Esta atividade foi desenvolvida para alunos familiarizados com conceitos avançados de álgebra. Nesta lição, os alunos irão usar cálculos algébricos para determinar as posições relativas da Terra e de Marte durante as quais pode ocorrer uma transferência ótima (de baixa energia) de uma espaçonave.
Combine essas informações com dados de posição planetária para determinar a próxima oportunidade de lançamento para Marte.
Materiais
Gerenciamento
Considere fazer com que os alunos se sentem em um piso acarpetado ao usar os alfinetes e o barbante para fazer uma elipse. O piso acarpetado absorverá as pontas dos alfinetes que podem ultrapassar a espessura do papelão. Como alternativa, peça aos alunos que usem mais de um pedaço de papelão para amortecer as pontas salientes dos alfinetes.
Fundo
Quando uma espaçonave é lançada da Terra, sua velocidade de avanço combinada com a atração gravitacional da Terra faz com que ela viaje em um caminho curvo. À medida que a espaçonave se dirige para outro planeta, a atração gravitacional desse planeta influencia o caminho que a espaçonave segue. Quanto mais uma espaçonave puder “desacelerar” com os motores desligados, menor será o custo da missão (combustível de foguete não é barato!).
Pense em um zagueiro jogando uma bola de futebol para um recebedor. O impulso inicial (arremesso) é tudo o que a bola consegue no que diz respeito à potência. A bola de futebol segue um caminho curvo até as mãos do receptor. Da mesma forma, o zagueiro joga a bola para onde o recebedor vai estar, não necessariamente para onde o recebedor está no momento. Assim, o zagueiro lança a bola de futebol para o campo enquanto o recebedor está correndo naquela direção. Em um passe perfeitamente lançado, a velocidade de corrida do receptor o levará ao ponto exato onde a bola chega ao nível da mão.
O lançamento para Marte é semelhante a isso. Uma espaçonave recebe um impulso inicial (lançamento) em direção a Marte e, em seguida, desliga seus motores e desacelera (obedecendo à Primeira Lei de Newton) até chegar perto de seu alvo. Dependendo da missão, a espaçonave pode desacelerar – para entrar em órbita ou pousar – usando a atmosfera marciana ou retrofoguetes que disparam no sentido oposto ao da viagem (obedecendo à Terceira Lei de Newton).
Embora uma espaçonave possa seguir uma variedade de caminhos curvos da Terra a Marte, um caminho chamado órbita de transferência de Hohmann usa menos energia e, portanto, é considerado o mais eficiente.
A transferência de Hohmann é uma órbita elíptica com o sol em um dos focos da elipse que intercepta a órbita do planeta alvo. O lançamento ocorre quando a Terra está no periélio de Hohmann (o ponto da órbita de Hohmann mais próximo do sol). A chegada ocorre quando Marte está no afélio de Hohmann (o ponto da órbita de Hohmann que está mais distante do sol).
Dependendo dos objetivos da missão e das características da espaçonave, os engenheiros usarão variações na órbita de transferência de Hohmann para levar a espaçonave a Marte. Essas variações podem tornar o tempo de viagem mais ou menos longo do que uma transferência Hohmann padrão.
Para garantir que a espaçonave e Marte cheguem ao mesmo lugar ao mesmo tempo, a espaçonave deve ser lançada dentro de uma janela de tempo específica. Essa janela é chamada de “janela de inicialização” e, dependendo do alvo, pode durar alguns minutos ou até algumas semanas.
Se uma espaçonave for lançada muito cedo ou muito tarde, ela chegará à órbita do planeta quando o planeta não estiver lá.
Procedimentos
1. Explique aos alunos que o lançamento para Marte exige que uma espaçonave viaje em uma órbita elíptica ao redor do Sol, de modo que a espaçonave e Marte cheguem ao mesmo lugar ao mesmo tempo. A tarefa deles neste exercício é determinar quando devemos lançar a Marte.
2. Explique que a órbita desse tipo com maior eficiência energética é chamada de transferência de Hohmann, na qual a espaçonave percorrerá metade de uma órbita ao redor do Sol, deixando a Terra no periélio da órbita e chegando a Marte (ou qualquer planeta externo) no afélio da órbita.
3. Lembre aos alunos a Segunda Lei de Kepler, a Lei das Áreas Iguais: Uma linha traçada de um planeta até o Sol varre áreas iguais em tempos iguais.
4. Explique aos alunos que lançar uma espaçonave considerando a dinâmica orbital dos planetas é uma tarefa matemática altamente complexa. Para simplificar a tarefa, faremos três suposições (Nota: nenhuma dessas suposições é verdadeira, mas usar essas simplificações ainda permitirá um cálculo bastante preciso da janela de inicialização.):
– As órbitas da Terra e de Marte são circulares e centradas no sol. (A órbita da Terra é mais circular do que a órbita de Marte, mas ambas são ligeiramente elípticas.)
– A Terra e Marte viajam a velocidades constantes. (Eles não. Veja a Segunda Lei de Kepler).
– As órbitas da Terra e de Marte estão no mesmo plano. (Eles estão próximos, mas ligeiramente fora do plano um do outro).
Explique aos alunos o conceito de longitude heliocêntrica. Esta é a posição de um objeto em relação ao sol, medida a leste ao longo da eclíptica (caminho da Terra ao redor do sol) a partir do equinócio vernal (posição no espaço onde a eclíptica cruza o equador celeste). Assim como as longitudes na Terra medem a posição em relação a um ponto fixo (o meridiano principal), as longitudes heliocêntricas medem a posição no espaço ao longo da eclíptica em relação ao equinócio vernal.
6. Peça aos alunos que encontrem o comprimento do semi-eixo maior da órbita de transferência em unidades astronômicas (UA), dado que a distância média de Marte ao Sol é 1,52 UA.
7. Peça aos alunos que usem barbante e alfinetes para desenhar as órbitas circulares presumidas da Terra e de Marte em torno do Sol e a aproximação da órbita de transferência de Hohmann em papel quadriculado, conforme mostrado à direita:
Os alunos precisarão calcular a localização do segundo foco (um foco está no sol) para a órbita de transferência de Hohmann. A distância focal é 0,26 AU, então se o sol estiver em (0,0), o outro foco estará em (-0,52, 0).
Para desenhar a órbita de transferência de Hohmann, coloque um alfinete em cada foco da elipse e use um laço de barbante igual em comprimento a duas vezes a soma do comprimento do semi-eixo maior da elipse e a distância focal (os alunos podem derivar isso usando a fórmula para uma elipse).
8. Peça aos alunos que usem a Terceira Lei de Kepler, a Lei da Harmonia, para determinar o período da órbita de transferência de Hohmann e, em seguida, o tempo de viagem para Marte ao longo dessa órbita.
A Terceira Lei de Kepler afirma que o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior de sua órbita. Uma equação pode representar esta relação:
P2=ka3 com k sendo a constante de proporcionalidade
Usando a Terra como exemplo, podemos medir P em anos e a em unidades astronômicas, então P = 1 ano e a = 1 UA. Assim, P2=ka3→k=1 => P2=a3
P2= (1,26 AU)3 => P – 1,41 anos – 517 dias
O período completo desta órbita de transferência de Hohmann é de 517 dias. A viagem para Marte abrange metade de uma órbita, aproximadamente 259 dias.
9. Usando os movimentos diários da Terra e de Marte, calcule a posição relativa ideal da Terra e de Marte durante o lançamento.
Marte completa uma revolução em torno do sol (360 graus) em 687 dias, o que significa que ele se move 0,524 graus por dia (360 graus/687 dias). Em 259 dias (o tempo de viagem da Terra a Marte ao longo do caminho de transferência de Hohmann), Marte terá se movido 136 graus (0,524 graus por dia * 259 dias).
Para calcular a posição de Marte no momento do lançamento, subtraia a quantidade de seu movimento durante o tempo de viagem da espaçonave (136 graus) de seu ponto de chegada (180 graus). 180 graus – 136 graus = 44 graus.
Considerando que o lançamento da Terra foi no periélio da órbita de Hohmann (ponto mais próximo do sol) e a chegada é no afélio da órbita de Hohmann (ponto mais distante do sol), podemos concluir que uma oportunidade de lançamento ocorre quando Marte está 44 graus à frente da Terra em sua órbita.
Usando as longitudes heliocêntricas planetárias, aproximadamente quando é a próxima oportunidade de um lançamento para Marte?
Discussão
Uma espaçonave deve ser lançada em um momento exato na janela de lançamento? O que acontece se for lançado antes ou depois?
Pesquisa: Qual é a duração média de uma janela de lançamento para Marte?
Extensões
Aproximadamente quando foi a oportunidade mais recente de um lançamento para Marte? Que países aproveitaram essa oportunidade e se lançaram a Marte naquela época? Qual é o status atual dessas missões? Eles tiveram sucesso?
Peça aos alunos que criem uma planilha que subtrairá as longitudes heliocêntricas da Terra e de Marte para simplificar os cálculos da janela de lançamento.
Em relação a Marte, onde está a Terra em sua órbita quando a espaçonave chega?
Publicado em 26/02/2023 21h55
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