As equações de campo de Einstein parecem muito simples, mas codificam uma quantidade enorme de complexidade.
O que parece uma equação compacta são, na verdade, 16 equações complicadas, relacionando a curvatura do espaço-tempo à matéria e energia do universo.
As equações de campo de Einstein parecem muito simples, mas codificam uma quantidade enorme de complexidade.
O que parece uma equação compacta são, na verdade, 16 equações complicadas, relacionando a curvatura do espaço-tempo à matéria e energia do universo.
Ele mostra como a gravidade é fundamentalmente diferente de todas as outras forças e, no entanto, de muitas maneiras, é a única que podemos compreender.
Embora Einstein seja uma figura lendária na ciência por um grande número de razões – E = mc², o efeito fotoelétrico e a noção de que a velocidade da luz é uma constante para todos – sua descoberta mais duradoura é também a menos compreendida: sua teoria de gravitação, relatividade geral. Antes de Einstein, pensávamos na gravitação em termos newtonianos: que tudo no universo que tem massa atrai instantaneamente todas as outras massas, dependendo do valor de suas massas, da constante gravitacional e do quadrado da distância entre elas. Mas a concepção de Einstein era totalmente diferente, baseada na ideia de que o espaço e o tempo eram unificados em um tecido, o espaço-tempo, e que a curvatura do espaço-tempo dizia não apenas à matéria, mas também à energia como se mover dentro dela.
Essa ideia fundamental – que a matéria e a energia dizem ao espaço-tempo como se curvar e que o espaço-tempo curvo, por sua vez, diz à matéria e à energia como se mover – representava uma nova visão revolucionária do universo. Apresentado em 1915 por Einstein e validado quatro anos depois, durante um eclipse solar total – quando a curvatura da luz das estrelas proveniente de fontes de luz atrás do sol concordou com as previsões de Einstein e não com as de Newton – a relatividade geral passou em todos os testes observacionais e experimentais que já inventamos . No entanto, apesar de seu sucesso ao longo de mais de 100 anos, quase ninguém entende do que se trata a única equação que governa a relatividade geral. Aqui, em inglês simples, é o que realmente significa.
Essa equação parece muito simples, pois há apenas alguns símbolos presentes. Mas é bastante complexo.
– O primeiro, Gμν, é conhecido como tensor de Einstein e representa a curvatura do espaço.
– O segundo, λ, é a constante cosmológica: uma quantidade de energia, positiva ou negativa, que é inerente à própria estrutura do espaço.
– O terceiro termo, g, é conhecido como métrica, que codifica matematicamente as propriedades de cada ponto no espaço-tempo.
– O quarto termo, 8πG / c4, é apenas um produto de constantes e é conhecido como constante gravitacional de Einstein, a contraparte da constante gravitacional de Newton (G) com a qual a maioria de nós está mais familiarizada.
– O quinto termo, Tμν, é conhecido como tensor tensão-energia e descreve a energia local (nas proximidades), momento e tensão dentro desse espaço-tempo.
Esses cinco termos, todos relacionados entre si por meio do que chamamos de equações de campo de Einstein, são suficientes para relacionar a geometria do espaço-tempo com toda a matéria e energia dentro dele: a marca registrada da relatividade geral.
Você pode estar se perguntando o que há com todos esses subscritos – aquelas estranhas combinações “” de letras gregas que você vê na parte inferior do tensor de Einstein, da métrica e do tensor de tensão-energia. Na maioria das vezes, quando escrevemos uma equação, estamos escrevendo uma equação escalar, ou seja, uma equação que representa apenas uma única igualdade, onde a soma de tudo no lado esquerdo é igual a tudo no lado direito. Mas também podemos escrever sistemas de equações e representá-los com uma única formulação simples que codifica essas relações.
E = mc² é uma equação escalar porque a energia (E), a massa (m) e a velocidade da luz (c) têm apenas valores únicos e únicos. Mas F = ma de Newton não é uma única equação, mas três equações separadas: Fx = max para a direção “x”, Fy = may para a direção “y” e Fz = maz para a direção “z”. Na relatividade geral, o fato de termos quatro dimensões (três espaços e um tempo) e também dois subscritos, que os físicos chamam de índices, significa que não há uma equação, nem mesmo três ou quatro. Em vez disso, temos cada uma das quatro dimensões (t, x, y, z) que afetam cada uma das outras quatro (t, x, y, z), para um total de 4 × 4 ou 16 equações.
Por que precisaríamos de tantas equações apenas para descrever a gravitação, enquanto Newton precisava apenas de uma?
Porque a geometria é uma besta complicada, porque estamos trabalhando em quatro dimensões e porque o que acontece em uma dimensão, ou mesmo em um local, pode se propagar para fora e afetar todos os locais do universo, se você permitir que o tempo passe. Nosso universo, com três dimensões espaciais e uma dimensão de tempo, significa que a geometria de nosso universo pode ser tratada matematicamente como uma variedade quadridimensional.
Na geometria Riemanniana, onde as variedades não precisam ser retas e rígidas, mas podem ser arbitrariamente curvas, você pode quebrar essa curvatura em duas partes: partes que distorcem o volume de um objeto e partes que distorcem a forma de um objeto. A parte “Ricci” distorce o volume, e isso desempenha um papel no tensor de Einstein, já que o tensor de Einstein é composto do tensor de Ricci e do escalar de Ricci, com algumas constantes e a métrica inserida. A parte “Weyl” é a distorção da forma e, contra-intuitivamente, não desempenha nenhum papel nas equações de campo de Einstein.
As equações de campo de Einstein não são apenas uma equação, então, mas um conjunto de 16 equações diferentes: uma para cada uma das combinações “4 × 4”. Conforme um componente ou aspecto do universo muda, como a curvatura espacial em qualquer ponto ou em qualquer direção, todos os outros componentes também podem mudar em resposta. Esta estrutura, de muitas maneiras, leva o conceito de uma equação diferencial para o próximo nível.
Uma equação diferencial é qualquer equação onde você pode fazer o seguinte:
– você pode fornecer as condições iniciais do seu sistema, como o que está presente, onde e quando está e como está se movendo, então você pode conectar essas condições em sua equação diferencial, e a equação dirá como essas coisas evoluem com o tempo, avançando para o próximo instante, onde você pode inserir essa informação de volta na equação diferencial, onde ela então lhe dirá o que acontece posteriormente, no próximo instante.
É uma estrutura tremendamente poderosa e é a razão pela qual Newton precisou inventar o cálculo para que coisas como movimento e gravitação se tornassem campos científicos compreensíveis.
Crédito: JohnsonMartin / Pixabay
Só que, quando começamos a lidar com a relatividade geral, não é apenas uma equação ou mesmo uma série de equações independentes que se propagam e evoluem em sua própria dimensão. Em vez disso, como o que acontece em uma direção ou dimensão afeta todas as outras, temos 16 equações interdependentes acopladas e, conforme os objetos se movem e aceleram no espaço-tempo, a tensão-energia muda, assim como a curvatura espacial.
No entanto, essas “16 equações” não são inteiramente únicas! Em primeiro lugar, o tensor de Einstein é simétrico, o que significa que existe uma relação entre cada componente que acopla uma direção a outra. Em particular, se suas quatro coordenadas de tempo e espaço são (t, x, y, z), então:
– o componente “tx” será equivalente ao componente “xt”,
– o componente “ty” será equivalente ao componente “yt”,
– o componente “tz” será equivalente ao componente “zt”,
– o componente “yx” será equivalente ao componente “xy”,
– o componente “zx” será equivalente ao componente “xz”,
– e o componente “zy” será equivalente ao componente “yz”.
De repente, não existem 16 equações exclusivas, mas apenas 10.
Além disso, existem quatro relações que unem a curvatura dessas diferentes dimensões: as identidades Bianchi. Das 10 equações únicas restantes, apenas seis são independentes, pois essas quatro relações reduzem ainda mais o número total de variáveis independentes. O poder desta parte nos permite a liberdade de escolher qualquer sistema de coordenadas que quisermos, que é literalmente o poder da relatividade: todo observador, independentemente de sua posição ou movimento, vê as mesmas leis da física, como as mesmas regras para a relatividade geral .
Existem outras propriedades desse conjunto de equações que são extremamente importantes. Em particular, se você tomar a divergência do tensor tensão-energia, você sempre, sempre obterá zero, não apenas no geral, mas para cada componente individual. Isso significa que você tem quatro simetrias: nenhuma divergência na dimensão do tempo ou em qualquer uma das dimensões do espaço, e toda vez que você tem uma simetria na física, você também tem uma quantidade conservada.
Na relatividade geral, essas quantidades conservadas se traduzem em energia (para a dimensão do tempo), bem como momento nas direções x, y e z (para as dimensões espaciais). Assim, pelo menos localmente em sua vizinhança próxima, a energia e o momento são conservados para sistemas individuais. Embora seja impossível definir coisas como “energia global” em geral na relatividade geral, para qualquer sistema local dentro da relatividade geral, tanto a energia quanto o momento permanecem conservados o tempo todo; é uma exigência da teoria.
Outra propriedade da relatividade geral que é diferente da maioria das outras teorias físicas é que a relatividade geral, como teoria, é não linear. Se você tiver uma solução para sua teoria, como “como é o espaço-tempo quando coloco uma única massa pontual”, você ficaria tentado a fazer uma afirmação como: “Se eu colocar duas massas pontuais para baixo, então posso combinar a solução para a massa # 1 e a massa # 2 e obter outra solução: a solução para ambas as massas combinadas. ”
Isso é verdade, mas apenas se você tiver uma teoria linear. A gravidade newtoniana é uma teoria linear: o campo gravitacional é o campo gravitacional de todos os objetos somados e sobrepostos uns sobre os outros. O eletromagnetismo de Maxwell é semelhante: o campo eletromagnético de duas cargas, duas correntes ou uma carga e uma corrente podem ser calculados individualmente e somados para dar o campo eletromagnético líquido. Isso é verdade até na mecânica quântica, já que a equação de Schrödinger também é linear (na função de onda).
Mas as equações de Einstein não são lineares, o que significa que você não pode fazer isso. Se você souber a curvatura do espaço-tempo para um único ponto de massa, então colocar um segundo ponto de massa e perguntar: “Como o espaço-tempo é curvo agora?” não podemos escrever uma solução exata. Na verdade, mesmo hoje, mais de 100 anos após a relatividade geral ter sido apresentada pela primeira vez, ainda existem cerca de 20 soluções exatas conhecidas na relatividade, e um espaço-tempo com duas massas pontuais ainda não é uma delas.
Originalmente, Einstein formulou a relatividade geral apenas com o primeiro e o último termos nas equações, ou seja, com o tensor de Einstein de um lado e o tensor tensão-energia (multiplicado pela constante gravitacional de Einstein) do outro. Ele apenas acrescentou a constante cosmológica, pelo menos de acordo com a lenda, porque ele não conseguia engolir as consequências de um universo que era obrigado a se expandir ou se contrair.
E, no entanto, a própria constante cosmológica teria sido uma adição revolucionária, mesmo se a natureza acabasse por não ter um diferente de zero (na forma da energia escura de hoje) por uma razão simples, mas fascinante. Uma constante cosmológica, matematicamente, é literalmente a única coisa “extra” que você pode adicionar à relatividade geral sem alterar fundamentalmente a natureza da relação entre matéria e energia e a curvatura do espaço-tempo.
O coração da relatividade geral, entretanto, não é a constante cosmológica, que é simplesmente um tipo particular de “energia” que você pode adicionar, mas sim os outros dois termos mais gerais. O tensor de Einstein, G, nos diz o que é a curvatura do espaço, e está relacionado ao tensor tensão-energia, T, que nos diz como a matéria e a energia dentro do universo são distribuídas.
Em nosso universo, quase sempre fazemos aproximações. Se ignorássemos 15 das 16 equações de Einstein e simplesmente mantivéssemos o componente “energia”, você recuperaria a teoria que ele substituiu: a lei da gravitação de Newton. Se, em vez disso, você tornou o universo simétrico em todas as dimensões espaciais e não permitiu que ele girasse, obterá um universo isotrópico e homogêneo, governado pelas equações de Friedmann (e, portanto, necessário para expandir ou contrair). Nas maiores escalas cósmicas, isso realmente parece descrever o universo em que vivemos.
Mas você também pode inserir qualquer distribuição de matéria e energia, bem como qualquer coleção de campos e partículas que desejar, e se você puder anotar, as equações de Einstein relacionarão a geometria do seu espaço-tempo com a forma como o próprio universo é curvado para o tensor tensão-energia, que é a distribuição de energia, momento e tensão.
Se realmente existe uma “teoria de tudo” que descreve a gravidade e o universo quântico, as diferenças fundamentais entre essas concepções, incluindo a natureza fundamentalmente não linear da teoria de Einstein, precisarão ser abordadas. Tal como está, dadas suas propriedades amplamente diferentes, a unificação da gravidade com as outras forças quânticas continua sendo um dos sonhos mais ambiciosos de toda a física teórica.
Publicado em 15/09/2021 11h21
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