as amplitudes para obter a amplitude total de uma partícula indo daqui para lá – uma integral de todos os caminhos.
Ingenuamente, os caminhos desviados parecem tão prováveis quanto os retos, porque a amplitude de qualquer caminho individual tem o mesmo tamanho. Crucialmente, porém, as amplitudes são números complexos. Enquanto os números reais marcam pontos em uma linha, os números complexos agem como setas. As setas apontam em diferentes direções para diferentes caminhos. E duas setas apontando uma para a outra somam zero.
O resultado é que, para uma partícula viajando pelo espaço, as amplitudes de caminhos mais ou menos retos apontam essencialmente na mesma direção, amplificando-se mutuamente. Mas as amplitudes dos caminhos sinuosos apontam para todos os lados, então esses caminhos trabalham um contra o outro. Apenas o caminho em linha reta permanece, demonstrando como o único caminho clássico de menor ação emerge de infinitas opções quânticas.
Feynman mostrou que sua integral de caminho é equivalente à equação de Schrödinger. O benefício do método de Feynman é uma prescrição mais intuitiva de como lidar com o mundo quântico: resumir todas as possibilidades.
Soma de todas as ondulações
Os físicos logo entenderam as partículas como excitações em campos quânticos – entidades que preenchem o espaço com valores em todos os pontos. Onde uma partícula pode se mover de um lugar para outro ao longo de caminhos diferentes, um campo pode ondular aqui e ali de maneiras diferentes.
Felizmente, a integral de caminho também funciona para campos quânticos. “É óbvio o que fazer”, disse Gerald Dunne, físico de partículas da Universidade de Connecticut. “Em vez de somar todos os caminhos, você soma todas as configurações de seus campos.” Você identifica os arranjos iniciais e finais do campo e, em seguida, considera todas as histórias possíveis que os ligam.
Cortesia do CERN
O próprio Feynman se apoiou no caminho integral para desenvolver uma teoria quântica do campo eletromagnético em 1949. Outros descobririam como calcular ações e amplitudes para campos que representam outras forças e partículas. Quando os físicos modernos prevêem o resultado de uma colisão no Grande Colisor de Hádrons na Europa, a integral do caminho é a base de muitos de seus cálculos. A loja de presentes vende até uma caneca de café exibindo uma equação que pode ser usada para calcular o principal ingrediente da integral de caminho: a ação dos campos quânticos conhecidos.
“É absolutamente fundamental para a física quântica”, disse Dunne.
Apesar de seu triunfo na física, a integral de caminho deixa os matemáticos enjoados. Mesmo uma simples partícula movendo-se pelo espaço tem infinitos caminhos possíveis. Os campos são piores, com valores que podem mudar de infinitas maneiras em infinitos lugares. Os físicos têm técnicas inteligentes para lidar com a torre oscilante dos infinitos, mas os matemáticos argumentam que a integral nunca foi projetada para operar em um ambiente tão infinito.
“É como magia negra”, disse Yen Chin Ong, físico teórico da Universidade de Yangzhou, na China, com formação em matemática. “Matemáticos não se sentem confortáveis trabalhando com coisas onde não está claro o que está acontecendo.”
No entanto, obtém resultados indiscutíveis. Os físicos conseguiram até estimar o caminho integral para a força forte, a interação extraordinariamente complexa que mantém unidas as partículas nos núcleos atômicos. Eles usaram dois hacks principais para fazer isso. Primeiro, eles transformaram o tempo em um número imaginário, um estranho truque que transforma amplitudes em números reais. Então eles aproximaram o continuum espaço-tempo infinito como uma grade finita. Os praticantes dessa abordagem da teoria quântica de campo da “rede” podem usar a integral de caminho para calcular as propriedades de prótons e outras partículas que sentem a força forte, superando a matemática frágil para obter respostas sólidas que correspondam aos experimentos.
“Para alguém como eu em física de partículas”, disse Dunne, “essa é a prova de que a coisa funciona”.
Espaço-Tempo = A Soma de Quê?
O maior mistério da física fundamental, no entanto, está além do alcance experimental. Os físicos desejam entender a origem quântica da força da gravidade. Em 1915, Albert Einstein reformulou a gravidade como o resultado de curvas no tecido do espaço e do tempo. Sua teoria revelou que o comprimento de uma régua de medição e o tique-taque de um relógio mudam de um lugar para outro – que o espaço-tempo é um campo maleável, em outras palavras. Outros campos têm uma natureza quântica, então a maioria dos físicos espera que o espaço-tempo também deva, e que a integral do caminho deva capturar esse comportamento.
Sueddeutsche Zeitung Photo/Alamy (esquerda); Espólio de Francis Bello/Science Source (à direita)
A filosofia de Feynman é clara: os físicos devem somar todas as formas possíveis do espaço-tempo. Mas quando consideramos a forma do espaço e do tempo, exatamente o que é possível?
O espaço-tempo pode ser dividido, por exemplo, separando um local de outro. Ou pode ser perfurado por tubos – buracos de minhoca – que ligam os locais. As equações de Einstein permitem essas formas exóticas, mas proíbem mudanças que levariam a elas; rasgos ou fusões violariam a causalidade e aumentariam os paradoxos da viagem no tempo. Ninguém sabe se o espaço-tempo e a gravidade podem se envolver em atividades mais ousadas no nível quântico, portanto, os físicos não sabem se devem ou não jogar espaço-tempos de queijo suíço na “integral do caminho gravitacional”.
Um campo suspeita que tudo entra. Stephen Hawking, por exemplo, defendeu uma integral de caminho que acomoda rasgos, buracos de minhoca, rosquinhas e outras mudanças “topológicas” selvagens entre as formas do espaço. Ele se apoiou no truque do número imaginário para ganhar tempo e tornar a matemática mais fácil. Tornar o tempo imaginário efetivamente o transforma em outra dimensão do espaço. Em uma arena tão atemporal, não há noção de causalidade para estragar universos cheios de buracos de minhoca ou rasgados. Hawking usou essa integral de caminho “euclidiano” atemporal para argumentar que o tempo começou no Big Bang e para contar os blocos de construção do espaço-tempo dentro de um buraco negro. Recentemente, pesquisadores usaram a abordagem euclidiana para argumentar que informações vazam de buracos negros moribundos.
Este “parece ser o ponto de vista mais rico a ser adotado”, disse Simon Ross, um teórico da gravidade quântica da Universidade de Durham. “A integral do caminho gravitacional, definida para incluir todas as topologias, tem algumas propriedades bonitas que ainda não entendemos completamente.”
Mas a perspectiva mais rica tem um preço. Alguns físicos não gostam de remover um elemento de carga da realidade, como o tempo. A integral do caminho euclidiano “é realmente completamente não física”, disse Loll.
Seu acampamento se esforça para manter o tempo no caminho integral, situando-o no espaço-tempo que conhecemos e amamos, onde as causas precedem estritamente os efeitos. Depois de passar anos desenvolvendo maneiras de aproximar essa integral de caminho muito mais formidável, Loll encontrou indícios de que a abordagem pode funcionar. Em um artigo, por exemplo, ela e seus colaboradores adicionaram um monte de formas padrão de espaço-tempo (aproximando cada uma delas como uma colcha de retalhos de minúsculos triângulos) e obtiveram algo como nosso universo – o espaço-tempo equivalente a mostrar que as partículas se movem em linhas retas.
Outros estão avançando no caminho atemporal integral para o espaço-tempo e a gravidade, com todas as mudanças topológicas incluídas. Em 2019, os pesquisadores definiram rigorosamente a integral completa – não apenas uma aproximação – para universos bidimensionais, mas usando ferramentas matemáticas que confundiram ainda mais seu significado físico. Esse trabalho apenas aprofunda a impressão, entre físicos e matemáticos, de que a integral do caminho contém um poder que está esperando para ser aproveitado. “Talvez ainda não tenhamos definido integrais de caminho”, disse Ong, “mas fundamentalmente acho que é apenas uma questão de tempo”.
Publicado em 12/02/2023 14h21
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