doi.org/10.1093/pnasnexus/pgae311
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“Células moles? – formas com cantos arredondados e pontas pontiagudas que se encaixam em um plano – são encontradas em cebolas, moluscos e muito mais.
Matemáticos descreveram uma nova classe de forma que caracteriza formas comumente encontradas na natureza – das câmaras na icônica concha espiral do nautilus à maneira como as sementes se compactam nas plantas.
O trabalho considera o conceito matemático de “ladrilhamento”: como as formas se tesselam em uma superfície. O problema de preencher um plano com ladrilhos idênticos tem sido tão completamente explorado desde a antiguidade que é tentador supor que não há mais nada sendo descoberto sobre isso. Mas os pesquisadores deduziram os princípios dos ladrilhos com um novo conjunto de blocos de construção geométricos que têm cantos arredondados, que eles chamam de “células moles”.
“Simplesmente, ninguém fez isso antes”, diz Chaim Goodman-Strauss, um matemático do Museu Nacional de Matemática na cidade de Nova York, que não estava envolvido no trabalho. “É realmente incrível quantas coisas básicas há para considerar.”
Sabe-se há milênios que apenas certos tipos de ladrilhos poligonais, como quadrados ou hexágonos, podem ser compactados para preencher o espaço 2D sem lacunas. Ladrilhos que preenchem o espaço sem um arranjo de repetição regular, como os ladrilhos de Penrose, atraíram interesse desde a descoberta de estruturas não periódicas chamadas quasicristais na década de 1980. No ano passado, o primeiro ladrilho quasiperiódico, sem nenhuma periodicidade verdadeira, que usa apenas um único formato de ladrilho foi anunciado por Goodman-Strauss e seus colegas2.
Evitando cantos
O matemático Gábor Domokos da Universidade de Tecnologia e Economia de Budapeste e seus colegas de trabalho retornaram aos mosaicos poligonais periódicos – mas consideraram o que acontece quando alguns cantos são arredondados. Em duas dimensões, nem todos os cantos podem ser arredondados sem deixar lacunas. Mas mosaicos de preenchimento de espaço se tornam possíveis quando alguns cantos são deformados em “formatos de cúspide”. Esses cantos têm ângulos internos de zero – suas bordas se encontram tangencialmente como em uma lágrima, e se encaixam perfeitamente ao lado dos cantos arredondados (veja “Mosaicos suaves”).
Domokos e colegas criaram um algoritmo para converter suavemente mosaicos geométricos – polígonos 2D ou poliedros 3D, como as bolhas de uma espuma – em células suaves, e exploraram a gama de formas possíveis que essas regras permitem. Em 2D, as opções são bastante limitadas: todos os mosaicos devem ter pelo menos dois cantos semelhantes a cúspides. Mas em 3D, a introdução da suavidade tem algumas surpresas reservadas. Em particular, essas células macias podem preencher o espaço volumétrico sem ter cantos.
Os pesquisadores elaboraram uma medida quantitativa do grau de “suavidade” desses ladrilhos 3D que preenchem o espaço e descobriram que os mais macios não são formas compactas, mas, em vez disso, desenvolvem “asas” circulares semelhantes a flanges em suas bordas, geralmente emergindo de superfícies de ladrilhos semelhantes a selas. Os elementos de forma mais macios são, na verdade, discos circulares, dos quais os flanges dos ladrilhos 3D se aproximam.
O custo das torções
Domokos acha que, para qualquer ladrilho poliédrico inicial dado, há um ladrilho único com a maior maciez possível. Ele também suspeita que, em materiais reais, esse ótimo acabará maximizando alguma quantidade física relacionada, digamos, à energia de flexão nas bordas ou à tensão interfacial. Ele admite que ele e seus colegas atualmente não têm nenhuma prova dessa conjectura de maciez máxima, mas espera “que alguém muito mais inteligente pegue isso e prove”.
Os pesquisadores identificaram revestimentos macios na natureza nas formas 2D de ilhas em rios trançados, seções transversais das camadas concêntricas em uma cebola e células biológicas em um tecido, bem como os compartimentos 3D de conchas espirais, como as do nautilus, um molusco marinho (veja “Células macias da natureza”). A natureza geralmente procura evitar cantos, eles acham, porque tais torções têm um alto custo em energia de deformação e podem ser fontes de fraqueza estrutural.
Estudar o nautilus “foi o ponto de virada? do trabalho, diz Domokos. Na seção transversal, os compartimentos da concha pareciam células macias 2D com dois cantos. Mas a coautora Krisztina Reg”s, também da Universidade de Tecnologia e Economia de Budapeste, suspeitou que a câmara 3D real não tinha cantos. “Isso parecia inacreditável”, diz Domokos. “Mas depois descobrimos que ela estava certa.”
Geometria antiga
Considerando que a análise usa matemática que é conhecida há séculos, pode parecer surpreendente que ninguém tenha formalizado a noção de células moles até agora. Mas Goodman-Strauss suspeita que “as bordas moles são um bloco suficiente para que os geômetras não tenham pensado nisso” anteriormente.
“O universo de mosaicos poligonais e poliédricos é tão fascinante e rico que os matemáticos não precisaram expandir seu playground”, diz Domokos. Ele suspeita que há uma percepção comum de que novos insights exigem matemática avançada ou computação de ponta, não simplesmente métodos geométricos bem estabelecidos.
Goodman-Strauss vê o trabalho como oferecendo “um tipo de linguagem descritiva da estrutura”, mas que pode ainda não revelar novos princípios físicos subjacentes à formação de tais estruturas na natureza. Para entender, digamos, margens de rios, ele diz, provavelmente ainda é necessário considerar o processo físico a partir dos primeiros princípios, como os papéis do fluxo, transporte de sedimentos e erosão.
Domokos e colegas acham que arquitetos como Zaha Hadid há muito tempo usam células moles intuitivamente para evitar ou minimizar cantos, seja por razões estéticas ou estruturais. Desde que concluíram o artigo, Domokos e o coautor Alain Goriely da Universidade de Oxford, Reino Unido, colaboraram com arquitetos do California College of Arts em San Fransisco, que criaram uma estrutura premiada usando elementos de células moles feitos – apropriadamente – de cascas de ovos.
Publicado em 25/09/2024 16h08
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