Depois de chocar a comunidade matemática com um grande resultado em 2013, Yitang Zhang agora diz que resolveu um análogo da célebre hipótese de Riemann.
Um matemático que passou da obscuridade ao status de luminar em 2013 por resolver uma questão centenária sobre números primos agora afirma ter resolvido outra. O problema é semelhante – mas distinto – da hipótese de Riemann, que é considerada um dos problemas mais importantes da matemática.
O teórico dos números Yitang Zhang, que mora na Universidade da Califórnia, em Santa Bárbara, postou sua solução proposta – uma pré-impressão de 111 páginas – no servidor de pré-impressão arXiv em 4 de novembro1. Ainda não foi validado por seus pares. Mas, se der certo, ajudará de alguma forma a domar a aleatoriedade dos números primos, números inteiros que não podem ser divididos uniformemente por nenhum número, exceto eles mesmos ou 1.
A conjectura dos zeros de Landau-Siegel é semelhante – e, alguns suspeitam, menos desafiadora do que – a hipótese de Riemann, outra questão sobre a aleatoriedade dos primos e um dos maiores mistérios não resolvidos da matemática. Embora se saiba há milênios que existem infinitos números primos, não há como prever se um determinado número será primo; apenas a probabilidade de que seja, dado seu tamanho. Resolver os problemas de Riemann ou Landau-Siegel significaria que a distribuição de números primos não tem grandes flutuações estatísticas.
“Para mim, no campo, esse resultado seria enorme”, diz Andrew Granville, teórico dos números da Universidade de Montreal, no Canadá. Mas ele alerta que outros, incluindo Zhang, já propuseram soluções que se revelaram falhas, e que levará um tempo para os pesquisadores analisarem o argumento de Zhang para ver se está correto. “Neste momento, estamos muito longe de ter certeza.”
Zhang não respondeu aos pedidos de comentários da Nature. Mas ele escreveu sobre seu último trabalho no site chinês Zhihu. “Quanto à conjectura dos zeros de Landau-Siegel, não pensei em desistir”, escreveu ele. Ele acrescentou: “Quanto ao meu planejamento do futuro, não vou entregar esses problemas de matemática. Acho que provavelmente terei que fazer matemática a vida toda. Não sei o que fazer sem fazer matemática. As pessoas têm feito perguntas sobre a minha aposentadoria. Eu já disse que se eu deixar a matemática, eu realmente não saberei como viver.” (Seus comentários foram traduzidos para o inglês pelo site Pandaily.)
Paixão por primos
Rumores circulavam desde meados de outubro de que Zhang havia feito um avanço no problema de Landau-Siegel, e a comunidade matemática certamente prestará atenção. Zhang tem apenas um resultado significativo em seu nome, mas é para sempre. Durante anos depois de obter seu doutorado em 1991, ele se afastou de seu orientador de tese, trabalhando em biscates para sobreviver. Ele então assumiu um cargo de professor na Universidade de New Hampshire em Durham, onde discretamente esculpiu sua paixão, as propriedades estatísticas dos números primos. Ele postou um preprint sobre a conjectura de Landau-Siegel em 20072, mas os matemáticos encontraram problemas e nunca foi publicado em um periódico revisado por pares.
O primeiro grande avanço de Zhang veio em 2013, quando ele mostrou que, embora as lacunas entre primos subsequentes cresçam cada vez mais em média, existem infinitos pares que permanecem dentro de uma certa distância finita um do outro3. Este foi o primeiro grande passo para resolver uma questão importante na teoria dos números – se existem infinitos pares de primos que diferem em apenas 2 unidades, como os primos 5 e 7 ou 11 e 13. (Teórico dos números James Maynard, da Universidade de Oxford, Reino Unido, ganhou uma Medalha Fields em julho por melhorar o resultado de Zhang, entre outras conquistas.)
O problema que Zhang agora diz ter resolvido remonta à virada do século XX, quando os matemáticos estavam explorando maneiras de domar a aleatoriedade dos números primos. Uma maneira de contá-los é dividi-los em um número finito de cestas, com base nos restos que se obtém ao dividir um primo por outro primo, denotado por p. Por exemplo, quando dividido por p = 5, um primo pode dar um resto de 1, 2, 3 ou 4. Um resultado do início do século XIX mostra que – uma vez que se considera uma amostra estatística grande o suficiente – essas possibilidades devem ‘eventualmente’ ocorrer com igual probabilidade. Mas a grande questão, explica Granville, era quão grande a amostra estatística deveria ser para que o padrão de distribuição igual aparecesse: “O que significa ?eventualmente Quando eles começam a se tornar bem distribuídos?”
Os métodos conhecidos na época sugeriam que as amostras deveriam ser estupendamente grandes, crescendo exponencialmente com o tamanho de p. Mas um matemático alemão chamado Carl Ludwig Siegel encontrou uma fórmula relativamente simples que se ligava a esse problema da cesta e potencialmente tornava as amostras muito menores. Ele mostrou que se, em certas circunstâncias, a fórmula não produzisse 0, isso equivalia a provar a conjectura. “Ele removeu toda a madeira morta do caminho e deixou apenas um carvalho maciço para ser derrubado”, diz Granville. O problema, também formulado independentemente por outro matemático alemão, Edmund Landau, ficou conhecido como a conjectura dos zeros de Landau-Siegel. O que Zhang agora afirma ter provado é uma versão mais fraca dela, mas que teria consequências semelhantes em relação à distribuição de primos.
Problema não resolvido
A conjectura é uma prima da hipótese de Riemann – uma forma de prever a probabilidade de que os números em um determinado intervalo sejam primos que foi inventada pelo matemático alemão Bernhard Riemann em 1859.
A hipótese de Riemann provavelmente permanecerá no topo das listas de desejos dos matemáticos nos próximos anos. Apesar de sua importância, nenhuma tentativa até agora fez muito progresso. Apenas os matemáticos mais corajosos – geralmente aqueles que já possuem grandes realizações e prêmios – admitem publicamente tentar resolvê-lo. “É uma dessas coisas – você não deveria falar sobre Riemann”, diz Alex Kontorovich, teórico dos números da Rutgers University em Piscataway, Nova Jersey. “As pessoas trabalham secretamente nisso.”
Embora o progresso para resolver a hipótese de Riemann tenha estagnado, o problema de Landau-Siegel oferece insights semelhantes, acrescenta. “Resolver qualquer um desses problemas seria um grande avanço em nossa compreensão da distribuição de números primos.”
Publicado em 15/11/2022 12h29
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