Quando Lisa Piccirillo resolveu um mistério de décadas sobre o “nó de Conway”, ela teve que superar a estranha capacidade do nó de enganar algumas das ferramentas mais poderosas que os matemáticos inventaram. Conhecidas como invariantes, essas ferramentas formam a espinha dorsal não apenas da teoria dos nós, mas de muitas áreas da matemática, extraindo características essenciais de objetos matemáticos e detectando quando dois objetos são fundamentalmente diferentes um do outro.
Como o nome sugere, um invariante é um atributo que não varia à medida que você altera os recursos não essenciais de um objeto (onde “não essencial” significa o que você precisa em um contexto específico). Um invariante é uma destilação de alguma qualidade inata do objeto, geralmente na forma de um único número.
Para dar um exemplo da topologia, imagine cobrir uma bola com uma rede elástica que divida a superfície em formas como triângulos e retângulos. Obviamente, o número de formas dependerá da rede usada, assim como o número de arestas e cantos. Mas os matemáticos descobriram séculos atrás que uma certa combinação desses três números sempre é a mesma: o número de formas mais o número de cantos menos o número de arestas.
Se, por exemplo, sua rede particionar a esfera em um tetraedro estufado (com quatro triângulos, quatro cantos e seis arestas), esse número funcionará para 4 + 4 – 6 = 2. Se sua rede formar o padrão de um bola de futebol (com um total de 32 hexágonos e pentágonos, 60 cantos e 90 arestas), você recebe novamente 32 + 60 – 90 = 2. Em certo sentido, o número 2 é uma característica intrínseca da esfera. Esse número (chamado de característica de Euler da esfera) não muda se você esticar ou distorcer a esfera; portanto, é o que os matemáticos chamam de invariante topológico.
Se você envolver uma rede em torno de uma superfície de rosquinha, sempre obtém uma característica de Euler igual a 0. Em uma rosquinha de dois furos, obtém -2. A característica de Euler para superfícies pertence a uma série de invariantes que permitem que matemáticos explorem formas em dimensões mais altas também. Isso pode ajudar os topologistas a distinguir entre duas formas que são difíceis de visualizar, pois se elas têm características diferentes de Euler, elas não podem ter a mesma forma topológica.
Quando se trata de teoria dos nós, distinguir entre nós é um negócio complicado, pois você pode tornar um nó irreconhecível apenas movendo os fios do loop (os matemáticos pensam que os nós ocorrem em loops fechados, em vez de cordas abertas, então eles podem ” não ser desfeito). Aqui, os invariantes são indispensáveis, e os matemáticos criaram dezenas que destilam diferentes características dos nós. Mas esses invariantes tendem a ter pontos cegos.
Tomemos, por exemplo, um invariante chamado tricolorability. Um diagrama de nó é tricolor se houver uma maneira de colorir seus fios de vermelho, azul e verde, para que a cada cruzamento os três fios que se encontrem sejam da mesma cor ou de cores diferentes. Os matemáticos mostraram que, mesmo quando você move os fios de um nó, sua tricolorabilidade (ou a falta dele) permanece inalterada. Em outras palavras, a tricolorabilidade é uma característica inata de um nó.
O nó de três cruzamentos conhecido como trevo é tricolor. Mas o “unknot” (um laço que não tem nós reais, mesmo que pareça emaranhado) não é tricolor, fornecendo uma prova instantânea de que o trifólio não é apenas o unknot disfarçado. Mas, embora a tricolabilidade nos permita distinguir alguns nós do nó, não é uma ferramenta perfeita para esse propósito: os nós tricolores são definitivamente atados, mas os nós que não são tricolores não são definitivamente não atados. Por exemplo, o nó da figura oito não é tricolor, mas é genuinamente atado. Esse nó cai no ponto cego da tricolorabilidade – é como se o invariante estivesse dizendo: “O nó da figura oito está desamarrado, tanto quanto eu sei.”
Os invariantes também são usados para estudar o quebra-cabeça 15, um brinquedo clássico composto por peças quadradas numeradas de 1 a 15 que você desliza em uma grade de 4 por 4. O objetivo é colocar um arranjo misto de peças em ordem numérica da esquerda para a direita, começando na linha superior. Se você deseja saber se um acordo específico é solucionável, existe um invariante que fornece a resposta. Emite “par” ou “ímpar”, dependendo da soma de dois números: o número de slides necessários para transportar o quadrado em branco para o canto inferior direito e o número de pares de blocos que estão na ordem numérica reversa (com o quadrado em branco representando o ladrilho 16).
Sempre que você desliza um bloco para o quadrado vazio, esses dois números alternam a paridade (uniformidade ou estranheza). Portanto, a paridade de sua soma nunca muda, o que significa que é uma invariante do processo deslizante. Para a configuração resolvida, esse invariante é par, pois os dois números são zero. Portanto, qualquer configuração com um invariante ímpar é totalmente inútil.
O nó de Conway, um nó de 11 cruzamentos descoberto por John Horton Conway há mais de 50 anos, é extraordinariamente hábil em enganar invariantes de nós – especialmente aqueles projetados para detectar a qualidade em que Piccirillo estava interessado, chamado de sliceness. Sliceness significa que o nó é uma fatia de uma esfera suave mas com nós no espaço quadridimensional.
“Toda vez que há um novo invariante, as pessoas procuram ver o que acontece no nó de Conway”, disse Shelly Harvey, da Rice University. Até agora, o nó de Conway caiu no ponto cego de todos os matemáticos invariantes que surgiram para estudar a dureza.
Quando Piccirillo finalmente conseguiu mostrar que o nó de Conway não é “fatia”, ela o fez não criando um novo invariante, mas encontrando uma maneira inteligente de alavancar um já existente chamado invariante de Rasmussen. O nó de Conway engana esse invariante junto com todos os outros. Mas em seu artigo, Piccirillo apresentou um nó diferente que ela poderia provar ter o mesmo status de fatia que o nó Conway. Para esse novo nó, o invariante de Rasmussen prova que não é fatia. Portanto, o nó Conway também não pode ser cortado.
O invariante s de Rasmussen faz parte de uma coleção de invariantes de nós relacionados à física descobertos nas últimas décadas. Os matemáticos levaram um tempo para absorver o que esses invariantes têm a oferecer, disse Elisenda Grigsby, do Boston College.
Piccirillo faz parte de uma “nova guarda de topologistas de baixa dimensão que cresceram conhecendo [esses invariantes] em seus ossos?, disse Grigsby. “Para mim, isso é emocionante neste artigo.
Publicado em 07/06/2020 18h12
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