Ao explorar a aleatoriedade, três matemáticos provaram uma lei elegante que subjaz ao movimento caótico de sistemas turbulentos.
Imagine um rio calmo. Agora imagine uma torrente de água branca. Qual é a diferença entre os dois. Para matemáticos e físicos, é o seguinte: o rio liso flui em uma direção, enquanto a torrente flui em várias direções diferentes ao mesmo tempo.
Os sistemas físicos com esse tipo de movimento aleatório são chamados de turbulentos. O fato de seu movimento se desdobrar de tantas maneiras diferentes ao mesmo tempo os torna difíceis de estudar matematicamente. Gerações de matemáticos provavelmente vão e vêm antes que os pesquisadores sejam capazes de descrever um rio rugindo em declarações matemáticas exatas.
Mas uma nova prova conclui que, embora certos sistemas turbulentos pareçam indisciplinados, eles na verdade estão em conformidade com uma simples lei universal. O trabalho é uma das descrições mais rigorosas da turbulência que já surgiram da matemática. E surge de um novo conjunto de métodos que estão mudando a maneira como os pesquisadores estudam esse fenômeno até então indomável.
“Pode ser a abordagem mais promissora para a turbulência”, disse Vladimir Sverak, matemático da Universidade de Minnesota e especialista no estudo da turbulência.
O novo trabalho fornece uma maneira de descrever padrões na movimentação de líquidos. Esses padrões são evidentes nas rápidas variações de temperatura entre pontos próximos no oceano e na maneira frenética e estilizada pela qual a tinta branca e preta se misturam. Em 1959, um matemático australiano chamado George Batchelor previu que esses padrões seguem uma ordem exata e ordenada. A nova prova valida a verdade da “lei da Batchelor”, como a previsão ficou conhecida.
“Vemos a lei de Batchelor em todo o lugar”, disse Jacob Bedrossian, matemático da Universidade de Maryland, College Park e co-autor da prova com Alex Blumenthal e Samuel Punshon-Smith. “Ao provar essa lei, entendemos melhor como ela é universal”.
Turbulência até o fim Embora as águas brancas de um rio agitado não sejam o tipo exato de turbulência em questão na nova prova, elas estão intimamente relacionadas e mais familiares. Portanto, vale a pena pensar neles por um momento antes de recorrer ao tipo específico de turbulência que os matemáticos analisaram.
Imagine uma pia da cozinha cheia de água. Abra o dreno. A água na pia começará a girar quase como um único corpo. Se você ampliasse o zoom e medisse sua velocidade em escalas mais precisas, continuaria observando a mesma coisa – cada porção microscópica do fluido se move em sincronia com as outras.
“O movimento é predominantemente na escala da própria pia”, disse Blumenthal, um pós-doutorado também na Universidade de Maryland, College Park.
Agora imagine que, em vez de apenas drenar a água, você puxou o plugue enquanto adicionava jatos de água à pia, agitando-o como um jacuzzi. A olho nu, você pode observar um punhado de diferentes vórtices girando na água. Escolha um dos vórtices e aumente o zoom. Se você fosse um matemático tentando analisar o fluxo da pia turbulenta, poderia esperar que cada partícula de água dentro desse vórtice escolhido estivesse se movendo na mesma direção. Isso facilitaria a tarefa de modelar o fluido.
Mas, infelizmente, você descobriria que o próprio vórtice é composto de muitos vórtices diferentes, cada um seguindo seu próprio caminho. Aumente o zoom em um deles e verá que ele também é composto de muitos vórtices diferentes, e assim por diante, até que os efeitos do atrito interno (ou viscosidade) no fluido assumam o controle e o fluxo suaviza.
Essa é uma marca registrada dos sistemas turbulentos – eles apresentam comportamentos distintos aninhados entre si em diferentes escalas. Para descrever completamente o movimento de um sistema turbulento, você precisa de uma imagem do que está acontecendo em todas essas escalas a cada momento. Você não pode ignorar nenhum deles.
Essa é uma tarefa difícil, semelhante à modelagem da trajetória das bolas de bilhar usando tudo, desde o movimento da Terra através da galáxia até as interações entre as moléculas de gás ao redor das bolas.
“Eu preciso aceitar tudo de uma vez, o que torna incrivelmente difícil modelar”, disse Jean-Luc Thiffeault, da Universidade de Wisconsin, que estuda turbulência.
Como resultado, os matemáticos passaram décadas tentando apresentar uma descrição da turbulência que especifica exatamente o que está acontecendo em todos os pontos de um sistema turbulento, a todo momento. Eles não tiveram sucesso.
“A turbulência é muito difícil para que possamos fazer muita coisa diretamente, de frente”, disse Thiffeault.
Isso é verdade para apressar rios e drenar pias. Também é verdade para a variante específica de turbulência na nova prova.
Misturando
A pia e o rio são exemplos de turbulência hidrodinâmica. Eles são turbulentos no sentido de que a velocidade do fluido – sua velocidade e direção – varia muito de ponto a ponto. O novo trabalho trata de outras propriedades além da velocidade que você pode medir em cada ponto de um fluido. Para entender o que isso significa, pense em misturar tinta.
Comece com um recipiente de tinta branca. Agora adicione gotas de tinta preta, uma por segundo, mexendo à medida que avança. A primeira gota cairá na tinta branca e se destacará como uma ilha. Mas em pouco tempo, ele começará a se misturar à tinta branca, alongando-se em tendões cada vez mais finos. Gotas subsequentes de tinta preta estarão em diferentes estágios da mesma transformação: alongamento, alongamento, sendo incorporadas ao corpo acinzentado da tinta.
A maneira como a tinta preta se mistura com o branco nesta simulação demonstra “turbulência escalar passiva”. A lei de Batchelor descreve como esses sistemas turbulentos se comportam.
Do mesmo modo que a velocidade varia de ponto a ponto no tanque de agitação, a concentração de tinta preta varia de ponto a ponto dentro da tinta misturada: mais concentrada em alguns lugares (tendões mais grossos) e menos em outros.
Essa variação é um exemplo de “turbulência escalar passiva”. Você pode pensar nisso como o que acontece quando você mistura um fluido, considerado o “escalar passivo” em outro – leite em café, por exemplo, ou tinta preta em branco.
A turbulência escalar passiva também caracteriza muitos fenômenos no mundo natural, como as dramáticas variações de temperatura entre pontos próximos no oceano. Nesse ambiente, as correntes oceânicas misturam as temperaturas da mesma forma que a agitação mistura tinta preta em branco.
A lei de Batchelor é uma previsão sobre a proporção de fenômenos de grande escala (gavinhas grossas de tinta ou faixas grossas de água do oceano na mesma temperatura) para fenômenos em escalas menores (gavinhas mais finas) quando um fluido é misturado com outro. Isso é chamado de lei porque os físicos o observam em experimentos há anos.
“Do ponto de vista da física, é bom o suficiente para chamar isso de lei”, disse Punshon-Smith, matemático da Universidade Brown. Porém, antes deste trabalho, não havia confirmação matemática de que ele seja absolutamente válido.
Para ter uma idéia do que Batchelor tinha em mente, retorne à pintura. Imagine que você executa o processo por um tempo, adicionando gotas de tinta preta enquanto mexe. Agora congele a imagem. Você verá gavinhas grossas de tinta preta (tinta que foi mexida pelo menor tempo), junto com gavinhas mais finas (tinta que foi mexida por mais tempo) e gavinhas ainda mais finas (tinta que foi mexida por mais tempo).
A lei de Batchelor prevê que o número de gavinhas grossas, finas e finas se ajusta a uma proporção exata – semelhante à maneira como as figuras aninhadas que compõem uma boneca russa seguem uma proporção exata (nesse caso, uma figura por escala de comprimento).
“Em um determinado pedaço de fluido, vejo faixas de escalas diferentes porque algumas gotículas mal começaram a se misturar, enquanto outras já se misturam há um tempo”, disse Blumenthal. “A lei de Batchelor diz a distribuição dos tamanhos dessas faixas de tinta preta”. A proporção exata que ela prevê é complicada de descrever, mas as gavinhas mais finas serão mais numerosas do que as mais grossas na proporção exata.
A lei prevê que a proporção seja mantida mesmo quando você amplia um pedaço de fluido. Você verá exatamente a mesma relação entre gavinhas de tamanhos diferentes na lata de tinta e em um pequeno pedaço de tinta; se você aumentar o zoom em um patch ainda menor, ainda o verá. O padrão parece o mesmo em todas as escalas, assim como ocorre na turbulência hidrodinâmica, onde cada vórtice contém outros vórtices.
É uma previsão poderosa que também é muito difícil de modelar matematicamente. O aninhamento complicado de fenômenos em diferentes escalas de comprimento torna impossível descrever exatamente o surgimento da lei de Batchelor em um único fluxo de fluido.
Mas os autores do novo trabalho descobriram como contornar essa dificuldade e provar a lei de qualquer maneira.
Uma abordagem aleatória
Bedrossian, Blumenthal e Punshon-Smith adotaram uma abordagem que considera o comportamento médio dos fluidos em todos os sistemas turbulentos. Os matemáticos já haviam tentado essa estratégia antes, mas ninguém conseguiu implementá-la com sucesso.
A abordagem funciona porque a aleatoriedade às vezes facilita a previsão precisa do comportamento de um sistema. Imagine um quadro de avisos, como em um game game ou arcade. Solte uma moeda da parte superior e ela ricocheteá de um pino para outro até que se acomode em um dos muitos slots na parte inferior. É difícil prever exatamente onde uma única moeda vai pousar – há muitos fatores que influenciam a maneira como a moeda salta a cada peg.
Em vez disso, você pode tratar o sistema de forma aleatória – reconhecendo que, em cada peg, existe a chance de a moeda saltar para a esquerda e a chance de saltar para a direita. Acerte as probabilidades e faça previsões precisas sobre o comportamento do sistema como um todo. Por exemplo, você pode achar que as moedas têm muito mais probabilidade de cair em determinados slots do que em outros.
“O bom da aleatoriedade é que você pode fazer coisas como calcular a média”, disse Thiffeault. “A média é uma ideia muito sólida, no sentido de que não se importa com muitos detalhes.”
Então, o que isso significa para turbulência e mistura de tinta? Como as declarações determinísticas exatas estão além do alcance da matemática, é mais útil imaginar que as forças que atuam na tinta ocorrem aleatoriamente – às vezes mexendo dessa maneira, às vezes mexendo dessa maneira, sem padrões subjacentes à mexida. Isso é conhecido como abordagem aleatória ou estocástica. Ele permite que os matemáticos adotem uma visão estatística de alto nível e examinem o que acontece nesses tipos de sistemas em geral, sem se atolar nas especificidades de cada detalhe.
“Um pouco de aleatoriedade permite que você elimine as dificuldades”, disse Punshon-Smith.
E foi isso que finalmente permitiu aos três matemáticos provar a lei de Batchelor.
Entendendo a mistura
Uma maneira de provar uma lei física é pensar nas circunstâncias que anulariam a lei. Se você pode provar que essas circunstâncias nunca acontecem, volta a provar que a lei sempre se aplica. Nesse caso, a equipe percebeu que a agitação teria que produzir efeitos muito específicos para evitar as restrições previstas pela lei de Batchelor.
A prova da lei segue quatro artigos publicados on-line entre setembro de 2018 e novembro de 2019. Os três primeiros se concentraram em entender – e excluir – movimentos específicos na tinta de mistura que impediriam que a previsão de Batchelor se tornasse realidade. Eles provaram que, mesmo que você tentasse inventar um fluido perfeitamente projetado para derrotar a lei de Batchelor, o padrão ainda emergiria.
“O principal a entender é que o fluido não conspira contra você”, disse Bedrossian.
Por exemplo, a lei de Batchelor falharia se o processo de mistura produzisse vórtices permanentes, ou redemoinhos, na tinta. Essas banheiras de hidromassagem prendiam um pouco de tinta preta em um só lugar – como detritos presos em uma espiral na beira de um riacho – e a tinta não se misturava.
Dentro de um vórtice como esse, as trajetórias das partículas não são caóticas; eles não se separam rapidamente, porque andam juntos por aí “, disse Bedrossian. “Se o seu sistema não estiver misturando na velocidade correta, você não receberá a lei da Batchelor”.
Em seu primeiro artigo, os matemáticos focaram o que acontece durante o processo de mistura em dois pontos de tinta preta que iniciam o processo um ao lado do outro. Eles provaram que os pontos seguem caminhos caóticos e seguem suas próprias direções. Em outras palavras, os pontos próximos nunca podem ficar presos em um vórtice que os manterá próximos para sempre.
“As partículas se movem juntas inicialmente”, disse Blumenthal, “mas eventualmente elas se separam e vão em direções completamente diferentes”.
No segundo e no terceiro artigo, eles analisaram mais amplamente o processo de mistura. Eles provaram que em um fluido caótico, de um modo geral, a tinta preto e branco se mistura o mais rápido possível. Isso estabeleceu ainda que o fluido turbulento não forma os tipos de imperfeições locais (vórtices) que impediriam que a imagem global elegante descrita pela lei de Batchelor fosse verdadeira.
Nestes três primeiros trabalhos, os autores fizeram a matemática necessária para provar que a tinta se mistura de maneira caótica e completa. Na quarta, eles mostraram que em um fluido com essas propriedades de mistura, a lei de Batchelor segue como conseqüência.
A prova é uma das mais fortes declarações matematicamente rigorosas já feitas sobre sistemas turbulentos. Talvez ainda mais importante, abre caminho para um novo fluxo de idéias matemáticas. A turbulência é um fenômeno caótico, quase aleatório em seu movimento. Os três matemáticos descobriram como combater a aleatoriedade com a aleatoriedade. Outros no campo quase certamente seguirão sua liderança.
“A grande contribuição deles é fornecer uma estrutura na qual agora possamos provar as coisas”, disse Thiffeault. “Acho que a aleatoriedade é uma das poucas maneiras de criar um modelo de turbulência que matematicamente possamos entender.”
Publicado em 07/02/2020 23h48
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