Durante décadas, um pequeno grupo de matemáticos desvendou pacientemente o mistério daquela que já foi a imagem mais popular da matemática. A história deles mostra como a tecnologia transforma até mesmo os cenários matemáticos mais abstratos.
Em meados da década de 1980, assim como os toca-fitas Walkman e as camisas tie-dye, a silhueta em forma de inseto do conjunto de Mandelbrot estava por toda parte.
Estudantes colaram-no nas paredes dos dormitórios em todo o mundo. Os matemáticos receberam centenas de cartas, ansiosos por impressões do conjunto. (Em resposta, alguns deles produziram catálogos completos com listas de preços; outros compilaram suas características mais marcantes em livros.) Os fãs mais experientes em tecnologia poderiam consultar a edição de agosto de 1985 da Scientific American. Na capa, o conjunto de Mandelbrot desdobrava-se em gavinhas de fogo, com a borda em chamas; dentro havia instruções de programação cuidadosas, detalhando como os leitores poderiam gerar a imagem icônica para si próprios.
Nessa altura, essas gavinhas também tinham alargado o seu alcance muito além da matemática, para áreas aparentemente não relacionadas da vida quotidiana. Nos anos seguintes, o conjunto de Mandelbrot inspiraria as mais recentes pinturas de David Hockney e as mais recentes composições de vários músicos – peças semelhantes a fugas no estilo de Bach. Apareceria nas páginas da ficção de John Updike e orientaria a forma como o crítico literário Hugh Kenner analisava a poesia de Ezra Pound. Seria objeto de alucinações psicodélicas e de um documentário popular narrado pelo grande artista da ficção científica Arthur C. Clarke.
O conjunto Mandelbrot tem uma forma especial, com contorno fractal. Use um computador para ampliar os limites irregulares do cenário e você encontrará vales de cavalos-marinhos e desfiles de elefantes, galáxias espirais e filamentos semelhantes a neurônios. Não importa o quão profundo você explore, você sempre verá quase cópias do conjunto original – uma cascata infinita e vertiginosa de auto-semelhança.
Essa auto-similaridade foi um elemento central do livro best-seller de James Gleick, Chaos, que consolidou o lugar do conjunto de Mandelbrot na cultura popular. “Ele continha um universo de ideias”, escreveu Gleick. “Uma filosofia da arte moderna, uma justificativa para o novo papel da experimentação na matemática, uma forma de apresentar sistemas complexos a um grande público.”
O conjunto de Mandelbrot tornou-se um símbolo. Representou a necessidade de uma nova linguagem matemática, uma maneira melhor de descrever a natureza fractal do mundo que nos rodeia. Ilustrou como a complexidade profunda pode emergir das regras mais simples – assim como a própria vida. (“É, portanto, uma verdadeira mensagem de esperança”, disse John Hubbard, um dos primeiros matemáticos estudando o conjunto, num vídeo de 1989, “que possivelmente a biologia pode realmente ser compreendida da mesma forma que estas imagens podem ser compreendidas. “) No conjunto de Mandelbrot, a ordem e o caos viviam em harmonia; determinismo e livre arbítrio poderiam ser reconciliados. Um matemático lembrou-se de ter tropeçado no cenário quando era adolescente e visto isso como uma metáfora para a complicada fronteira entre a verdade e a falsidade.
O cenário de Mandelbrot estava em toda parte, até que deixou de estar.
Em uma década, pareceu desaparecer. Os matemáticos passaram para outros assuntos e o público passou para outros símbolos. Atualmente, apenas 40 anos após a sua descoberta, o fractal tornou-se um cliché, quase kitsch.
Mas um punhado de matemáticos recusou-se a deixar isso passar. Eles dedicaram suas vidas a descobrir os segredos do conjunto de Mandelbrot. Agora, eles acham que finalmente estão prestes a entendê-lo verdadeiramente.
A história deles é de exploração, de experimentação – e de como a tecnologia molda a maneira como pensamos e as perguntas que fazemos sobre o mundo.
Os caçadores de recompensas
Em outubro de 2023, 20 matemáticos de todo o mundo reuniram-se num edifício de tijolos no que outrora foi uma base de investigação militar dinamarquesa. A base, construída no final de 1800 no meio da floresta, ficava num fiorde na costa noroeste da ilha mais populosa da Dinamarca. Um velho torpedo guardava a entrada. Fotos em preto e branco, retratando oficiais da Marinha uniformizados, barcos alinhados em um cais e testes de submarinos em andamento, adornavam as paredes. Durante três dias, enquanto um vento forte transformava a água do lado de fora das janelas em ondas espumosas, o grupo assistiu a uma série de palestras, a maioria delas ministradas por dois matemáticos da Universidade Stony Brook, em Nova York: Misha Lyubich e Dima Dudko.
Na plateia do workshop estavam alguns dos exploradores mais intrépidos do conjunto de Mandelbrot. Perto da frente estava Mitsuhiro Shishikura, da Universidade de Kyoto, que na década de 1990 provou que os limites do cenário são tão complicados quanto possível. Alguns assentos adiante estava Hiroyuki Inou, que ao lado de Shishikura desenvolveu técnicas importantes para estudar uma região particularmente importante do conjunto de Mandelbrot. Na última fila estava Wolf Jung, o criador do Mandel, o software preferido dos matemáticos para investigar interativamente o conjunto de Mandelbrot. Também estiveram presentes Arnaud Chéritat, da Universidade de Toulouse, Carsten Petersen, da Universidade de Roskilde (que organizou o workshop), e vários outros que fizeram contribuições importantes para a compreensão do conjunto de Mandelbrot pelos matemáticos.
E no quadro branco estavam Lyubich, o maior especialista mundial no assunto, e Dudko, um de seus colaboradores mais próximos. Juntamente com os matemáticos Jeremy Kahn e Alex Kapiamba, têm trabalhado para provar uma conjectura de longa data sobre a estrutura geométrica do conjunto de Mandelbrot. Essa conjectura, conhecida como MLC, é o obstáculo final na busca de décadas para caracterizar o fractal, para domar a sua natureza emaranhada.
Ao construir e aperfeiçoar um poderoso conjunto de ferramentas, os matemáticos lutaram para controlar a geometria de “quase tudo no conjunto de Mandelbrot”, disse Caroline Davis, da Universidade de Indiana – exceto em alguns casos restantes. “Misha, Dima, Jeremy e Alex são como caçadores de recompensas, tentando rastrear estes últimos.”
Lyubich e Dudko estavam na Dinamarca para atualizar outros matemáticos sobre o progresso recente na demonstração da MLC e sobre as técnicas que desenvolveram para fazê-lo. Nos últimos 20 anos, investigadores reuniram-se aqui para workshops dedicados a desvendar resultados e métodos no campo da análise complexa, o estudo matemático dos tipos de números e funções utilizados para gerar o conjunto de Mandelbrot.
Era uma configuração incomum: os matemáticos faziam todas as refeições juntos e conversavam e riam tomando cerveja até altas horas da madrugada. Quando finalmente decidiram dormir, retiraram-se para beliches ou camas em pequenos quartos que dividiam no segundo andar do complexo. (Ao chegarmos, fomos instruídos a pegar lençóis e fronhas de uma pilha e levá-los para cima para fazer nossas camas.) Em alguns anos, os participantes da conferência enfrentam um mergulho nas águas geladas; mais frequentemente, eles vagam pela floresta. Mas na maior parte, não há nada fazendo exceto matemática.
Normalmente, disse-me um dos participantes, o workshop atrai muitos matemáticos mais jovens. Mas desta vez não foi o caso – talvez porque estávamos no meio do semestre ou, especulou ele, pela dificuldade do assunto. Ele confessou que naquele momento se sentiu um pouco intimidado com a perspectiva de dar uma palestra para tantos grandes nomes da área.
Mas dado que a maioria dos matemáticos na área mais ampla da análise complexa já não trabalha diretamente no conjunto de Mandelbrot, porquê dedicar um workshop inteiro ao MLC?
O conjunto de Mandelbrot é mais do que um fractal, e não apenas num sentido metafórico. Serve como uma espécie de catálogo mestre de sistemas dinâmicos – de todas as diferentes maneiras pelas quais um ponto pode se mover no espaço de acordo com uma regra simples. Para compreender este catálogo mestre, é preciso atravessar muitos cenários matemáticos diferentes. O conjunto de Mandelbrot está profundamente relacionado não apenas à dinâmica, mas também à teoria dos números, à topologia, à geometria algébrica, à teoria dos grupos e até à física. “Ele interage com o resto da matemática de uma forma bonita”, disse Sabyasachi Mukherjee, do Instituto Tata de Pesquisa Fundamental, na Índia.
Para progredir na MLC, os matemáticos tiveram de desenvolver um conjunto sofisticado de técnicas – o que Chéritat chama de “uma filosofia poderosa”. Essas ferramentas têm chamado muita atenção. Atualmente, eles constituem um pilar central no estudo de sistemas dinâmicos de forma mais ampla. Eles revelaram-se cruciais para resolver uma série de outros problemas – problemas que nada têm a ver com o conjunto de Mandelbrot. E eles transformaram a MLC de uma questão de nicho em uma das conjecturas abertas mais profundas e importantes do campo.
Lyubich, o matemático indiscutivelmente o maior responsável por moldar esta “filosofia” na sua forma atual, é alto e ereto e fala calmamente. Quando outros matemáticos do workshop o abordam para discutir um conceito ou fazer uma pergunta, ele fecha os olhos e escuta com atenção, com as sobrancelhas grossas franzidas. Ele responde com cuidado, com sotaque russo.
Mas ele também é rápido em rir alto e calorosamente e em fazer piadas irônicas. Ele é generoso com seu tempo e conselhos. Ele “realmente alimentou algumas gerações de matemáticos”, disse Mukherjee, um dos ex-pós-doutorandos de Lyubich e colaborador frequente. Segundo ele conta, qualquer pessoa interessada no estudo da dinâmica complexa passa algum tempo em Stony Brook aprendendo com Lyubich. “Misha tem essa visão de como devemos realizar um determinado projeto ou o que devemos fazer a seguir”, disse Mukherjee. “Ele tem uma grande imagem em mente. E ele está feliz em compartilhar isso com as pessoas.”
Pela primeira vez, Lyubich sente que é capaz de ver esse grande quadro na sua totalidade.
Os lutadores premiados
O set de Mandelbrot começou com um prêmio.
Em 1915, motivada pelos recentes progressos no estudo das funções, a Academia Francesa de Ciências anunciou um concurso: dentro de três anos, ofereceria um grande prémio de 3.000 francos para trabalhos no processo de iteração – o mesmo processo que iria posteriormente gere o conjunto Mandelbrot.
Iteração é a aplicação repetida de uma regra. Insira um número em uma função e use a saída como sua próxima entrada. Continue fazendo isso e observe o que acontece com o tempo. À medida que você continua a iterar sua função, os números obtidos podem aumentar rapidamente em direção ao infinito. Ou podem ser puxados em direção a um número específico, como limalha de ferro movendo-se em direção a um ímã. Ou acabar oscilando entre os mesmos dois números, ou três, ou mil, numa órbita estável da qual nunca poderão escapar. Ou pule de um número para outro sem rima ou razão, seguindo um caminho caótico e imprevisível.
A Academia Francesa, e os matemáticos em geral, tinham outro motivo para se interessar pela iteração. O processo desempenhou um papel importante no estudo de sistemas dinâmicos – sistemas como a rotação dos planetas em torno do Sol ou o fluxo de uma corrente turbulenta, sistemas que mudam ao longo do tempo de acordo com algum conjunto específico de regras.
O prêmio inspirou dois matemáticos a desenvolver um campo de estudo inteiramente novo.
O primeiro foi Pierre Fatou, que noutra vida poderia ter sido um homem da Marinha (uma tradição familiar), não fosse a sua saúde debilitada. Em vez disso, ele seguiu carreira em matemática e astronomia e, em 1915, já havia provado vários resultados importantes em análise. Depois, houve Gaston Julia, um jovem e promissor matemático nascido na Argélia ocupada pelos franceses, cujos estudos foram interrompidos pela Primeira Guerra Mundial e pelo seu recrutamento para o exército francês. Aos 22 anos, após sofrer um ferimento grave logo após iniciar seu serviço – ele usaria uma pulseira de couro no rosto pelo resto da vida, depois que os médicos não conseguiram reparar o dano – ele voltou à matemática, fazendo algumas das o trabalho que ele submeteria ao prêmio da Academia em uma cama de hospital.
O prêmio motivou Fatou e Julia estudando o que acontece quando você itera funções. Eles trabalharam de forma independente, mas acabaram fazendo descobertas muito semelhantes. Houve tanta sobreposição nos seus resultados que, mesmo agora, nem sempre é claro como atribuir crédito. (Julia era mais extrovertida e por isso recebeu mais atenção. Acabou ganhando o prêmio; Fatou nem se inscreveu.) Por conta desse trabalho, os dois atualmente são considerados os fundadores do campo da dinâmica complexa.
“Complexo”, porque Fatou e Julia iteraram funções de números complexos – números que combinam um número real familiar com um chamado número imaginário (um múltiplo de i, o símbolo que os matemáticos usam para denotar a raiz quadrada de -1). Embora os números reais possam ser apresentados como pontos em uma linha, os números complexos são visualizados como pontos em um plano, assim:
Fatou e Julia descobriram que iterar até mesmo funções simples e complexas (o que não é um paradoxo no domínio da matemática!) poderia levar a um comportamento rico e complicado, dependendo do ponto de partida. Eles começaram a documentar esses comportamentos e a representá-los geometricamente.
Mas então o seu trabalho caiu na obscuridade durante meio século. “As pessoas nem sabiam o que procurar. Eles estavam limitados quanto às perguntas fazendo”, disse Artur Avila, professor da Universidade de Zurique.
Isso mudou quando a computação gráfica atingiu a maioridade na década de 1970.
A essa altura, o matemático Benoît Mandelbrot já havia ganhado a reputação de diletante acadêmico. Ele se interessou por diversos campos, da economia à astronomia, enquanto trabalhava no centro de pesquisa da IBM ao norte da cidade de Nova York. Quando foi nomeado bolsista da IBM em 1974, ele teve ainda mais liberdade para realizar projetos independentes. Ele decidiu aplicar o considerável poder computacional do centro para tirar dinâmicas complexas da hibernação.
No início, Mandelbrot usou os computadores para gerar os tipos de formas que Fatou e Julia estudaram. As imagens codificavam informações sobre quando um ponto de partida, quando iterado, escaparia para o infinito e quando ficaria preso em algum outro padrão. Os desenhos de Fatou e Julia feitos 60 anos antes pareciam aglomerados de círculos e triângulos – mas as imagens geradas por computador que Mandelbrot fez pareciam dragões e borboletas, coelhos e catedrais e cabeças de couve-flor, às vezes até nuvens de poeira desconectadas. A essa altura, Mandelbrot já havia cunhado a palavra “fractal” para formas que pareciam semelhantes em diferentes escalas; a palavra evocou a noção de um novo tipo de geometria – algo fragmentado, fracionário ou quebrado.
As imagens que apareciam na tela de seu computador – atualmente conhecidas como conjuntos de Julia – eram alguns dos mais belos e complicados exemplos de fractais que Mandelbrot já tinha visto.
O trabalho de Fatou e Julia centrou-se na geometria e na dinâmica de cada um destes conjuntos (e nas suas funções correspondentes) individualmente. Mas os computadores deram a Mandelbrot uma forma de pensar numa família inteira de funções ao mesmo tempo. Ele poderia codificar todos eles na imagem que levaria seu nome, embora ainda seja uma questão de debate se ele foi realmente o primeiro a descobri-la.
O conjunto de Mandelbrot trata das equações mais simples que ainda fazem algo interessante quando iteradas. Estas são funções quadráticas da forma f(z) = z2 + c. Fixe um valor de c – pode ser qualquer número complexo. Se você iterar a equação começando com z = 0 e descobrir que os números gerados permanecem pequenos (ou limitados, como dizem os matemáticos), então c está no conjunto de Mandelbrot. Se, por outro lado, você iterar e descobrir que eventualmente seus números começam a crescer em direção ao infinito, então c não está no conjunto de Mandelbrot.
É simples mostrar que valores de c próximos de zero estão no conjunto. E é igualmente simples mostrar que grandes valores de c não o são. Mas os números complexos fazem jus ao seu nome: os limites do conjunto são magnificamente intrincados. Não há nenhuma razão óbvia para que alterar c em pequenas quantidades faça com que você continue cruzando o limite, mas à medida que você aumenta o zoom, quantidades infinitas de detalhes aparecem.
Além do mais, o conjunto de Mandelbrot funciona como um mapa dos conjuntos de Julia, como pode ser visto na figura interativa abaixo. Escolha um valor de c no conjunto Mandelbrot. O conjunto Julia correspondente será conectado. Mas se você deixar o conjunto de Mandelbrot, o conjunto correspondente de Julia será desconectado.
A primeira imagem publicada do conjunto, um gráfico aproximado de apenas algumas centenas de asteriscos, apareceu em 1978 num artigo dos matemáticos Robert Brooks e J. Peter Matelski, que estavam estudando uma questão aparentemente não relacionada na teoria dos grupos e na geometria hiperbólica.
Foi Mandelbrot quem reconheceu e popularizou o conjunto. Depois de usar os computadores da IBM para representar graficamente centenas de conjuntos de Julia, ele procurou representá-los todos simultaneamente. Em 1980, armado com um poder de computação muito mais sofisticado do que Brooks e Matelski, ele acabou gerando uma versão muito melhor do conjunto de Mandelbrot (embora ainda rudimentar para os padrões atuais). Ele imediatamente se apaixonou e decidiu tornar o fractal uma imagem o mais pública possível. É por esta razão que o conjunto recebeu o seu nome. (O próprio Mandelbrot era impopular entre os matemáticos, devido ao seu hábito de saltar de um assunto para outro sem provar resultados profundos, e porque era muitas vezes estridente na sua busca para receber o crédito por descobertas como o conjunto de Mandelbrot.)
As imagens de computador capturaram imediatamente a atenção de alguns dos pensadores mais profundos da matemática. “Todos ficaram muito interessados, uma vez que pudemos realmente ver o que estava acontecendo”, disse Kapiamba, que atualmente faz pós-doutorado na Brown University.
Ninguém havia previsto quão rico poderia ser o mundo das equações quadráticas. “É como quando você abre um geodo, uma pedra de aparência simples, e dentro você encontra todos esses cristais – uma estrutura incrível e complexa”, disse Anna Benini, da Universidade de Parma, na Itália.
“Os matemáticos viram coisas que não imaginavam antes”, disse Ávila. “Todos nós hoje em dia devemos muito a essas explorações.”
Em apenas alguns anos, Hubbard e o matemático Adrien Douady provaram um grande número de resultados tanto sobre o conjunto de Mandelbrot como sobre os conjuntos de Julia que ele representava. Mas as suas provas foram escritas à mão, “principalmente compreensíveis apenas para Douady e para mim”, escreveu Hubbard. E assim, em 1983, Douady escreveu e proferiu uma série de palestras para explicar esses primeiros resultados. Posteriormente, ele compilou o material de suas palestras em um único documento, denominado notas de Orsay. Com quase 200 páginas, rapidamente se tornou a bíblia da área.
Nas notas de Orsay, Douady e Hubbard provaram vários teoremas importantes que foram motivados pelas imagens de computador que viram. Eles mostraram que o conjunto de Mandelbrot estava conectado – que você pode traçar uma linha de qualquer ponto do conjunto a qualquer outro sem levantar o lápis. Mandelbrot inicialmente suspeitou do contrário: suas primeiras imagens do cenário pareciam uma grande ilha com muitos pequeninos flutuando no mar ao seu redor. Mais tarde, porém, depois de ver imagens de maior resolução – incluindo algumas que usavam cores para ilustrar a rapidez com que as equações fora do conjunto voavam para o infinito – Mandelbrot mudou a sua suposição. Ficou claro que aquelas pequenas ilhas estavam todas ligadas por gavinhas muito finas. A introdução da cor “é algo muito mundano, mas é importante”, disse Søren Eilers, da Universidade de Copenhague.
O interesse de Douady pelo conjunto de Mandelbrot era contagiante. Ele organizava refeições elaboradas, festas e concertos em seu apartamento, e era conhecido por andar descalço pelos corredores das universidades onde lecionava na França – e por cantar bem alto em público. (Ele era frequentemente confundido com um artista de rua.) Em seus últimos anos, ele nunca leu trabalhos de matemática; em vez disso, ele convidou seus autores para visitá-lo e explicar-lhe o trabalho diretamente.
“Eu o compararia aos pintores da Renascença que tinham uma escola de discípulos ao seu redor”, disse Xavier Buff, matemático da Universidade de Toulouse e um dos ex-alunos de doutorado de Douady. “Foi muito emocionante.”
Uma parte fundamental das notas de Orsay era uma declaração humilde que em breve se tornaria a questão mais importante sobre o conjunto de Mandelbrot: a conjectura da MLC.
A MLC postula que o conjunto de Mandelbrot não está apenas conectado; está conectado localmente – não importa o quanto você amplie o conjunto de Mandelbrot, ele sempre parecerá uma peça conectada. Por exemplo, um círculo está conectado localmente. Um pente de dentes extremamente finos, por outro lado, não o é. Embora toda a forma esteja conectada, se você pular a haste e, em vez disso, ampliar as pontas de alguns de seus dentes, verá apenas vários segmentos de linha separados.
Apesar de ser uma afirmação direta sobre a geometria do conjunto Mandelbrot, o MLC rapidamente ganhou a reputação de ser incrivelmente difícil. Muitos matemáticos hesitaram em trabalhar nisso. Parecia tão técnico e demorado – um problema arriscado para se focar. Mais de um matemático acabou abandonando a matemática por causa disso. Ávila afasta ativamente seus alunos do MLC e de áreas de pesquisa relacionadas até que eles tenham tempo de aprender toda a matemática necessária para progredir. “Cito O Rei Leão e digo: ‘Olha, aí está toda a dinâmica. Tudo que você pode ver é o seu domínio. Mas há aquele canto escuro que você não deve explorar… porque se você explorar essa parte, você ficará preso e nunca mais sairá'”, disse ele. “Há tanta coisa que você precisa aprender para entrar nisso.”
Mas alguns matemáticos não resistiram.
Somente conectar
Misha Lyubich cresceu na década de 1960 em Kharkiv, a segunda maior cidade da Ucrânia. Stalin estava morto; Nikita Khrushchev ocupou o poder por um breve período, mas logo foi substituído por Leonid Brezhnev. A economia soviética floresceu, apenas para estagnar com o passar da década. As tensões com o Ocidente atingiram o ponto mais alto de todos os tempos.
O pai de Lyubich era professor de matemática na Universidade de Kharkiv, e sua mãe, programadora; ele se lembra de outros matemáticos que vinham à sua casa quando ele era jovem, onde a matemática estava sempre no ar, um tema frequente de conversa. “A vida ao meu redor era matemática”, disse ele.
Como judeu na União Soviética – onde “havia políticas estatais que tentavam eliminar os judeus do envolvimento ativo em vários campos”, disse Lyubich – ele teve dificuldade em entrar nas melhores universidades. Ele se inscreveu na Universidade Estadual de Moscou, mas foi rejeitado. Apesar de ser um excelente aluno e um dos participantes mais bem classificados nas prestigiadas competições das Olimpíadas de Matemática da União Soviética, foi-lhe dito que não tinha passado no exame oral. Os examinadores se recusaram a dizer onde ele havia errado.
Ele acabou frequentando a Universidade de Kharkiv, uma das principais instituições de graduação que aceitava estudantes judeus por mérito. Seu pai ensinava matérias que os alunos normalmente só encontrariam nas universidades de Moscou. (Moscou foi o centro do progresso matemático na União Soviética.) “Foi uma oportunidade única que meu pai estava proporcionando naquela época… para obter uma visão mais ampla da matemática”, disse Lyubich. Em particular, o seu pai encorajou-o a começar a pensar em problemas em dinâmicas complexas – um campo que não estava a receber a atenção na União Soviética. “Naquela época, não víamos ninguém trabalhando nesta área”, disse Lyubich. Ele rapidamente ficou fisgado: foi naqueles anos de universidade que ele começou a pensar em matemática “essencialmente sem parar”.
Embora tenha se formado em segundo lugar na turma, ele lutou para entrar em programas de pós-graduação. Ele acabou a mais de 3.200 quilômetros de distância, na Universidade Estadual de Tashkent, no Uzbequistão, onde seu pai tinha colegas. Ele continuou estudando dinâmicas complexas, isolado e inconsciente do trabalho que Douady e Hubbard estavam fazendo na França. “Eu estava meio sozinho”, disse ele. “Foi muito solitário.”
Os estudantes universitários eram obrigados realizando trabalhos agrícolas durante os meses de outono. “As universidades esvaziaram-se essencialmente em Outubro e Novembro”, disse Lyubich. E assim ele se viu colhendo algodão – o Uzbequistão era o principal fornecedor de algodão da União Soviética na época – nos campos fora de Tashkent. Do nascer ao pôr do sol, sob um calor de 30 graus, ele se curvava sobre as plantas, que tinham apenas alguns metros de altura. Ele se considerava afortunado, no entanto. Os alunos de graduação tinham que cumprir uma cota – alta o suficiente para “exigir habilidade”, disse ele, e se transformar em um trabalho árduo que “não teria sido possível para mim”. Os alunos de pós-graduação não precisavam.
E então, “eu estava andando pelos campos de algodão pensando em matemática”, disse Lyubich. Em particular, ele começou a pensar sobre o espaço de parâmetros de equações quadráticas complexas.
Embora as primeiras imagens de computador já tivessem surgido no Ocidente, Lyubich não tinha acesso a elas. Em vez disso, as características básicas do conjunto de Mandelbrot tomaram forma em sua mente – a região central do fractal em forma de coração, chamada de cardióide principal, e aspectos da espinha dorsal do conjunto, que divide a forma horizontalmente ao longo do eixo x. “Eu simplesmente criei uma imagem em minha mente e tentei entendê-la”, disse ele. “Eu não tinha ideia de quão profundas eram as questões escondidas nesta imagem.”
Em março de 1982 – enquanto Lyubich ainda era estudante de pós-graduação – John Milnor, um dos mais ilustres matemáticos americanos de sua geração (então professor do Instituto de Estudos Avançados), visitou Moscou para dar uma palestra. Como a universidade era flexível quanto ao local onde Lyubich passava o seu tempo, desde que completasse os exames e a dissertação (bem como as suas funções na colheita de algodão), ele ia frequentemente a Moscou para assistir a seminários e encontrar-se com matemáticos que lá trabalhavam. Acontece que ele estava lá quando Milnor o visitou. Depois que Milnor terminou sua palestra, ele e Lyubich conversaram um pouco.
Devido à barreira do idioma, eles escreveram as coisas ou pediram ajuda a um dos colegas de Lyubich para traduzir. Ficou claro para Lyubich que trabalhos relacionados estavam acontecendo do outro lado da Cortina de Ferro. “Foi meu primeiro contato com a matemática ocidental nesse sentido”, disse ele.
Depois de voltar para casa, Milnor divulgou algumas das pesquisas de Lyubich. “A comunicação era muito ruim, mas tive sorte de ter conhecido Milnor”, disse Lyubich. E mais tarde, Douady enviou a Lyubich uma cópia das notas de Orsay, onde Lyubich tomou conhecimento do problema do MLC.
Lyubich ainda não começaria a pensar na MLC por mais alguns anos. Ele estava trabalhando em outros problemas e, após concluir seu doutorado em 1984, ele e sua esposa, também matemática, mudaram-se para Leningrado (atual São Petersburgo), onde ele foi mais uma vez impedido de empregos acadêmicos por ser judeu. Nos cinco anos seguintes, ele trabalhou como professor do ensino médio, como programador no que chamou de “instituto de quase pesquisa” (focado em tecnologias médicas) e, finalmente, como modelador em um instituto científico que fazia estudos abrangentes de o Ártico e a Antártida. A cada novo trabalho, ele se aproximava cada vez mais de poder se concentrar em seus interesses matemáticos em sistemas dinâmicos.
Ao longo desses anos, ele continuou trabalhando em seus problemas de matemática. Ele participou de seminários, reuniu-se com outros matemáticos e continuou a produzir resultados. “Eu nunca parei”, disse Lyubich. “Veja, se você parar fica muito difícil se recuperar. Você não deveria parar.
Foi exaustivo. Lyubich lembra-se de ter se sentido particularmente exausto depois de dar aulas para alunos do ensino médio o dia todo, apenas para depois se forçar a passar o resto da noite trabalhando em matemática. “Fiquei frustrado por não poder me dedicar totalmente à matemática, que era o que eu queria fazer”, disse ele. Mas “eu meio que decidi por mim mesmo que faria matemática, não importa o que acontecesse”.
“Tive sorte de a perestroika ter chegado e me ter permitido sair”, acrescentou. “Não sei por quanto tempo conseguirei continuar com isso.” Em 1989, ele e a esposa obtiveram um visto que lhes permitiu deixar a União Soviética como refugiados. Com apenas algumas centenas de dólares nos bolsos, dirigiram-se primeiro para Viena e depois para Itália, onde solicitaram a mudança para os Estados Unidos. Depois de passar alguns meses num campo de refugiados em Itália, à espera que a documentação fosse processada – durante este período, Lyubich obteve um rendimento extra dando palestras em universidades locais – ele e a sua esposa finalmente chegaram a Nova Iorque. Lá, Lyubich tinha um emprego esperando por ele: Milnor (com quem Lyubich mantinha contato) o convidou para trabalhar no novo Instituto de Ciências Matemáticas que ele estava iniciando na Universidade Stony Brook.
Introdução
Enquanto estava na Itália, Lyubich teve acesso ao e-mail pela primeira vez – e foi lá que recebeu um e-mail de Douady. (Douady foi um dos primeiros defensores do uso do e-mail para discussões e colaborações matemáticas. “Ele trabalhou muito trocando ideias com colaboradores distantes, o que era algo novo nos anos 80”, disse Pierre Lavaurs, um de seus ex-alunos de pós-graduação.)
O e-mail informou a Lyubich e outros matemáticos da área que Jean-Christophe Yoccoz havia provado conectividade local em quase todos os pontos do conjunto de Mandelbrot: MLC era verdadeiro para valores de c que não residiam dentro de um ninho infinito de cópias menores auto-similares de o conjunto completo. (Yoccoz mais tarde receberia a Medalha Fields, considerada a maior honraria da matemática, em parte por este trabalho.)
No e-mail, Douady prosseguiu dizendo que a solução completa para MLC estava chegando. Ele não foi o único que se sentiu otimista. “Havia pessoas que pensavam que poderiam lidar com a conectividade local do cenário de Mandelbrot em apenas alguns anos”, disse Davoud Cheraghi, do Imperial College London.
Em vez disso, restaram décadas de trabalho. O MLC revelou-se um problema muito subtil, quase impossivelmente difícil, no qual apenas um punhado de matemáticos conseguiu continuar trabalhando. Isso exigiria ferramentas de toda a matemática e o desenvolvimento de uma nova teoria que mudaria para sempre o campo da dinâmica complexa.
Na frente, armado com a persistência que sempre fez parte de sua jornada matemática, estava Lyubich.
Uma cidade dentro de uma cidade
Tendemos a pensar na matemática como a mais pura das ciências – quando pensamos nela como uma ciência. O assunto tem fama de ser abstrato, imparcial, movido pela beleza e pela lógica. Ele não suja as mãos nem se preocupa com algo tão concreto como “aplicativos”. (Está até no nome: distinguimos “matemática pura” de “matemática aplicada”.) A forma como os trabalhos de matemática são escritos não ajuda: apenas as provas finais e os teoremas são geralmente publicados, e não o processo sinuoso que levou a eles.
Mas esta é uma concepção moderna de matemática, que só começou a solidificar-se no final do século XIX. É uma concepção que cresceu à medida que os matemáticos procuravam tornar as suas definições mais rigorosas e que a elaboração de provas formais se tornou a única forma de conseguirem empregos e construírem carreiras. Foi ainda mais reforçado na década de 1930, quando um grupo poderoso e secreto de matemáticos começou a publicar trabalhos conjuntos sob o pseudônimo de Nicolas Bourbaki. Seu ethos passou a dominar o pensamento matemático, com a intenção de despojar a disciplina até os seus fundamentos e torná-la o mais formal possível.
No entanto, muito antes disso, os matemáticos – tal como os físicos, os biólogos ou os químicos – dependiam da experimentação para descobrir e provar novos fenómenos. Fizeram suposições, descartaram hipóteses, procuraram padrões por tentativa e erro. Eles realizaram cálculos, fizeram observações, coletaram dados. Eles notaram semelhanças, certos números ou sequências surgindo em lugares inesperados.
Os gigantes da matemática dos séculos XVIII e XIX – Euler, Gauss, Riemann – eram todos experimentalistas que dependiam de enormes quantidades de computação, laboriosamente feitas à mão. Gauss conjecturou o teorema dos números primos (uma fórmula crucial que descreve como os números primos são distribuídos entre os inteiros) um século antes de ser realmente provado. Isso porque, quando adolescente, ele se debruçou sobre tabelas de números primos e decidiu contar quantos deles havia em blocos de mil números, até chegar a um milhão. (Sem dúvida, Gauss teria ficado grato pelos computadores atuais.) Da mesma forma, Riemann apresentou a sua hipótese epónima, o maior problema em aberto da matemática, apenas depois de fazer páginas de cálculos. Essas páginas não foram descobertas durante décadas; até então, muitos matemáticos proclamavam a hipótese de Riemann como um exemplo do que poderia ser alcançado “somente pelo pensamento puro”.
Nao existe tal coisa. Todo o pensamento, matemático ou não, é influenciado pelo mundo que nos rodeia, pelas tecnologias, pelos movimentos filosóficos e pela estética do nosso tempo.
A este respeito, a filosofia de Bourbaki – a sua exigência de rigor total e a sua ênfase em declarações gerais sobre exemplos concretos – representou uma espécie de desvio. A perspectiva dos matemáticos sobre Bourbaki está dividida. Alguns afirmam que isso deu a certos campos um impulso muito necessário em direção ao rigor. Outros dizem que foi restritivo, de mente fechada, separando a matemática de outras fontes de inspiração.
Desde a década de 1970, o pêndulo começou a oscilar para trás, impulsionado pelos computadores modernos, que ofereceram aos matemáticos formas inteiramente novas de experimentar e brincar. “Acho que as pessoas geralmente concordam que o caso Bourbaki foi uma espécie de erro”, disse Eilers. “Essa visão muito abstrata, isso não é tão amigável ao ser humano… simplesmente não é assim que o campo deveria evoluir.”
No espírito experimental de Gauss e Riemann, os matemáticos propuseram um dos problemas abertos mais famosos da atualidade – a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, uma questão sobre curvas elípticas que, se resolvida, traz uma recompensa de US$ 1 milhão – somente depois de usar um computador para gerar montanhas de dados. Muitos outros problemas surgiram de forma semelhante. “É assim que a salsicha é feita”, disse Roland Roeder, da Universidade de Indiana – Universidade Purdue de Indianápolis. “Não é tão anunciado como deveria ser.”
Os matemáticos têm usado computadores para procurar contraexemplos tanto para conjecturas estabelecidas quanto para hipóteses nascentes. Eles os usaram para encontrar e corrigir erros em provas antigas. Eles recorreram a eles para estabelecer novas conexões entre campos díspares. E em muitas áreas, os matemáticos passaram a confiar nos computadores para fazer cálculos importantes e executar outras etapas do próprio argumento matemático.
No caso do conjunto de Mandelbrot, os computadores ajudaram a impulsionar um campo inteiro.
Segundo dizem os matemáticos, os computadores permitiram-lhes tratar o cenário de Mandelbrot como uma cidade – um espaço físico a explorar. Passaram horas, dias, anos percorrendo seus bairros e ruas, se perdendo, se familiarizando com o terreno. “Você começa a entender cada vez mais e cada vez que volta é como voltar para casa”, disse Luna Lomonaco, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada do Brasil. “Isso realmente se torna parte de você.”
Essa familiaridade fica clara sempre que você fala com matemáticos da área. Eles navegam por diferentes programas de computador com facilidade, ampliando pontos específicos para mostrar propriedades diferentes. Dudko descreve essas imagens como “como uma linguagem em dinâmica complexa”. Buff pode prever exatamente onde ele acha que uma pequena cópia do conjunto irá aparecer antes de se tornar visível, apenas com base na aparência de certos galhos e gavinhas. Certa vez, pediram a Chéritat que reproduzisse um pôster de décadas atrás de uma região profundamente inserida no cenário de Mandelbrot, sem qualquer informação adicional – e ele o fez. Aparentemente, Douady poderia olhar para um conjunto de Julia e saber de qual valor de c no conjunto de Mandelbrot ele veio. Hubbard ainda se refere aos conjuntos de Julia como “velhos amigos”.
“Estudar o conjunto de Mandelbrot realmente parece um campo experimental da matemática. Quase parece um campo aplicado da matemática, em oposição a um campo puro da matemática”, disse Kapiamba. “Você está apenas pegando algo que está por aí e tentando dissecá-lo e analisá-lo de uma forma que, para mim, parece que você tem algum fenômeno natural que está tentando descobrir.”
“Não é algo que você cria. É algo que existe e que você explora”, acrescentou Buff. “Está claramente lá no meu computador. Eu visito o set de Mandelbrot. E talvez haja alguns lugares no conjunto de Mandelbrot que ainda não descobri.”
Esta área de estudo está repleta de tais descobertas. Houve a descoberta de cópias menores do conjunto dentro dele, e de padrões específicos na forma como aparecem suas antenas, cabelos e outras decorações. Houve a descoberta da sequência de Fibonacci, codificada no conjunto – bem como uma aproximação de π. E houve a descoberta dos conjuntos de Mandelbrot em outros contextos inteiramente, como na busca de soluções numéricas para equações cúbicas.
“Os computadores nos mostram coisas que são tentadoras, que exigem que alguém venha e explique”, disse Kevin Pilgrim, da Indiana University Bloomington. O que, por sua vez, motiva as perguntas certas, se não as respostas.
Quando os computadores revelaram todas aquelas cópias menores do conjunto de Mandelbrot dentro de si, Douady e Hubbard quiseram explicar a sua presença. Eles acabaram recorrendo ao que é conhecido como teoria da renormalização, uma técnica que os físicos usam para domar os infinitos no estudo das teorias quânticas de campos e para conectar diferentes escalas no estudo das transições de fase. Anteriormente, tinha pouco interesse para os matemáticos; pelos padrões deles, não era nem rigoroso.
Mas na década de 1970, o físico Mitchell Feigenbaum trouxe a teoria da renormalização para o mundo da dinâmica, usando-a como uma forma de explicar um padrão particular auto-similar que surge quando você itera equações quadráticas usando números reais.
Douady e Hubbard perceberam que a renormalização era exatamente o que precisavam para explicar os padrões autossimilares mais complicados que viam nas telas de seus computadores. E então eles descobriram como aplicar a teoria da renormalização a dinâmicas complexas.
Desde então, o trabalho de Lyubich e seus colegas sobre MLC levou essa teoria mais longe do que se pensava ser possível.
Um nome para cada ponto
Assim que Lyubich chegou a Nova Iorque, em fevereiro de 1990, meses depois de ter deixado Moscou, teve a oportunidade de aprender mais sobre o trabalho sobre o qual Douady escrevera com tanto entusiasmo no seu e-mail.
A princípio, não foi o resultado do MLC que fascinou Lyubich, mas sim as técnicas que Yoccoz desenvolveu para prová-lo. “De alguma forma, funcionou muito bem para mim”, disse ele. Ele estava interessado na dinâmica real e em responder a questões que surgiram com base no trabalho de Feigenbaum sobre a renormalização. Durante a maior parte da década de 1990, Lyubich concentrou-se no desenvolvimento adicional dos métodos de Yoccoz, para resolver esses problemas em aberto. No final da década, ele sentiu que tinha “essencialmente obtido a descrição completa da dinâmica na linha real, usando esta maquinaria”, disse ele.
Como consequência natural deste trabalho, Lyubich acabou por provar a MLC para muitos, embora não todos, dos casos que o resultado de Yoccoz não cobriu.
Introdução
Isso não seria uma surpresa. A prova de Yoccoz mostrou MLC para todos os pontos no conjunto de Mandelbrot, exceto aqueles conhecidos como parâmetros “infinitamente renormalizáveis” – pontos que viviam dentro de cópias bebês de Mandelbrot infinitamente aninhadas. Seu resultado transformou instantaneamente o MLC em um problema intimamente ligado à teoria da renormalização.
Essa ligação foi emocionante. Superficialmente, o MLC parecia pertencer a um canto totalmente diferente do campo. “A teoria da renormalização desenvolveu-se de forma totalmente independente”, disse Lyubich. “E então tudo passou fazendo parte da mesma história.”
E assim Lyubich também ficou interessado em abordar o problema da MLC.
Mesmo antes de a renormalização entrar em cena, já havia sinais de que a MLC era uma questão com ressonâncias mais profundas.
Nas notas de Orsay, Douady e Hubbard mostraram que se a MLC for verdadeira, então também tem implicações para as propriedades do interior do conjunto de Mandelbrot. Nem todos os pontos dentro do conjunto se comportam da mesma maneira. Os pontos no cardióide principal correspondem a funções que, quando iteradas a partir de um valor inicial zero, convergem para um único número. Os pontos em outros lóbulos correspondem a funções que acabam oscilando entre um determinado número de valores diferentes. O maior lóbulo no topo do cardióide principal, por exemplo, representa funções que oscilam entre três valores. Para pontos cuidadosamente escolhidos, no entanto, uma função pode produzir sequências que permanecem limitadas, mas nunca oscilam – elas continuam saltando entre valores novos e distintos.
Mas se a MLC for verdadeira, Douady e Hubbard mostraram que tais sequências não oscilantes devem ser raras – uma propriedade chamada “densidade de hiperbolicidade” que os matemáticos querem provar ou refutar para qualquer sistema dinâmico que estejam estudando. “É basicamente a questão mais importante em dinâmica, não apenas em dinâmica complexa”, disse Lomonaco.
A densidade da hiperbolicidade trata do interior do conjunto de Mandelbrot. Mas o MLC também permitiria aos matemáticos atribuir um endereço a cada ponto na fronteira do conjunto. “Dá um nome a cada ponto. E então, uma vez que você tenha conseguido nomear cada ponto dos limites do conjunto de Mandelbrot, você pode esperar entendê-lo completamente”, disse Hubbard.
Desta forma, o MLC diz aos matemáticos que não falta nada na imagem que eles têm do conjunto. Mas sem uma prova, ainda poderá haver algumas regiões, escondidas nos cantos mais profundos desta paisagem infinitamente complexa, que ainda não apareceram nos telas dos computadores – que se comportam de uma forma fundamentalmente diferente. Isso significaria que os matemáticos ainda estão perdendo parte da história.
Pense profundamente em coisas simples
Jeremy Kahn cresceu na cidade de Nova York na década de 1970, filho de uma assistente social e de um escritor científico. Quando criança, ele rapidamente provou ser uma espécie de prodígio da matemática. Ele pulou anos à frente no assunto. Na sexta série, ele obteve nota 790 na seção de matemática do SAT. E ele escreveu seus próprios programas de computador para explorar vários conceitos matemáticos com maior profundidade. Aos 13 anos, ele se tornou a pessoa mais jovem (na época) a conquistar uma vaga na equipe das Olimpíadas Internacionais de Matemática dos EUA. Participou da competição durante todo o ensino médio, conquistando duas medalhas de prata e duas de ouro. Durante esse período, ele também começou fazendo cursos de matemática na Universidade de Columbia e reprovou vários teoremas (sem saber que haviam sido provados) em um quadro negro que guardava em seu quarto.
Depois de se formar no ensino médio, ele foi para a Universidade de Harvard para se formar em matemática. Lá ele ficou cativado pelo conjunto de Mandelbrot. No último ano, ele estava dedicando toda a sua energia para entendê-lo. Como ninguém em Harvard estava trabalhando nisso na época, ele ia de bicicleta até a Universidade de Boston para aprender com um matemático de lá sobre fractais e sistemas dinâmicos. Depois de se formar e se matricular em um programa de doutorado na Universidade da Califórnia, Berkeley, ele se concentrou na geometria hiperbólica – um campo que os matemáticos já haviam conectado à dinâmica complexa, na época em que o conjunto de Mandelbrot estava se tornando popular.
Kahn queria fortalecer essa conexão. Como estudante de pós-graduação, ele reprovou o famoso resultado do MLC de Yoccoz, com base no trabalho seminal realizado pelos matemáticos Dennis Sullivan e Curt McMullen. Ele também começou a pensar em como aplicar ideias da geometria hiperbólica à renormalização.
O colega de classe de Kahn, Kevin Pilgrim, lembra-se de tê-lo visto preencher enormes folhas de papel com desenhos de curvas e anéis, de objetos geométricos que degeneraram e ficaram distorcidos. “Ele começou a pensar muito, muito profundamente sobre essas coisas”, disse Pilgrim. “E quando digo ‘profundamente’, quero dizer por 15 anos.”
“A tenacidade de Jeremy em pensar muito sobre algo é incrível”, acrescentou.
Kahn pensou particularmente sobre a renormalização. Ele estudou o trabalho de Lyubich e de Douady e Hubbard.
Em todos esses contextos, a renormalização é uma forma de relacionar diferentes escalas de um sistema dinâmico entre si. Considere a dinâmica de uma equação quadrática. Os pontos saltarão em torno do plano complexo de certas maneiras. A renormalização permite descrever a dinâmica de todos esses pontos, concentrando-se apenas em um pequeno subconjunto deles.
“A renormalização atua como um microscópio superpoderoso que permite compreender estruturas que se encontram no nível mais profundo”, disse Romain Dujardin, da Universidade Sorbonne, na França.
Até que ponto você pode fazer isso depende da equação que você está iterando. Às vezes você simplesmente não consegue descrever sua dinâmica em termos de uma parte menor do sistema. Ou você pode usar o microscópio da renormalização para ampliar as coisas uma, ou duas, ou 10 vezes, antes de chegar a um ponto em que não possa mais dizer nada significativo sobre as escalas menores.
Mas para as funções associadas a parâmetros infinitamente renormalizáveis, é possível continuar aplicando a renormalização para sempre.
É um procedimento delicado. “Isso não pode ser feito de forma aleatória”, disse Lyubich. Você tem que mostrar com rigor que pode passar de uma escala para outra sem perder muita precisão.
O primeiro passo para fazer isso envolve obter um controle aproximado sobre a geometria das diferentes escalas. É esta etapa que pode ser usada para mostrar o MLC para um determinado valor de c no conjunto de Mandelbrot.
Quando estudante de pós-graduação, Kahn já estava pensando em como aplicar seu conhecimento de geometria hiperbólica ao problema. Sua pesquisa atraiu atenção e, em seu terceiro ano de pós-graduação, ele aceitou um emprego estável no Instituto de Tecnologia da Califórnia.
Tudo parecia estar se alinhando perfeitamente.
E então ele congelou.
Na Caltech, ele não sabia escrever. Ele obteve resultados de sua época de pós-graduação – mas toda vez que se sentava em frente ao computador, perdia toda a força de vontade que tinha. “Eu não era bom em escrever”, disse ele. “Eu não era bom nem em sentar para escrever. Então, eu não estava escrevendo as coisas.”
Ele também não conseguia concentrar sua atenção matemática. “Às vezes eu me perdia nos extremos de querer provar teoremas realmente grandes, como MLC ou P versus NP. E então eu voltaria à realidade”, disse ele. “Eu estava perdido e infeliz.”
Em quatro anos na Caltech, Kahn não escreveu um único artigo. Ele perdeu o emprego.
E assim, no outono de 1998, com pouco menos de 30 anos, sua outrora promissora carreira em frangalhos, “eu meio que voltei para casa”, em Nova York, disse Kahn.
Ele ligou para Milnor, pedindo conselhos. Milnor o colocou novamente em contato com Lyubich, que Kahn conheceu algumas vezes na pós-graduação. E então, “acabei de aparecer em Stony Brook”, disse Kahn. “Misha foi incrivelmente acolhedor.” Os dois discutiam matemática por horas. Kahn se lembra de ir à casa de Lyubich o tempo todo, jantando com sua família – naquela época, Lyubich e sua esposa já tinham uma filha; mais tarde eles teriam um segundo – e logo se tornariam amigos. “Ele realmente me acolheu”, disse Kahn. “Ele era um matemático mundialmente famoso e me tratava como um igual, não como uma criança perdida.”
“Ele se tornou praticamente um segundo pai para mim”, acrescentou.
Lyubich encontrou um cargo temporário para Kahn em Stony Brook, sem funções de professor. Do final da década de 1990 até meados da década de 2000, Lyubich ajudou o jovem matemático. Quando Lyubich passou um ano trabalhando na Universidade de Toronto, encontrou um lugar para Kahn; quando voltou para Stony Brook, fez o mesmo. Quando Kahn deixou a academia para trabalhar num fundo de hedge por um ano, apenas para decidir que aquilo não era para ele, Lyubich o ajudou mais uma vez. Quando o pai de Kahn foi diagnosticado com câncer e morreu mais tarde, Kahn não conseguiu trabalhar. Mas ele finalmente voltou para Lyubich, e Lyubich o acolheu.
Ao ouvir Lyubich contar isso, ele reconheceu que Kahn tinha ideias muito interessantes, às vezes brilhantes. “Ele simplesmente tinha um bloqueio psicológico que precisava superar”, disse Lyubich. “Então continuei apoiando-o tanto quanto possível.”
Embora Kahn ainda se sentisse perdido durante esses anos, ele e Lyubich desenvolveram o que Kahn chamou de “uma colaboração bastante intensa”. Isso o manteve com os pés no chão. Os dois matemáticos unificaram suas abordagens à renormalização, o que também lhes permitiu provar a MLC para muitos mais parâmetros.
“A espécie de colapso da minha carreira deu-me a oportunidade de simplesmente seguir Misha” e realizar este trabalho, disse Kahn. “Foi adiar muitos elementos da vida, não deliberadamente, mas na verdade para provar esses teoremas.”
O trabalho de Kahn e Lyubich marcou um grande avanço na teoria da renormalização e na MLC. Mas “o conjunto de Mandelbrot é tremendamente tortuoso”, disse Lyubich, porque não é exatamente autossimilar e exibe diferentes tipos de autossimilaridade. Como disse Ávila, “ele tem personalidades diferentes conforme você se move dentro dele”. Estes diferentes tipos de auto-similaridade correspondem a dinâmicas muito diferentes e, portanto, requerem diferentes tipos de renormalização para relacionar uma escala com outra.
Kahn e Lyubich desenvolveram um tipo, mas levaram suas técnicas o mais longe que puderam. “Eles atingiram uma parede e sabiam que haviam atingido uma parede”, disse Mukherjee.
Para provar a MLC para outras partes do conjunto de Mandelbrot, eles teriam que obter um tipo semelhante de controle geométrico, mas usando algum outro tipo – ou tipos – de renormalização.
E Kahn e Lyubich discordaram sobre a melhor forma de proceder.
O progresso estagnou.
Cada um deles começou trabalhando em outros problemas. Kahn voltou à geometria hiperbólica. Lyubich pensou em maneiras de aplicar o trabalho do MLC a outras partes da dinâmica complexa (e até mesmo a questões de física).
“É por isso que, de certa forma, nunca ficamos realmente presos”, disse Lyubich, que em 2004 se tornou diretor do Instituto de Ciências Matemáticas de Stony Brook. “Se amanhã alguém encontrar uma prova de MLC em uma linha em todos os casos, isso aniquilaria tudo o que fizemos antes? Não. Existem muitos problemas que dependem desta técnica.”
Essa é parte da razão pela qual ele nunca se sentiu frustrado quando as coisas não pareciam estar progredindo tão bem na frente do MLC. “Cada passo na MLC é uma abertura para muitos outros problemas”, disse ele.
Enquanto isso, Kahn fez avanços significativos na geometria hiperbólica. As ofertas de estabilidade começaram a chegar. Na esperança de começar do zero, ele se mudou para Providence, Rhode Island, em 2011, para assumir um cargo de professor na Brown University.
Nem Lyubich nem Kahn pararam de pensar na MLC, mas se separaram, ocupados com suas próprias responsabilidades.
Outros matemáticos que trabalham em dinâmica complexa começaram a se mover em direções diferentes – concentrando-se em espaços de parâmetros ainda mais complicados do que o conjunto de Mandelbrot e na conexão entre dinâmica complexa e teoria dos números.
Mas nos últimos anos, Lyubich e Kahn contrataram aprendizes e renovaram os seus esforços para provar o MLC.
Quadratura
Há cerca de uma década, Lyubich começou trabalhando com Dima Dudko.
Dudko cresceu na década de 1980 na Bielorrússia, onde as suas proezas matemáticas rapidamente se tornaram óbvias para aqueles que o rodeavam. (Ele representou a Bielorrússia na Olimpíada Internacional de Matemática 15 anos depois que Kahn envelheceu. Assim como Kahn, ele ganhou uma medalha de ouro.) Mais tarde, quando era estudante de graduação na Alemanha, seu orientador consultou Lyubich sobre qual problema Dudko deveria resolver para seu dissertação. Eles decidiram fazer uma pergunta sobre o conjunto de Mandelbrot que não esperavam que Dudko fosse capaz de responder. A declaração seguiria automaticamente do MLC; eles perceberam que, sem o MLC para ajudá-lo, ele seria capaz de fazer um progresso parcial nisso, na melhor das hipóteses.
Dudko encontrou uma maneira de contornar o MLC e resolveu o problema completamente.
Depois de terminar a pós-graduação em 2012, ele continuou trabalhando na Alemanha como pós-doutorado – mas também começou a colaborar com Lyubich. Com um terceiro matemático, Nikita Selinger, da Universidade do Alabama, em Birmingham, eles desenvolveram uma nova teoria de renormalização. Lyubich e Dudko usaram-no então para mostrar que o MLC vale para alguns dos parâmetros infinitamente renormalizáveis mais difíceis no conjunto de Mandelbrot – precisamente aqueles aos quais os métodos de Lyubich e Kahn não puderam ser aplicados. (Davoud Cheraghi, antigo aluno de Lyubich, e Mitsuhiro Shishikura, da Universidade de Quioto, também têm desenvolvido técnicas para abordar alguns destes casos notáveis.)
“Este caso é tão diferente que demorou mais algumas décadas”, disse Lyubich. Também foi necessária uma reflexão original. Dudko, que liderou o recente seminário da MLC com Lyubich na Dinamarca, é visto como uma estrela na área e tem uma maneira intrigante de ver as coisas. Isto talvez seja melhor exemplificado pela maneira como ele às vezes esboça o conjunto de Mandelbrot como um conjunto de quadrados, em vez dos círculos que a maioria dos matemáticos tende a desenhar.
“Fiquei surpreso ao saber que é possível resolver esses problemas”, disse Lyubich. “O que temos feito recentemente vai além de tudo que eu tinha feito antes.”
Em um esforço para reunir todos esses resultados em um só lugar, Lyubich tem escrito uma série de livros sobre o conjunto de Mandelbrot, MLC e trabalhos relacionados em dinâmica complexa. Até agora, ele produziu mais de 700 páginas, divididas em dois volumes dos quatro planejados. “Espero que quando eu terminar o volume 4, o MLC esteja lá”, disse ele.
Assim como Lyubich, Kahn encontrou um protegido mais jovem. A ideia de recrutar Alex Kapiamba surgiu pela primeira vez em um sonho de Kahn. Ele esteve em uma conferência em 2022. Durante vários meses, ele, Lyubich e Dudko se reuniram regularmente para discutir o progresso da MLC – algo que se refletiu imediatamente no sonho, onde os três estavam em um ônibus. “E então vejo essa quarta pessoa entrar no ônibus, e esse é todo o sonho, essencialmente”, disse Kahn. “E então eu acordo e penso, Alex Kapiamba é a quarta pessoa.”
No dia seguinte, ele combinou um encontro com Kapiamba para discutir sua pesquisa. Kapiamba agora trabalha com Kahn como pós-doutorado na Brown e se mudará para Harvard no outono.
Quando conheci Kapiamba no ano passado, o braço dele estava numa tipóia; ele havia deslocado o ombro alguns dias antes, jogando o melhor Frisbee. (Ele jogou semiprofissionalmente pelo Detroit Mechanix enquanto estava na pós-graduação e continua jogando em uma liga de clubes.) Ele foi modesto sobre o quanto achava que seria capaz de contribuir para o esforço da MLC. “É um pouco assustador”, disse ele. “Definitivamente sinto alguma síndrome do impostor.”
“Eu só quero entrar e fazer um pouco antes que seja tarde demais”, acrescentou.
Kapiamba não tinha a intenção de estudar matemática. Como estudante de graduação no Oberlin College, em Ohio, ele começou como estudante de bioquímica; foi somente no final do primeiro ano, depois de fazer um curso de topologia, que ele se interessou por matemática. “Na bioquímica, o que mais gostei foi de entender a estrutura das coisas”, disse Kapiamba. “E a matemática está apenas tentando estudar a estrutura em sua forma mais simples. Realmente parecia que eram as partes da biologia ou da química que eu realmente gostava, destiladas em uma forma pura. Eu poderia simplesmente fazer essa parte.
Depois de se formar em 2014, ele não tinha certeza do que queria fazer. Ele se mudou para Washington, D.C., para ficar perto de sua família, e encontrou emprego trabalhando em uma padaria e como tutor. Durante esse tempo, ele começou a pensar em seguir carreira em matemática. Ele logo largou o emprego de cozinheiro e, nos dois anos seguintes, continuou a dar aulas particulares enquanto estudava matemática de nível superior em seu próprio tempo – revisando o material que havia aprendido durante seus anos de graduação (“para obter uma perspectiva diferente”, ele disse) e fazendo cursos online. “Queria me sentir muito preparado”, disse ele. Em 2016, matriculou-se em um programa de mestrado na Universidade de Michigan.
Como aluno de mestrado, ele começou trabalhando em uma questão sobre a geometria do Mandelbrot situado próximo à cúspide de seu cardióide principal, onde um desfile de elefantes marcha para fora de um vale raso. À medida que você se aproxima do vale, os elefantes parecem ficar cada vez mais próximos. E assim foi conjecturado que à medida que nos aproximamos do ponto mais profundo do vale, a distância entre os elefantes diminuirá para zero. “Eu estava tipo, obviamente”, disse Kapiamba, apontando para a tela do computador, onde havia ampliado os elefantes para eu ver. Eles realmente pareciam estar se tocando.
Uma parte fundamental do seu argumento baseava-se numa observação improvisada feita num antigo trabalho de tese de doutoramento. A dissertação de 73 páginas, escrita inteiramente em francês, foi concluída em 1989, mas nunca publicada. Seu autor havia abandonado a matemática apenas um ano depois, depois de ficar cada vez mais desiludido e frustrado com o problema que esperava resolver: o MLC.
Kapiamba vasculhou o texto, muitas vezes se perdendo em suas páginas sem perceber que o relógio já havia passado da meia-noite, contando com o francês que ele sabia desde o ensino médio e com o Google Translate. Ele lamentou não ter sido criado para falar francês. Tanto o seu pai, que é da República Democrática do Congo, como a sua mãe, que o conheceu lá enquanto servia no Corpo da Paz, falavam a língua fluentemente. Mas o casal mudou-se para Maryland pouco antes de Kapiamba nascer e, num esforço para ajudar o pai a aprender inglês o mais rapidamente possível, só falavam inglês em casa.
Eventualmente, Kapiamba percebeu que não estava deixando de compreender algum passo na lógica do trabalho de tese. Seu autor cometeu um erro. Sua afirmação provavelmente estava correta, mas o raciocínio por trás dela não se sustentou. E então Kapiamba decidiu consertar o erro.
Ele deixou as coisas ferverem, do jeito que espera o pão crescer. (Ele ainda cozinha para concentrar a mente. Ele aproveita a oportunidade que lhe dá de fazer algo com as mãos.) Nos anos seguintes, ele finalmente descobriu a prova. Para fazer isso, ele teve que fortalecer um teorema que Yoccoz havia usado na sua prova original do MLC, sobre o tamanho dos elefantes.
O trabalho pegou a comunidade de dinâmicas complexas de surpresa. Imagens de computador já tinham indicado que certas regiões do conjunto de Mandelbrot pareciam encolher muito, muito mais rapidamente do que sugeria o teorema de Yoccoz, o que significa que a sua afirmação poderia ser reforçada. “Se você apenas traçar algumas fotos e olhar para elas, você pode ver, ah, parece que o limite que Yoccoz nos dá é muito, muito ruim”, disse Kapiamba. Mas ninguém foi capaz de melhorá-lo.
Até Kapiamba. Seu trabalho se aplicava apenas a certas regiões do conjunto de Mandelbrot; os matemáticos esperam que a versão mais forte da afirmação de Yoccoz possa ser mostrada para todo o conjunto. Mesmo assim, “as pessoas ficaram muito entusiasmadas”, disse Benini. “Todos que trabalham nisso sabem que isso deve ser verdade; eles simplesmente não sabiam como provar isso.”
Lomonaco e outros matemáticos já usaram o resultado de Kapiamba para provar seus próprios teoremas. Mas também é visto como um elemento potencial em uma prova futura do MLC.
Um laboratório e um guia
A conferência do ano passado marcou a última vez que matemáticos se reunirão na antiga base militar na Dinamarca. A Universidade de Roskilde, que patrocina a série de workshops, desistiu do aluguel do local este ano.
Se Lyubich, Kahn, Dudko e Kapiamba conseguirem combinar as suas diferentes abordagens para finalmente provar a MLC, isso marcará o fim de outra era – uma era que começou quando Mandelbrot, Hubbard e Douady viram pela primeira vez o fractal aparecer nos seus telas de computador.
O último meio século de exploração do conjunto de Mandelbrot foi possível graças ao desenvolvimento da computação gráfica. A matemática que gera o fractal é simples: você realmente só precisa saber somar e multiplicar. Mas os desenhos que tornaram o conjunto famoso não poderiam ter sido feitos à mão. Eles dependiam de realizar esses cálculos fáceis milhões de vezes, algo que não seria viável sem computadores.
Em princípio, um matemático visionário poderia ter mantido em sua mente um instantâneo do conjunto há centenas de anos. Mas no desenrolar da história, embora o génio possa por vezes vislumbrar o horizonte, a tecnologia modulou o que pode ser imaginado. Fatou, por exemplo, “foi capaz de formular conjecturas sem ter visto o conjunto de Mandelbrot”, disse Buff. Mas Fatou só poderia ir até certo ponto. Por mais poderosa que sua imaginação possa ter sido, há um mundo de riqueza girando sob o cenário de Mandelbrot que era inacessível para ele, mas facilmente visível para uma pessoa comum atualmente.
Lyubich não costuma usar computadores em seu trabalho. “Minha maneira de pensar é muito visual”, disse ele. “É muito geométrico. Penso em termos de imagens – mas apenas desenho imagens mais ou menos primitivas, à mão ou mentalmente. Nunca uso computadores de maneira substancial.” (Ele brinca que talvez a culpa seja do trabalho de programação que ocupou brevemente em Leningrado antes de emigrar. “Isso me causou repulsa”, disse ele.) No entanto, ele vive em um mundo impregnado de computação. De volta aos campos de algodão do Uzbequistão, ele também só chegou até certo ponto deixando a sua imaginação correr solta. “Foram Douady e Hubbard que visualizaram o próximo nível de profundidade”, disse ele – usando os computadores disponíveis na década de 1980. Nas décadas seguintes, Lyubich viu seus colaboradores usarem computadores como laboratório e como guia. Em seu único artigo conjunto com Milnor, ele lembra, Milnor realizou vários experimentos computacionais para ajudar a orientar a prova na direção certa. E Dudko retorna repetidamente ao computador enquanto trabalha com Lyubich. “Ele é muito bom em interpretar o que vê”, disse Lyubich, “para traduzir essas imagens em linguagem matemática e formular conjecturas muito profundas”.
Galileu descobriu as luas de Júpiter não apenas porque desenvolveu a teoria certa para dar sentido ao que viu, mas porque tinha um telescópio. Da mesma forma, existem áreas inteiras do universo matemático que permanecem ocultas até que a mudança tecnológica as torne visíveis. Elas não podem ser descobertas com pensamento puro, assim como as luas de Júpiter não podem ser discernidas apertando os olhos.
Se a revolução computacional das décadas de 1970 e 1980 abriu o continente do conjunto de Mandelbrot à exploração, os matemáticos poderiam atualmente estar à beira de outro ponto de viragem. A inteligência artificial está apenas começando sendo usada para formular conjecturas substantivas e provar resultados matemáticos significativos. É difícil – talvez impossível – avaliar o seu potencial com confiança. (“Temos que tentar treinar uma rede neural para dar um zoom no conjunto de Mandelbrot”, brincou Kapiamba.) Mas se a história do conjunto de Mandelbrot é uma de como os matemáticos podem usar o pensamento puro para examinar um panorama aberto pela tecnologia , o próximo capítulo ainda precisa ser escrito.
“Nunca tive a sensação de que minha imaginação fosse rica o suficiente para inventar todas aquelas coisas extraordinárias”, disse certa vez Mandelbrot. “Eles estavam lá, embora ninguém os tivesse visto antes.”Galileu descobriu as luas de Júpiter não apenas porque desenvolveu a teoria certa para dar sentido ao que viu, mas porque tinha um telescópio. Da mesma forma, existem áreas inteiras do universo matemático que permanecem ocultas até que a mudança tecnológica as torne visíveis. Elas não podem ser descobertas com pensamento puro, assim como as luas de Júpiter não podem ser discernidas apertando os olhos.
Se a revolução computacional das décadas de 1970 e 1980 abriu o continente do conjunto de Mandelbrot à exploração, os matemáticos poderiam atualmente estar à beira de outro ponto de viragem. A inteligência artificial está apenas começando sendo usada para formular conjecturas substantivas e provar resultados matemáticos significativos. É difícil – talvez impossível – avaliar o seu potencial com confiança. (“Temos que tentar treinar uma rede neural para dar um zoom no conjunto de Mandelbrot”, brincou Kapiamba.) Mas se a história do conjunto de Mandelbrot é uma de como os matemáticos podem usar o pensamento puro para examinar um panorama aberto pela tecnologia , o próximo capítulo ainda precisa ser escrito.
“Nunca tive a sensação de que minha imaginação fosse rica o suficiente para inventar todas aquelas coisas extraordinárias”, disse certa vez Mandelbrot. “Eles estavam lá, embora ninguém os tivesse visto antes.”
Publicado em 31/01/2024 19h01
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