Em nossa mente, o universo parece sem fim em todas as direções. Mas, usando a geometria, podemos explorar uma variedade de formas tridimensionais que oferecem alternativas ao espaço infinito “comum”.
Quando você olha para o céu noturno, o espaço parece se estender para sempre em todas as direções. Esse é o nosso modelo mental para o universo, mas não é necessariamente correto. Afinal, houve um tempo em que todos pensavam que a Terra era plana, porque a curvatura do nosso planeta era sutil demais para detectar e uma Terra esférica era insondável.
Hoje, sabemos que a Terra tem a forma de uma esfera. Mas a maioria de nós pensa pouco na forma do universo. Assim como a esfera ofereceu uma alternativa a uma Terra plana, outras formas tridimensionais oferecem alternativas ao espaço infinito “comum”.
Podemos fazer duas perguntas separadas, mas inter-relacionadas, sobre a forma do universo. Uma é sobre sua geometria: as medições locais refinadas de coisas como ângulos e áreas. O outro é sobre sua topologia: como essas peças locais são costuradas em uma forma abrangente.
As evidências cosmológicas sugerem que a parte do universo que podemos ver é suave e homogênea, pelo menos aproximadamente. O tecido local do espaço parece praticamente o mesmo em todos os pontos e em todas as direções. Apenas três geometrias se encaixam nessa descrição: plana, esférica e hiperbólica. Vamos explorar essas geometrias, algumas considerações topológicas e o que as evidências cosmológicas dizem sobre quais formas melhor descrevem nosso universo.
Geometria plana
Essa é a geometria que aprendemos na escola. Os ângulos de um triângulo somam 180 graus e a área de um círculo é ?r2. O exemplo mais simples de uma forma tridimensional plana é o espaço infinito comum – o que os matemáticos chamam de espaço euclidiano – mas há outras formas planas a serem consideradas também.
Essas formas são mais difíceis de visualizar, mas podemos construir alguma intuição pensando em duas dimensões, em vez de três. Além do plano euclidiano comum, podemos criar outras formas planas cortando uma parte do avião e unindo suas bordas. Por exemplo, suponha que recortemos um pedaço retangular de papel e colemos as bordas opostas. Tocar nas bordas superior e inferior nos dá um cilindro:
Em seguida, podemos gravar as bordas direita e esquerda para obter uma rosquinha (o que os matemáticos chamam de toro):
Agora, você pode estar pensando: “Isso não me parece fácil”. E você estaria certo. Trapaceamos um pouco ao descrever como o toro plano funciona. Se você realmente tentasse fazer uma torus com uma folha de papel dessa maneira, teria dificuldades. Fazer o cilindro seria fácil, mas prender as extremidades do cilindro não funcionaria: o papel amassava ao longo do círculo interno do toro e não se esticava o suficiente ao longo do círculo externo. Você precisaria usar algum material elástico em vez de papel. Mas esse alongamento distorce comprimentos e ângulos, alterando a geometria.
Dentro do espaço tridimensional comum, não há como criar um toro físico suave e real a partir de material plano sem distorcer a geometria plana. Mas podemos raciocinar abstratamente sobre como seria viver dentro de um toro plano.
Imagine que você é uma criatura bidimensional cujo universo é um toro plano. Como a geometria desse universo vem de um pedaço de papel plano, todos os fatos geométricos com os quais estamos acostumados são os mesmos de sempre, pelo menos em pequena escala: ângulos em um triângulo somam 180 graus e assim por diante. Mas as mudanças que fizemos na topologia global cortando e gravando significam que a experiência de viver no toro parecerá muito diferente do que estamos acostumados.
Para iniciantes, existem caminhos retos no toro que circulam e retornam ao local onde começaram:
Esses caminhos parecem curvos em um toro distorcido, mas para os habitantes do toro plano eles se sentem retos. E como a luz viaja por caminhos retos, se você olhar para a frente em uma dessas direções, se verá por trás:
No pedaço de papel original, é como se a luz que você vê viajasse por trás de você até atingir a borda esquerda e reaparecesse à direita, como se estivesse em um videogame envolvente:
Uma maneira equivalente de pensar sobre isso é que, se você (ou um feixe de luz) viaja através de uma das quatro arestas, surge no que parece ser uma nova ?sala?, mas na verdade é a mesma sala, apenas vista de uma nova ponto de vista. À medida que você perambula por esse universo, pode atravessar uma infinidade de cópias da sua sala original.
Isso significa que você também pode ver infinitamente muitas cópias diferentes de si mesmo, olhando em direções diferentes. É um tipo de efeito de espelho, exceto que as cópias de vocês não são reflexos:
Na rosquinha, elas correspondem aos muitos loops diferentes pelos quais a luz pode viajar de você de volta para você:
Da mesma forma, podemos construir um toro tridimensional plano colando as faces opostas de um cubo ou outra caixa. Não podemos visualizar esse espaço como um objeto dentro do espaço infinito comum – ele simplesmente não se encaixa – mas podemos raciocinar abstratamente sobre a vida dentro dele.
Assim como a vida no toro bidimensional era como viver em uma matriz bidimensional infinita de salas retangulares idênticas, a vida no toro tridimensional é como viver em uma matriz tridimensional infinita de salas cúbicas idênticas. Você verá inúmeras cópias de si mesmo:
O toro tridimensional é apenas um dos 10 mundos finitos planos diferentes. Também existem mundos infinitos planos, como o análogo tridimensional de um cilindro infinito. Em cada um desses mundos, há um conjunto de espelhos diferentes para experimentar.
Nosso universo é uma dessas outras formas planas?
Quando olhamos para o espaço, não vemos infinitas cópias de nós mesmos. Mesmo assim, é surpreendentemente difícil descartar essas formas planas. Por um lado, todos eles têm a mesma geometria local que o espaço euclidiano, portanto, nenhuma medida local pode distinguir entre eles.
E se você visse uma cópia de si mesmo, essa imagem distante mostraria como você (ou sua galáxia, por exemplo) parecia no passado distante, uma vez que a luz teve que viajar muito tempo para chegar até você. Talvez estejamos vendo cópias irreconhecíveis de nós mesmos por aí. Para piorar a situação, cópias diferentes de si mesmo geralmente estarão a uma distância diferente de você; portanto, a maioria delas não terá a mesma aparência. E talvez eles estejam muito longe para que possamos ver de qualquer maneira.
Para contornar essas dificuldades, os astrônomos geralmente não buscam cópias de nós mesmos, mas repetem aspectos da coisa mais distante que podemos ver: a radiação cósmica de fundo do micro-ondas (CMB) que sobrou logo após o Big Bang. Na prática, isso significa procurar pares de círculos no CMB que tenham padrões correspondentes de pontos quentes e frios, sugerindo que eles são realmente o mesmo círculo visto de duas direções diferentes.
Em 2015, os astrônomos realizaram exatamente essa pesquisa usando dados do telescópio espacial Planck. Eles vasculharam os dados para os tipos de círculos correspondentes que esperamos ver dentro de um toro tridimensional plano ou de uma outra forma tridimensional plana chamada laje, mas eles não conseguiram encontrá-los. Isso significa que, se vivermos em um toro, é provavelmente tão grande que quaisquer padrões de repetição estão além do universo observável.
Geometria esférica
Estamos todos familiarizados com as esferas bidimensionais – a superfície de uma bola, uma laranja ou a Terra. Mas o que significaria para o nosso universo ser uma esfera tridimensional?
É difícil visualizar uma esfera tridimensional, mas é fácil definir uma por uma analogia simples. Assim como uma esfera bidimensional é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa de algum ponto central no espaço tridimensional comum, uma esfera tridimensional (ou “tridimensional”) é o conjunto de todos os pontos a uma distância fixa algum ponto central no espaço quadridimensional.
A vida em três esferas parece muito diferente da vida em um espaço plano. Para ter uma idéia, imagine que você é um ser bidimensional vivendo em uma esfera bidimensional. A esfera bidimensional é o universo inteiro – você não pode ver ou acessar qualquer espaço tridimensional ao redor. Dentro desse universo esférico, a luz viaja pelos caminhos mais curtos possíveis: os grandes círculos. Para você, esses grandes círculos parecem linhas retas.
Agora imagine que você e seu amigo bidimensional estão no Polo Norte, e seu amigo sai para passear. À medida que o seu amigo se afasta, a princípio eles parecerão cada vez menores em seu círculo visual, assim como em nosso mundo comum (embora eles não encolhem tão rapidamente quanto estamos acostumados). Isso ocorre porque, à medida que seu círculo visual cresce, seu amigo ocupa uma porcentagem menor dele:
Mas quando seu amigo passa pelo equador, algo estranho acontece: eles começam a parecer cada vez maiores à medida que se afastam de você. Isso ocorre porque a porcentagem que eles estão ocupando no seu círculo visual está crescendo:
Quando seu amigo estiver a 10 pés de distância do Polo Sul, ele parecerá tão grande quanto quando estiver a 10 pés de você:
E quando eles alcançam o próprio Polo Sul, você pode vê-los em todas as direções, para que preencham todo o seu horizonte visual:
Se não houver ninguém no Polo Sul, seu horizonte visual é algo ainda mais estranho: você mesmo. Isso ocorre porque a luz que sai de você percorre toda a esfera até que ela retorne a você.
Isso é transferido diretamente para a vida na esfera tridimensional. Todos os pontos da três esferas têm um ponto oposto e, se houver um objeto, o veremos como todo o pano de fundo, como se fosse o céu. Se não houver nada lá, nos veremos como pano de fundo, como se nosso exterior tivesse sido sobreposto a um balão, depois virado do avesso e inflado para ser o horizonte inteiro.
Embora a três esferas seja o modelo fundamental para a geometria esférica, não é o único espaço desse tipo. Assim como construímos diferentes espaços planos cortando um pedaço do espaço euclidiano e colando-o, podemos construir espaços esféricos colando um pedaço adequado de uma esfera tridimensional. Cada uma dessas formas coladas terá um efeito de espelhos, como no toro, mas nessas formas esféricas, existem apenas finitas salas para percorrer.
Nosso universo é esférico?
Mesmo os mais narcisistas entre nós não costumam nos ver como pano de fundo de todo o céu noturno. Mas, como no toro plano, apenas porque não vemos um fenômeno, isso não significa que ele não possa existir. A circunferência do universo esférico pode ser maior que o tamanho do universo observável, tornando o cenário muito longe para ser visto.
Mas, diferentemente do toro, um universo esférico pode ser detectado através de medições puramente locais. As formas esféricas diferem do espaço euclidiano infinito, não apenas em sua topologia global, mas também em sua geometria refinada. Por exemplo, como as retas na geometria esférica são grandes círculos, os triângulos são mais inchados do que os equivalentes euclidianos e seus ângulos somam mais de 180 graus:
Embora a três esferas seja o modelo fundamental para a geometria esférica, não é o único espaço desse tipo. Assim como construímos diferentes espaços planos cortando um pedaço do espaço euclidiano e colando-o, podemos construir espaços esféricos colando um pedaço adequado de uma esfera tridimensional. Cada uma dessas formas coladas terá um efeito de espelhos, como no toro, mas nessas formas esféricas, existem apenas finitas salas para percorrer.
Nosso universo é esférico?
Mesmo os mais narcisistas entre nós não costumam nos ver como pano de fundo de todo o céu noturno. Mas, como no toro plano, apenas porque não vemos um fenômeno, isso não significa que ele não possa existir. A circunferência do universo esférico pode ser maior que o tamanho do universo observável, tornando o cenário muito longe para ser visto.
Mas, diferentemente do toro, um universo esférico pode ser detectado através de medições puramente locais. As formas esféricas diferem do espaço euclidiano infinito, não apenas em sua topologia global, mas também em sua geometria refinada. Por exemplo, como as retas na geometria esférica são grandes círculos, os triângulos são mais inchados do que os equivalentes euclidianos e seus ângulos somam mais de 180 graus:
De nossa perspectiva, os triângulos próximos ao círculo de fronteira parecem muito menores que os próximos ao centro, mas, da perspectiva da geometria hiperbólica, todos os triângulos têm o mesmo tamanho. Se tentássemos realmente fazer os triângulos do mesmo tamanho – talvez usando material elástico para o nosso disco e inflando cada triângulo por sua vez, trabalhando para fora do centro -, nosso disco começaria a se parecer com um chapéu de disquete e a dobrar cada vez mais. trabalhou o nosso caminho para o exterior. Ao nos aproximarmos do limite, essa flambagem ficaria fora de controle.
Do ponto de vista da geometria hiperbólica, o círculo de fronteira está infinitamente longe de qualquer ponto interior, já que você precisa cruzar infinitos triângulos para chegar lá. Assim, o plano hiperbólico se estende até o infinito em todas as direções, assim como o plano euclidiano. Mas em termos de geometria local, a vida no plano hiperbólico é muito diferente do que estamos acostumados.
Na geometria euclidiana comum, a circunferência de um círculo é diretamente proporcional ao seu raio, mas na geometria hiperbólica, a circunferência cresce exponencialmente em comparação com o raio. Podemos ver esse acúmulo exponencial nas massas de triângulos próximo ao limite do disco hiperbólico.
Devido a esse recurso, os matemáticos gostam de dizer que é fácil se perder no espaço hiperbólico. Se seu amigo se afastar de você no espaço euclidiano comum, ele começará a parecer menor, mas lentamente, porque seu círculo visual não está crescendo tão rápido. Porém, no espaço hiperbólico, seu círculo visual está crescendo exponencialmente; assim, seu amigo logo parecerá encolher para um ponto exponencialmente pequeno. Se você não acompanhou a rota de seu amigo com cuidado, será quase impossível encontrá-lo mais tarde.
E na geometria hiperbólica, os ângulos de um triângulo somam menos de 180 graus – por exemplo, os triângulos em nosso lado a lado do disco de Poincaré têm ângulos que somam 165 graus:
Os lados desses triângulos não parecem retos, mas é porque estamos olhando a geometria hiperbólica através de uma lente distorcida. Para um habitante do disco de Poincaré, essas curvas são as linhas retas, porque a maneira mais rápida de ir do ponto A ao ponto B é usar um atalho em direção ao centro:
Existe uma maneira natural de fazer um análogo tridimensional para o disco de Poincaré – basta fazer uma bola tridimensional e preenchê-la com formas tridimensionais que ficam menores à medida que se aproximam da esfera de fronteira, como os triângulos no disco de Poincaré. E, assim como nas geometrias planas e esféricas, podemos fazer uma variedade de outros espaços hiperbólicos tridimensionais cortando um pedaço adequado da bola hiperbólica tridimensional e colando suas faces.
Nosso universo é hiperbólico?
A geometria hiperbólica, com seus triângulos estreitos e círculos em crescimento exponencial, não parece se encaixar na geometria do espaço ao nosso redor. E, de fato, como já vimos, até agora a maioria das medidas cosmológicas parece favorecer um universo plano.
Mas não podemos descartar a possibilidade de vivermos em um mundo esférico ou hiperbólico, porque pequenos pedaços de ambos os mundos parecem quase planos. Por exemplo, pequenos triângulos na geometria esférica têm ângulos que somam apenas um pouco mais de 180 graus, e pequenos triângulos na geometria hiperbólica têm ângulos que somam apenas um pouco menos que 180 graus.
É por isso que as primeiras pessoas pensavam que a Terra era plana – nas escalas que eles podiam observar, a curvatura da Terra era muito minúscula para detectar. Quanto maior a forma esférica ou hiperbólica, mais achatadas são as partes pequenas; portanto, se o nosso universo é uma forma esférica ou hiperbólica extremamente grande, a parte que podemos observar pode estar tão próxima de ser plana que sua curvatura só pode ser detectada por instrumentos super-precisos que ainda temos que inventar.
Publicado em 21/03/2020 15h47
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