Matemáticos do Caltech, Alex Dunn e Maksym Radzi, finalmente provarão a “conjectura de Patterson”.
Uma característica desconcertante dos números encontrada pela primeira vez pelo matemático alemão Ernst Kummer confundiu os pesquisadores nos últimos 175 anos. Em um ponto na década de 1950, essa característica peculiar da teoria dos números foi considerada errada, mas então, décadas depois, os matemáticos encontraram indícios de que era de fato verdade. Agora, depois de várias reviravoltas, dois matemáticos do Caltech finalmente encontraram a prova de que Kummer estava certo o tempo todo.
“Tivemos vários momentos ‘aha’, mas então você tem que arregaçar as mangas e descobrir isso”, explica Alexander (Alex) Dunn, um pós-doc na Caltech e o Olga Taussky and John Todd Instructor in Mathematics, que escreveu a prova com seu orientador, o professor de matemática Maksym Radziwill, e o postou online em setembro de 2021.
O problema matemático tem a ver com as somas de Gauss, nomeadas em homenagem ao prolífico matemático do século XVIII Carl Friedrich Gauss. Quando era jovem, Gauss surpreendeu seus colegas de classe desenvolvendo rapidamente uma fórmula para somar os números de 1 a 100. Mais tarde, Gauss desenvolveu um conceito complexo conhecido como somas de Gauss, que mapeia prontamente a distribuição de soluções para equações. Ele olhou para a distribuição do que é chamado de somas de Gauss quadradas para números primos não triviais (primos que têm um resto de 1 quando você divide por 3) e encontrou uma “bela estrutura”, de acordo com Radziwill.
Essa atividade de soma envolve um tipo de matemática conhecida como aritmética modular. Uma maneira fácil de entender a aritmética modular é pensar em um relógio e seu mostrador dividido em 12 horas. Quando chega o meio-dia ou meia-noite, os números são zerados e voltam a 1. Este sistema “módulo 12” simplifica a cronometragem, já que não precisamos ficar contando as horas para sempre.
No caso das somas de Gauss, a mesma ideia está em jogo, mas a “face do relógio” base é dividida em p horas, onde p é um número primo. “A matemática do módulo p é uma maneira de eliminar informações e simplificar equações impossivelmente complicadas”, diz Radziwill.
No século 19, Kummer estava interessado em observar a distribuição de somas cúbicas de Gauss para primos não triviais, ou em um sistema módulo p. Ele fez isso à mão para os primeiros 45 números primos não triviais e plotou as respostas uma a uma em uma linha numérica (para fazer isso, ele teve que normalizar as respostas primeiro para que ficassem entre -1 e 1). O resultado foi inesperado: as soluções não eram aleatórias, mas tendiam a se agrupar na extremidade positiva da linha.
“Ao lidar com a distribuição de objetos naturais na teoria dos números, a expectativa ingênua é que haja uma distribuição igual e, se não, deve haver uma razão muito convincente”, diz Dunn. “É por isso que foi tão chocante que Kummer alegou que esse não era o caso dos cubos”.
Mais tarde, na década de 1950, pesquisadores liderados pelo falecido Hedvig Selberg, do Institute for Advanced Study, usaram um computador para calcular as somas cúbicas de Gauss para todos os primos não triviais menores que 10.000 (cerca de 500 primos). Quando as soluções foram plotadas na reta numérica, o viés visto por Kummer desapareceu. As soluções pareciam ter uma distribuição aleatória.
Então veio o matemático Samuel Patterson, que propôs uma solução para a confusão em 1978, agora conhecida como conjectura de Patterson. Patterson, que era estudante de pós-graduação na Universidade de Cambridge na época, reconheceu que o viés na distribuição das soluções poderia ser superado à medida que o tamanho da amostra aumentasse cada vez mais. Isso significava que Kummer estava certo – algo engraçado estava acontecendo com suas somas de 45 primos. Mas provar por que esse é o caso teria que esperar até o ano passado, quando Dunn e Radziwill finalmente descobriram.
“O viés visto com alguns números é como ter uma moeda fisicamente impossível que é ligeiramente ponderada em direção à cara, mas se torna cada vez menor quanto mais você a joga”, explica Radziwill.
Os dois pesquisadores do Caltech decidiram trabalhar juntos para tentar resolver o problema da conjectura de Patterson há cerca de dois anos. Eles não haviam passado muito tempo juntos no campus devido à pandemia, mas se encontraram em um estacionamento em Pasadena e começaram a conversar. Eles decidiram se encontrar em parques para trabalhar no problema, onde anotariam suas provas matemáticas em folhas de papel.
“Eu tinha acabado de chegar ao Caltech e não conhecia muitas pessoas”, diz Dunn. “Então foi muito bom encontrar Maks e poder trabalhar juntos no problema pessoalmente.”
A solução deles foi baseada no trabalho de Roger Heath-Brown, da Universidade de Oxford, que havia assistido a uma palestra de Patterson na Universidade de Cambridge no final dos anos 1970. Heath-Brown e Patterson se uniram para trabalhar no problema e, em 2000, Heath-Brown desenvolveu uma ferramenta conhecida como peneira cúbica grande para ajudar a provar a conjectura de Patterson. Ele chegou perto, mas a solução completa permaneceu fora de alcance.
Dunn e Radziwill resolveram o problema quando perceberam que a peneira não estava funcionando corretamente ou tinha uma “barreira” que eles conseguiram remover.
“Conseguimos recalibrar nossa abordagem. Em matemática, você pode ficar preso em uma certa linha de pensamento, e conseguimos escapar disso”, diz Dunn. “Lembro-me de quando tive um dos momentos ‘aha’, fiquei tão empolgado que corri para encontrar Maks no Red Door [um café da Caltech] e pedi que ele viesse ao meu escritório. Então começamos o trabalho duro de descobrir tudo isso.”
Publicado em 28/11/2022 10h54
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