As técnicas de aprendizado de máquina podem beneficiar outras áreas da matemática que envolvem grandes conjuntos de dados.
Pela primeira vez, o aprendizado de máquina detectou conexões matemáticas que os humanos não perceberam. Pesquisadores da central de inteligência artificial DeepMind, com sede em Londres, se uniram a matemáticos para resolver dois problemas separados – um na teoria dos nós e outro no estudo de simetrias. Em ambos os casos, as técnicas de IA ajudaram os pesquisadores a descobrir novos padrões que poderiam ser investigados usando métodos convencionais.
“Fiquei muito impressionado com a utilidade das ferramentas de aprendizado de máquina como um guia para a intuição”, disse Marc Lackenby, da Universidade de Oxford, no Reino Unido, um dos matemáticos que participou do estudo. “Eu não esperava que alguns de meus preconceitos mudassem de ideia.”
Simulações de computador e visualizações de nós e outros objetos há muito ajudam os matemáticos a procurar padrões e desenvolver sua intuição, diz Jeffrey Weeks, um matemático baseado em Canton, Nova York, que foi o pioneiro em algumas dessas técnicas desde os anos 1980. Mas, ele acrescenta, “Fazer com que o computador busque padrões leva o processo de pesquisa a um nível qualitativamente diferente”.
Os autores dizem que a abordagem, descrita em um artigo na edição de 2 de dezembro da Nature, poderia beneficiar outras áreas da matemática que envolvem grandes conjuntos de dados.
Matemática versus máquina
DeepMind, uma empresa irmã do Google, ganhou as manchetes com inovações como crackear o jogo Go, mas seu foco de longo prazo tem sido aplicações científicas, como a previsão de como as proteínas se dobram.
A ideia de uma colaboração matemática foi deflagrada por uma conversa casual em 2019 entre o matemático Geordie Williamson da Universidade de Sydney, na Austrália, e o presidente-executivo da DeepMind, o neurocientista Demis Hassabis. Lackenby e um colega de Oxford, András Juhász, ambos teóricos do nó, logo se juntaram ao projeto.
Inicialmente, o trabalho se concentrou na identificação de problemas matemáticos que poderiam ser atacados usando a tecnologia da DeepMind. O aprendizado de máquina permite que os computadores se alimentem de grandes conjuntos de dados e façam suposições, como a correspondência de uma imagem de câmera de vigilância com um rosto conhecido de um banco de dados de fotografias. Mas suas respostas são inerentemente probabilísticas, e as provas matemáticas exigem certeza.
Mas a equipe concluiu que o aprendizado de máquina pode ajudar a detectar padrões, como o relacionamento entre dois tipos de objeto. Os matemáticos poderiam então tentar descobrir a relação precisa formulando o que eles chamam de conjectura e, então, tentando escrever uma prova rigorosa que transforma essa afirmação em uma certeza.
Como o aprendizado de máquina requer muitos dados para o treinamento, um requisito era ser capaz de calcular propriedades para um grande número de objetos: no caso de nós, a equipe calculou várias propriedades, chamadas de invariantes, para milhões de nós diferentes.
Os pesquisadores então trabalharam para descobrir qual técnica de IA seria mais útil para encontrar um padrão que ligasse duas propriedades. Uma técnica em particular, chamada de mapas de saliência, revelou-se especialmente útil. É frequentemente usado em visão computacional para identificar quais partes de uma imagem contêm as informações mais relevantes. Os mapas de saliência apontavam para as propriedades do nó que provavelmente estavam ligadas entre si e geravam uma fórmula que parecia estar correta em todos os casos que podiam ser testados. Lackenby e Juhász então forneceram uma prova rigorosa de que a fórmula se aplicava a uma classe muito grande de nós.
“O fato de os autores terem provado que esses invariantes estão relacionados, e de uma maneira notavelmente direta, nos mostra que há algo muito fundamental que ainda não entendemos totalmente”, diz Mark Brittenham, um teórico do nó no University of Nebraska ? Lincoln, que freqüentemente usa técnicas computacionais. Brittenham acrescenta que, embora o aprendizado de máquina tenha sido usado na teoria do nó antes, a técnica dos autores é nova em sua capacidade de descobrir conexões surpreendentes.
Resolvendo simetrias
Williamson se concentrou em um problema separado, em relação às simetrias. Simetrias que alternam entre conjuntos finitos de objetos têm um papel importante em vários ramos da matemática, e os matemáticos há muito as estudam usando várias ferramentas, incluindo gráficos – grandes redes abstratas ligando milhares de nós – e expressões algébricas chamadas polinômios. Por décadas, os pesquisadores suspeitaram que seria possível calcular os polinômios das redes, mas adivinhar como fazer isso parecia uma tarefa impossível, diz Williamson. “Muito rapidamente, o gráfico fica além da compreensão humana.”
Com a ajuda do computador, ele e o resto da equipe perceberam que deveria ser possível decompor o gráfico em partes menores e mais gerenciáveis, uma das quais com a estrutura de um cubo de dimensão superior. Isso deu a Williamson uma conjectura sólida para trabalhar pela primeira vez.
“Eu simplesmente fiquei surpreso com o quão poderoso esse material é”, diz Williamson. Depois que o algoritmo se concentrou em um padrão, ele foi capaz de adivinhar com precisão quais gráficos e polinômios vieram das mesmas simetrias. “A rapidez com que os modelos estavam obtendo precisão – isso para mim foi simplesmente chocante”, diz ele. “Acho que passei basicamente um ano na escuridão, apenas sentindo que os computadores sabiam de algo que eu não sabia.”
Se a conjectura de Williamson se provará verdadeira ainda é uma questão em aberto. Às vezes, as conjecturas levam muito tempo para que a comunidade matemática decifre, mas podem ajudar a moldar campos inteiros.
Aplicativos mais amplos
Ao longo do projeto, os pesquisadores tiveram que adaptar as técnicas de IA para os dois problemas matemáticos diferentes, diz Alex Davies, um cientista da computação da DeepMind. “Originalmente, não esperávamos que essas fossem as técnicas mais úteis”, diz ele.
“Qualquer área da matemática onde conjuntos de dados suficientemente grandes podem ser gerados poderia se beneficiar desta abordagem”, diz Juhász, acrescentando que as técnicas demonstradas também podem encontrar aplicações em campos como biologia ou economia.
Adam Zsolt Wagner, um matemático da Universidade de Tel Aviv, Israel, que usou o aprendizado de máquina, diz que os métodos dos autores podem ser valiosos para certos tipos de problemas. “Sem essa ferramenta, o matemático pode perder semanas ou meses tentando provar uma fórmula ou teorema que acabaria se revelando falso.” Mas ele acrescenta que não está claro quão amplo será seu impacto.
Em uma coletiva de imprensa, Davies disse a repórteres que o projeto lhe deu uma “apreciação real” pela natureza da pesquisa matemática. Aprender matemática na escola é semelhante a tocar escalas em um piano, acrescentou ele, enquanto o trabalho de matemáticos reais é mais como improvisações de jazz.
Williamson concorda que o trabalho destaca um aspecto mais emocionante da matemática do que as pessoas normalmente veem. “Como pesquisadores matemáticos, vivemos em um mundo rico em intuição e imaginação”, diz ele. “Os computadores até agora têm servido para o lado seco. A razão pela qual amo tanto este trabalho é que eles estão ajudando com o outro lado. ”
“Meu palpite pessoal é que as conjecturas geradas por computador se tornarão cada vez mais úteis para’ preencher os detalhes ‘, mas nunca substituirão a intuição e a criatividade humanas”, diz Weeks.
Publicado em 05/12/2021 06h04
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