A conjectura de Kakeya prevê quanto espaço você precisa para apontar uma linha em todas as direções. Em um sistema numérico após o outro – com uma exceção importante – os matemáticos têm provado que é verdade.
A conjectura de Kakeya soa como um quebra-cabeças. Coloque uma agulha plana em uma mesa. Quanta área você precisa para poder girá-lo para que ele aponte em todas as direções possíveis?
A resposta possível mais óbvia é um círculo cujo diâmetro é o comprimento da agulha. Mas isso está comprovadamente errado. E ao longo do último século, o esforço para entender as maneiras pelas quais isso está errado revelou que o que parece ser uma pequena pergunta divertida é na verdade um problema matemático profundamente provocativo sobre a natureza dos próprios números reais – aqueles tiques infinitos da linha numérica que servem como as coordenadas no espaço onde o problema foi colocado pela primeira vez.
Isso ficou claro com várias provas que recentemente fizeram alguns dos progressos mais notáveis em anos na conjectura de Kakeya. Os resultados transportam a questão original para longe dos números reais, onde os matemáticos foram bloqueados, e para mundos geométricos e aritméticos onde as linhas são definidas por sistemas numéricos alternativos que são, de certa forma, mais fáceis de trabalhar.
A inventividade animou os matemáticos com um novo senso de propósito.
“A conjectura de Kakeya parece tão difícil, mas também é plausível que haja uma solução em alguns anos”, disse Larry Guth, matemático do Instituto de Tecnologia de Massachusetts que trabalha no problema há mais de 15 anos. “Parece mais esperançoso do que qualquer outra abordagem que já vi.”
Um aperto forte
As versões modernas da conjectura de Kakeya estão a poucos passos da afirmação original do problema, feita em 1917 por Soichi Kakeya. Ele estava curioso sobre a menor área necessária no plano bidimensional para girar uma linha unidimensional de um determinado comprimento de modo que ela eventualmente aponte em todas as direções.
Um disco com um diâmetro igual ao comprimento da linha é suficiente – basta girar a linha como um mostrador. Mas formas menores também podem funcionar. Por exemplo, tome um triângulo equilátero com uma altura igual ao comprimento da linha. Ao realizar uma série do que são essencialmente curvas de três pontos, você pode deslocar a linha – que tem área zero, porque é unidimensional – ao redor do triângulo e obter a varredura desejada. Um conjunto de pontos que permite esse apontamento completo é chamado de conjunto Kakeya.
Kakeya queria conhecer a menor área possível de um conjunto Kakeya. Em 1919, Abram Besicovitch deu a resposta surpreendente: não há limite para o quão pequeno pode ser. Ele demonstrou que é possível construir conjuntos Kakeya que levam o desenho do triângulo equilátero ao extremo. Em vez dos três picos do triângulo, você acaba com uma profusão de picos dentro de picos que emanam em todas as direções.
“No limite, é uma coisa estranha com aparência de ouriço”, disse Zeev Dvir, professor da Universidade de Princeton e autor de uma das novas provas. O resultado é um arranjo fractal intrincado com uma área que pode ser arbitrariamente pequena – o que equivale a não ter nenhuma área.
David Kelly Crow
A construção de Besicovitch tirou o ar da pergunta de Kakeya apenas dois anos depois que ele a fez. Mas décadas depois, os matemáticos conceberam uma versão revisada do problema que se mostraria muito mais atormentadora.
Vazio generalizado
Besicovitch provou que os conjuntos de Kakeya podem ter área de fuga, mas existem outras maneiras de descrever o tamanho de uma forma além da área. Os conjuntos que Besicovitch concebeu ainda contêm pontos, e na década de 1970 surgiu uma questão renovada sobre a eficiência com que esses pontos são organizados.
Nos números reais, as coisas podem estar muito próximas de zero sem realmente serem zero. De alguma forma, esse é o ponto crucial técnico.
Esta questão, chamada de conjectura de Kakeya (diferente do problema original de Kakeya), prevê que se você tiver, digamos, pequenos quadrados de tecido e estiver tentando posicioná-los sobre um conjunto de Kakeya de modo que os quadrados cubram o conjunto completamente , em um sentido muito preciso, você precisará de muitos quadrados para completar a cobertura.
A extensão em que os pontos em um conjunto são organizados de forma a torná-los mais fáceis ou difíceis de cobrir é capturado em duas métricas intimamente relacionadas chamadas dimensão de Hausdorff e dimensão de Minkowski. Essas noções de dimensão fornecem aos matemáticos outra estrutura rigorosa para explorar os conjuntos de Kakeya – uma maneira de continuar a investigá-los depois que Besicovitch provou que medir a área por si só era insuficiente para entender suas propriedades essenciais. A conjectura de Kakeya prevê que as dimensões de Hausdorff e Minkowski de um conjunto de Kakeya devem ser as maiores possíveis. E enquanto as definições exatas dessas duas medidas de dimensão são técnicas, a intuição por trás da conjectura é bastante clara: para ter linhas indo para todos os lugares, você precisa de muita coisa.
“Você tem uma linha em todas as direções e imagina que está tentando espremer todas em alguma coisa. Como poderia ser comprimido?” disse Guth.
Problemas reais
A conjectura de Kakeya ocorre no espaço euclidiano, onde os pontos são definidos por números reais – números que podem ter um decimal infinitamente longo, como 19,1777 ou pi. Com o tempo, ficou claro que essas coordenadas de valor real são uma grande parte do motivo pelo qual a conjectura de Kakeya é tão difícil de resolver.
Cortesia da Escola de Pós-Graduação em Ciências Matemáticas, Universidade de Tóquio
Exatamente o que é sobre os números reais que cria tal obstrução não é totalmente claro, mas alguns recursos se destacam. Primeiro, os números reais são contínuos, o que implica que você não pode olhar para eles em qualquer intervalo discreto sem perder a capacidade de fazer aritmética. (Se você se restringir a um intervalo entre 1 e 2, por exemplo, você perde a adição, porque a soma de dois números dentro desse intervalo ficará fora dele.) Os números reais também são incontavelmente infinitos, o que significa que não importa quanto você aumenta o zoom neles, você vê a mesma coisa em todas as escalas.
“Nos números reais, as coisas podem estar muito próximas de zero sem realmente serem zero. De alguma forma, esse é o ponto crucial técnico”, disse Joshua Zahl, da Universidade da Colúmbia Britânica.
A dificuldade dos números reais motivou os matemáticos a considerar versões da conjectura de Kakeya que são definidas em sistemas numéricos menores. Eles podem ter apenas os valores numéricos inteiros de 1 a 5, por exemplo. E embora esses sistemas numéricos não se pareçam muito com os números reais, eles carregam muitas das mesmas propriedades aritméticas básicas – eles permitem adição, subtração, multiplicação e divisão.
Eles também são ricos o suficiente para suportar as técnicas de álgebra linear para definir linhas, e uma vez que você tenha linhas, você pode perguntar uma versão ligeiramente modificada da conjectura de Kakeya: Qual é o tamanho mínimo de um conjunto de pontos em um desses sistemas numéricos como que você pode construir uma linha em todas as direções? Thomas Wolff fez uma pergunta como essa em 1996. Desde então, os matemáticos a abordaram como um andaime que poderia aproximá-los da resposta à própria conjectura de Kakeya.
“A ideia é que [este] problema é presumivelmente mais fácil, e talvez você deva tentar desenvolver técnicas para resolvê-lo para obter ideias para lidar com o caso euclidiano real”, disse Manik Dhar, de Princeton, autor de dois artigos recentes sobre a conjectura de Kakeya. .
Escolha um número
Para definir um desses sistemas de números pequenos, você primeiro escolhe um número. Talvez você escolha 9, caso em que seu sistema numérico contém os números inteiros de 1 a 9. Ou talvez você escolha 17, 25 ou 83.
Sua escolha importa. Em particular, se esse número (chamado de módulo) é primo ou não primo, e de que forma não é primo, tem um grande efeito tanto no comportamento do sistema numérico quanto nos métodos que podem ser aplicados à conjectura de Kakeya.
Em 2008, Dvir resolveu a conjectura de Kakeya para sistemas de números finitos em que o módulo é um número primo, que é o caso particular que Wolff tinha em mente em 1996. Esses sistemas de números, chamados de campos finitos, são especialmente poderosos e são usados em toda a matemática para atacar problemas difíceis.
Dvir provou que sobre corpos finitos, um conjunto Kakeya necessariamente tem a maior dimensão possível (onde a dimensão é redefinida de uma forma que faz sentido em um cenário finito). Sua prova, que tinha apenas duas páginas, se apoiava fortemente no fato de que quando o módulo é primo, qualquer conjunto dentro do sistema de números finitos serve como soluções (ou raízes) para uma equação polinomial – o que significa que o conjunto pode ser descrito por um equação de uma forma que os conjuntos de Kakeya de números reais não podem ser.
A prova de Dvir representou o primeiro grande progresso na conjectura Kakeya e deixou os matemáticos momentaneamente esperançosos de que mais avanços em direção à conjectura euclidiana Kakeya estavam reservados.
Nenhum apareceu. “As pessoas estavam muito animadas e todos nós tentamos muito, e não funcionou”, disse Guth.
Então, mais de uma década depois, Dvir voltou.
Produtos de Primes
Em novembro de 2020, Dvir e Dhar, seu aluno de pós-graduação, resolveram a conjectura de Kakeya para sistemas de números finitos em que o módulo é qualquer número que seja produto de primos distintos, como 15 (que é 3 × 5). Esses sistemas numéricos exigiam que Dhar e Dvir fossem além do método polinomial. Em vez disso, eles converteram o problema em uma questão sobre tabelas de números chamadas matrizes.
Nessas matrizes, as colunas representam pontos e as linhas representam direções. Se houver uma linha em um ponto específico, indo em uma direção específica, escreva um 1 no ponto correspondente na matriz. (Caso contrário, digite 0.) Desta forma, a matriz codifica as propriedades de um conjunto de linhas. Agora você pode calcular as propriedades dessa matriz para determinar as propriedades do conjunto. Em particular, o “rank” da matriz relaciona-se diretamente com o tamanho do conjunto de linhas.
Dhar e Dvir provaram que a classificação dessas matrizes é alta, o que significa que o conjunto de linhas é grande, o que significa que a conjectura de Kakeya é verdadeira para esses sistemas numéricos específicos – qualquer conjunto de pontos contendo linhas em todas as direções precisa ser grande.
Menos de um ano após o resultado de Dhar e Dvir, Bodan Arsovski o estendeu. Em agosto de 2021, ele provou a conjectura de Kakeya para sistemas de números finitos em que o módulo é um número primo elevado a uma potência, como 9 (que é 3²). Isso implica a conjectura para um sistema numérico chamado p-adics, que é um sistema numérico infinito e mais parecido com os números reais dessa maneira. Seguindo o artigo de Arsovski, os matemáticos se dedicaram a determinar se seus métodos poderiam ser modificados para serem aplicados aos próprios números reais.
Depois de alguns meses de esforço infrutífero, ficou claro que, por enquanto, pelo menos, eles não podem ser.
“Existem pequenas diferenças em como o campo dos números reais e os campos p-ádicos se comportam que fazem a analogia quebrar”, disse Alejo Salvatore, estudante de doutorado na Universidade de Wisconsin, Madison.
Desde o trabalho de Arsovski, houve mais duas reviravoltas na história. Em outubro passado, Dhar provou que a conjectura de Kakeya é verdadeira para sistemas de números finitos com qualquer módulo. Então, em fevereiro, Salvatore confirmou a conjectura para sistemas numéricos mais exóticos, chamados de campos locais de característica positiva, nos quais um corpo finito é aumentado com uma variável.
Existem diferentes maneiras de pensar sobre essa enxurrada de resultados. Uma é esperar que o impulso continue: agora que os matemáticos provaram que a conjectura é verdadeira para um sistema numérico após o outro, talvez os números reais sejam os próximos. Mas outra é recuar e perguntar: por que os matemáticos não conseguiram confirmar a conjectura de Kakeya para os números reais, já que agora conseguiram confirmá-la em tantas outras configurações?
Pelo menos um matemático acha que a explicação pode ser a mais óbvia de todas.
“Não estou mais confiante de que a conjectura de Kakeya seja verdadeira”, disse Guth.
Publicado em 02/08/2022 00h01
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