Físicos na Alemanha e nos EUA provaram que a complexidade quântica de circuitos aleatórios cresce linearmente por tempos extremamente longos. O resultado tem implicações para o chamado “paradoxo do crescimento do buraco de minhoca” nas teorias da gravidade quântica, graças a uma ligação proposta entre complexidade e o volume de buracos de minhoca – atalhos hipotéticos conectando regiões distantes do espaço na teoria geral da relatividade de Einstein.
Encontrar uma teoria quântica da gravidade é um dos problemas mais famosos da física, e o princípio holográfico oferece um caminho intrigante para resolvê-lo. A ideia é tentar descrever a gravidade quântica dentro de um pedaço do espaço, focando no limite desse pedaço, que é descrito por uma teoria não gravitacional. Qualquer quantidade na teoria gravitacional que se aplique à maior parte da mancha deve ser equivalente ou “dual” a alguma outra quantidade na teoria que se aplica à fronteira.
No entanto, surge um paradoxo ao introduzir buracos de minhoca no espaço-tempo. Conhecido como o “paradoxo do crescimento do buraco de minhoca”, isso ocorre porque enquanto o volume de um buraco de minhoca cresce por um tempo muito longo (dependendo exponencialmente do tamanho da mancha), o limite parece se estabelecer em equilíbrio muito mais rapidamente. Portanto, determinar a quantidade dual do volume do buraco de minhoca em constante expansão é um desafio importante.
Uma chave complexa
O paradoxo do crescimento do buraco de minhoca foi identificado pela primeira vez pelo físico americano Leonard Susskind em 2014. Na época, Susskind também propôs uma solução, sugerindo que a “complexidade quântica” do estado do limite poderia ser dupla ao volume do buraco de minhoca. A complexidade quântica de um estado, grosso modo, é uma medida de quão difícil é produzir esse estado a partir de um estado de referência inicial. Muitos teóricos da área acreditam que a complexidade quântica continua a crescer mesmo depois que outras quantidades se estabilizam em seus valores de equilíbrio, sugerindo que isso pode ser a chave para resolver o paradoxo.
É importante, no entanto, provar que a complexidade quântica do estado limite cresce da mesma maneira que o volume do buraco de minhoca no volume. Em um artigo recente na Nature Physics, Jonas Haferkamp, Philippe Faist, Naga Kothakonda e Jens Eisert da Freie Universität Berlin e Nicole Yunger Halpern da Universidade de Maryland mostraram que sim – pelo menos para uma classe particular de modelos.
Os pesquisadores consideraram um sistema quântico muito simples no qual bits quânticos de dois níveis, ou qubits, passam por uma série de transformações aleatórias de dois qubits. Eles mostraram que a complexidade quântica do estado dos qubits cresceu linearmente no tempo até atingir um valor de saturação em algum momento muito tardio que dependia exponencialmente do número de qubits. Esse padrão reflete precisamente a maneira como o volume do buraco de minhoca cresce.
O complicador do trabalho é que a complexidade quântica – que neste caso é o número mínimo de operações de dois qubits que devem ser realizadas para chegar a um determinado estado – é notoriamente difícil de avaliar. Na verdade, é quase impossível saber se existe um atalho para produzir o mesmo estado com menos operações.
Considerações sobre proxy
Os pesquisadores encontraram uma maneira de contornar isso considerando uma quantidade proxy: a dimensão do espaço de todos os estados possíveis que o sistema poderia alcançar executando N operações de dois qubits. Se eles pudessem mostrar que essa “dimensão acessível” aumentava a cada operação, isso equivaleria a provar que a esmagadora maioria desses estados não pode ser alcançada por menos de N operações. Assim, realizar operações aleatoriamente em um estado inicial produz genericamente estados com uma complexidade que aumenta a cada operação.
Uma classe de operações surpreendentemente simples, as chamadas unitárias de Clifford, forneceram uma chave para a prova. “As unidades de Clifford são onipresentes na informação quântica”, explica Haferkamp, “mas essa aplicação ainda me surpreendeu, pois [apesar da complexidade dos estados sendo tratados] as próprias unidades de Clifford têm uma complexidade de circuito muito baixa”. Usando essa ferramenta, ele e seus colegas mostraram que a dimensão acessível – e, portanto, a complexidade quântica – aumenta a cada operação, até atingir seu valor máximo após um tempo exponencialmente longo. “Não se pode enganar a natureza”, resume Haferkamp. “As evoluções de longo prazo não podem ser revertidas em um tempo substancialmente mais curto; não há ‘atalhos'”.
Embora o novo estudo seja o primeiro a demonstrar o crescimento linear da complexidade quântica para circuitos qubit aleatórios, a noção de complexidade quântica que Haferkamp e colegas usaram é um pouco menos geral do que a considerada em um artigo seminal de 2016 de Fernando Brandão e colegas. O teorema atual é, portanto, mais forte em alguns aspectos do que este resultado anterior e mais fraco em outros. No entanto, circuitos quânticos aleatórios são simplesmente modelos de brinquedo para os estados limites que aparecem em exemplos do princípio holográfico – aqueles que podem lançar alguma luz sobre a gravidade quântica – e outras abordagens frutíferas estão sendo buscadas em paralelo. Portanto, esses resultados são um passo importante, mas preliminar, para resolver o paradoxo do crescimento do buraco de minhoca. Nas palavras de Haferkamp, o trabalho da equipe fornece uma “verificação de sanidade” crucial para a solução proposta para o paradoxo, ou seja, que o volume é equivalente à complexidade.
Publicado em 12/05/2022 08h35
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