Depois de décadas de esforço, os matemáticos agora têm uma compreensão completa das complicadas equações que modelam o movimento de fronteiras livres, como aquela entre o gelo e a água.
Coloque um cubo de gelo em um copo d’água. Você provavelmente pode imaginar como ele começa a derreter. Você também sabe que não importa a forma que assuma, você nunca o verá derreter em algo como um floco de neve, composto por toda parte de bordas afiadas e cúspides finas.
Os matemáticos modelam esse processo de fusão com equações. As equações funcionam bem, mas demorou 130 anos para provar que estão em conformidade com fatos óbvios sobre a realidade. Agora, em um artigo publicado em março, Alessio Figalli e Joaquim Serra, do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Zurique, e Xavier Ros-Oton, da Universidade de Barcelona, estabeleceram que as equações realmente correspondem à intuição. Os flocos de neve no modelo podem não ser impossíveis, mas são extremamente raros e totalmente fugazes.
“Esses resultados abrem uma nova perspectiva no campo”, disse Maria Colombo, do Instituto Federal Suíço de Tecnologia de Lausanne. “Não havia uma compreensão tão profunda e precisa desse fenômeno anteriormente.”
A questão de como o gelo derrete na água é chamada de problema de Stefan, em homenagem ao físico Josef Stefan, que a propôs em 1889. É o exemplo mais importante de um problema de “fronteira livre”, onde os matemáticos consideram um processo como a difusão de calor faz um movimento de fronteira. Nesse caso, a fronteira é entre gelo e água.
Por muitos anos, os matemáticos tentaram compreender os modelos complicados dessas fronteiras em evolução. Para progredir, o novo trabalho se inspira em estudos anteriores sobre um tipo diferente de sistema físico: filmes de sabão. Baseia-se neles para provar que ao longo da fronteira em evolução entre gelo e água, pontos pontiagudos como cúspides ou bordas raramente se formam e, mesmo quando o fazem, desaparecem imediatamente.
Esses pontos agudos são chamados de singularidades e, ao que parece, são tão efêmeros nas fronteiras livres da matemática quanto no mundo físico.
Ampulhetas Derretidas
Considere, novamente, um cubo de gelo em um copo d’água. As duas substâncias são feitas das mesmas moléculas de água, mas a água está em duas fases diferentes: sólida e líquida. Existe um limite onde as duas fases se encontram. Mas, à medida que o calor da água é transferido para o gelo, o gelo derrete e a fronteira se move. Eventualmente, o gelo – e a fronteira com ele – desaparece.
A intuição pode nos dizer que essa fronteira de fusão sempre permanece suave. Afinal, você não se corta em pontas afiadas ao puxar um pedaço de gelo de um copo d’água. Mas com um pouco de imaginação, é fácil conceber cenários onde surgem pontos agudos.
Pegue um pedaço de gelo em forma de ampulheta e mergulhe-o. À medida que o gelo derrete, a cintura da ampulheta fica cada vez mais fina até que o líquido se espalhe por completo. No momento em que isso acontece, o que antes era uma cintura lisa torna-se duas cúspides pontiagudas, ou singularidades.
“Este é um daqueles problemas que naturalmente apresentam singularidades”, disse Giuseppe Mingione, da Universidade de Parma. “É a realidade física que lhe diz isso.
No entanto, a realidade também nos diz que as singularidades são controladas. Sabemos que as cúspides não devem durar muito, porque a água quente deve derretê-las rapidamente. Talvez se você começar com um enorme bloco de gelo construído inteiramente com ampulhetas, um floco de neve possa se formar. Mas ainda não duraria mais do que um instante.
Em 1889, Stefan submeteu o problema a um escrutínio matemático, explicando duas equações que descrevem o derretimento do gelo. Uma descreve a difusão do calor da água quente para o gelo frio, que encolhe o gelo enquanto faz com que a região da água se expanda. Uma segunda equação rastreia a mudança na interface entre o gelo e a água à medida que o processo de derretimento prossegue. (Na verdade, as equações também podem descrever a situação em que o gelo é tão frio que faz com que a água ao redor congele – mas no presente trabalho, os pesquisadores ignoram essa possibilidade.)
“O importante é entender onde as duas fases decidem passar de uma para a outra”, disse Colombo.
Demorou quase 100 anos até que, na década de 1970, os matemáticos provaram que essas equações têm uma base sólida. Dadas algumas condições iniciais – uma descrição da temperatura inicial da água e a forma inicial do gelo – é possível executar o modelo indefinidamente para descrever exatamente como a temperatura (ou uma quantidade intimamente relacionada chamada de temperatura cumulativa) muda com o tempo.
Mas eles não encontraram nada que impeça o modelo de chegar a cenários que são improvávelmente estranhos. As equações podem descrever um limite de gelo-água que se forma em uma floresta de cúspides, por exemplo, ou um floco de neve afiado que permanece perfeitamente imóvel. Em outras palavras, eles não podiam descartar a possibilidade de que o modelo pudesse gerar um disparate. O problema de Stefan tornou-se um problema de mostrar que as singularidades nessas situações são, na verdade, bem controladas.
Caso contrário, significaria que o modelo de derretimento do gelo foi um fracasso espetacular – que enganou gerações de matemáticos fazendo-o acreditar que era mais sólido do que é.
Inspiração ensaboada
Na década anterior aos matemáticos começarem a entender as equações de derretimento do gelo, eles fizeram um tremendo progresso na matemática dos filmes de sabão.
Se você mergulhar dois anéis de arame em uma solução com sabão e depois separá-los, uma película de sabão se forma entre eles. A tensão superficial puxará o filme o mais tenso possível, formando-o em uma forma chamada catenóide – uma espécie de cilindro afundado. Essa forma se forma porque liga os dois anéis com a menor quantidade de área de superfície, tornando-se um exemplo do que os matemáticos chamam de superfície mínima.
Filmes de sabão são modelados por seu próprio conjunto único de equações. Na década de 1960, os matemáticos haviam feito progresso em entendê-los, mas não sabiam o quão estranhas suas soluções poderiam ser. Assim como no problema de Stefan, as soluções podem ser inaceitavelmente estranhas, descrevendo filmes de sabão com inúmeras singularidades que não são nada como os filmes suaves que esperamos.
Em 1961 e 1962, Ennio De Giorgi, Wendell Fleming e outros inventaram um processo elegante para determinar se a situação com singularidades era tão ruim quanto temida.
Suponha que você tenha uma solução para as equações do filme de sabão que descrevem a forma do filme entre duas superfícies de limite, como o conjunto de dois anéis. Concentre-se em um ponto arbitrário da superfície do filme. Qual é a aparência da geometria próxima a este ponto? Antes de sabermos qualquer coisa sobre isso, pode ter qualquer tipo de característica imaginável – qualquer coisa, desde uma cúspide acentuada a uma colina lisa. Os matemáticos desenvolveram um método para ampliar o ponto, como se tivessem um microscópio com poder infinito. Eles provaram que, conforme você aumenta o zoom, tudo o que você vê é um plano plano.
“Sempre. É isso”, disse Ros-Oton.
Essa planura implicava que a geometria próxima a esse ponto não poderia ser singular. Se o ponto estivesse localizado em uma cúspide, os matemáticos veriam algo mais como uma cunha, não um plano. E como eles escolheram o ponto aleatoriamente, eles puderam concluir que todos os pontos no filme devem parecer um plano liso quando você olha para eles de perto. O trabalho deles estabeleceu que todo o filme deve ser suave – sem ser atormentado por singularidades.
Os matemáticos queriam usar os mesmos métodos para lidar com o problema de Stefan, mas logo perceberam que com o gelo as coisas não eram tão simples. Ao contrário dos filmes de sabão, que sempre parecem lisos, o gelo derretido realmente exibe singularidades. E enquanto uma película de sabão permanece firme, a linha entre o gelo e a água está sempre em movimento. Isso representou um desafio adicional que outro matemático enfrentaria mais tarde.
Dos filmes ao gelo
Em 1977, Luis Caffarelli reinventou uma lupa matemática para o problema de Stefan. Em vez de ampliar um filme de sabão, ele descobriu como ampliar a fronteira entre gelo e água.
“Essa foi sua grande intuição”, disse Mingione. “Ele foi capaz de transportar esses métodos da teoria de superfície mínima de de Giorgi para este cenário mais geral.”
Quando os matemáticos ampliaram as soluções para as equações do filme de sabão, viram apenas planura. Mas quando Caffarelli deu um zoom na fronteira congelada entre o gelo e a água, às vezes ele via algo totalmente diferente: pontos congelados cercados quase inteiramente por água mais quente. Esses pontos correspondiam a cúspides geladas – singularidades – que ficaram presas pelo recuo da fronteira de derretimento.
Caffarelli provou que existem singularidades na matemática do gelo derretido. Ele também inventou uma maneira de estimar quantos são. No ponto exato de uma singularidade gelada, a temperatura é sempre zero grau Celsius, porque a singularidade é feita de gelo. Isso é um fato simples. Mas, notavelmente, Caffarelli descobriu que conforme você se afasta da singularidade, a temperatura aumenta em um padrão claro: se você mover uma unidade de distância de uma singularidade e entrar na água, a temperatura aumenta em aproximadamente uma unidade de temperatura. Se você mover duas unidades para longe, a temperatura aumentará cerca de quatro.
Isso é chamado de relação parabólica, porque se você representar graficamente a temperatura como uma função da distância, obterá aproximadamente a forma de uma parábola. Mas, como o espaço é tridimensional, você pode representar graficamente a temperatura em três direções diferentes, afastando-se da singularidade, não apenas em uma. A temperatura, portanto, parece uma parábola tridimensional, uma forma chamada parabolóide.
Ao todo, o insight de Caffarelli forneceu uma maneira clara de dimensionar singularidades ao longo da fronteira da água gelada. Singularidades são definidas como pontos onde a temperatura é zero graus Celsius e parabolóides descrevem a temperatura na singularidade e em torno dela. Portanto, em qualquer lugar o parabolóide é igual a zero, você tem uma singularidade.
Então, quantos lugares existem onde um parabolóide pode ser igual a zero? Imagine um parabolóide composto por uma sequência de parábolas empilhadas lado a lado. Parabolóides como esses podem assumir um valor mínimo – um valor zero – ao longo de uma linha inteira. Isso significa que cada uma das singularidades que Caffarelli observou poderia ser do tamanho de uma linha, uma borda de gelo infinitamente fina, em vez de apenas um único ponto de gelo. E uma vez que muitas linhas podem ser colocadas juntas para formar uma superfície, seu trabalho deixou em aberto a possibilidade de que um conjunto de singularidades pudesse preencher toda a superfície limite. Se isso fosse verdade, significaria que as singularidades do problema de Stefan estavam completamente fora de controle.
“Seria um desastre para a modelo. Caos completo”, disse Figalli, que ganhou a Medalha Fields, a maior homenagem da matemática, em 2018.
No entanto, o resultado de Caffarelli foi apenas o pior cenário possível. Estabeleceu o tamanho máximo das singularidades potenciais, mas não disse nada sobre a frequência com que as singularidades realmente ocorrem nas equações, ou quanto tempo elas duram. Em 2019, Figalli, Ros-Oton e Serra descobriram uma maneira notável de saber mais.
Padrões imperfeitos
Para resolver o problema de Stefan, Figalli, Ros-Oton e Serra precisavam provar que as singularidades que aparecem nas equações são controladas: não há muitas e não duram muito. Para fazer isso, eles precisavam de uma compreensão abrangente de todos os diferentes tipos de singularidades que poderiam se formar.
Caffarelli havia progredido na compreensão de como as singularidades se desenvolvem à medida que o gelo derrete, mas havia uma característica do processo que ele não sabia como abordar. Ele reconheceu que a temperatura da água em torno de uma singularidade segue um padrão parabolóide. Ele também reconheceu que não segue exatamente esse padrão – há um pequeno desvio entre um parabolóide perfeito e a aparência real da temperatura da água.
Figalli, Ros-Oton e Serra mudaram o microscópio para este desvio do padrão parabolóide. Quando eles deram um zoom nessa pequena imperfeição – um sussurro de frescor saindo da fronteira – eles descobriram que ela tinha seus próprios tipos de padrões que davam origem a diferentes tipos de singularidades.
“Eles vão além da escala parabólica”, disse Sandro Salsa, da Universidade Politécnica de Milão. “O que é incrível.”
Eles foram capazes de mostrar que todos esses novos tipos de singularidades desapareceram rapidamente – assim como na natureza – exceto por dois que eram particularmente enigmáticos. Seu último desafio era provar que esses dois tipos também desaparecem assim que aparecem, excluindo a possibilidade de que algo como um floco de neve possa durar.
Cúspides desaparecendo
O primeiro tipo de singularidade havia surgido antes, em 2000. Um matemático chamado Frederick Almgren o investigou em um intimidante jornal de 1.000 páginas sobre filmes de sabão, que só foi publicado por sua esposa, Jean Taylor – outro especialista em filmes de sabão – depois ele morreu.
Enquanto os matemáticos mostraram que os filmes de sabão são sempre lisos em três dimensões, Almgren provou que, em quatro dimensões, um novo tipo de singularidade “ramificada” pode aparecer, tornando os filmes de sabão nítidos de maneiras estranhas. Essas singularidades são profundamente abstratas e impossíveis de visualizar com clareza. No entanto, Figalli, Ros-Oton e Serra perceberam que singularidades muito semelhantes se formam ao longo da fronteira de derretimento entre o gelo e a água.
“A conexão é um pouco misteriosa”, disse Serra. “Às vezes, na matemática, as coisas se desenvolvem de maneiras inesperadas.”
Eles usaram o trabalho de Almgren para mostrar que o gelo em torno de uma dessas singularidades ramificadas deve ter um padrão cônico que parece o mesmo que você continua ampliando. E, ao contrário do padrão parabolóide para a temperatura, o que implica que uma singularidade pode existir ao longo de toda uma linha , um padrão cônico só pode ter uma singularidade nítida em um único ponto. Usando esse fato, eles mostraram que essas singularidades estão isoladas no espaço e no tempo. Assim que eles se formam, eles desaparecem.
O segundo tipo de singularidade era ainda mais misterioso. Para ter uma ideia, imagine submergir uma fina lâmina de gelo na água. Ele vai encolher e encolher e de repente desaparecer de uma vez. Mas pouco antes desse momento, ele formará uma singularidade semelhante a uma folha, uma parede bidimensional tão afiada quanto uma navalha.
Em certos pontos, os pesquisadores conseguiram dar um zoom para encontrar um cenário análogo: duas frentes de gelo colapsando em direção ao ponto como se ele estivesse situado dentro de uma fina camada de gelo. Esses pontos não eram exatamente singularidades, mas locais onde uma singularidade estava prestes a se formar. A questão era se as duas frentes próximas a esses pontos colapsaram ao mesmo tempo. Se isso acontecesse, uma singularidade em forma de folha se formaria por apenas um momento perfeito antes de desaparecer. No final, eles provaram que é assim que o cenário se desenrola nas equações.
“Isso de alguma forma confirma a intuição”, disse Daniela De Silva, do Barnard College.
Tendo mostrado que as ramificações exóticas e as singularidades em forma de folha eram raras, os pesquisadores puderam fazer a afirmação geral de que todas as singularidades para o problema de Stefan são raras.
“Se você escolher uma hora aleatoriamente, a probabilidade de ver um ponto singular é zero”, disse Ros-Oton.
Os matemáticos dizem que os detalhes técnicos da obra demoram a digerir. Mas eles estão confiantes de que os resultados estabelecerão as bases para avanços em vários outros problemas. O problema de Stefan é um exemplo fundamental para todo um subcampo da matemática onde os limites se movem. Mas quanto ao problema de Stefan em si, e a matemática de como cubos de gelo derretem na água?
“Este está fechado”, disse Salsa.
Publicado em 11/10/2021 01h52
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