Originalmente concebida como um meio rigoroso de contagem de furos, a homologia fornece uma estrutura para ideias matemáticas, permitindo uma nova maneira de analisar as formas dentro dos dados.
A princípio, a topologia pode parecer um ramo incomumente impreciso da matemática. É o estudo de formatos de massinha fofa, capazes de dobrar, esticar e comprimir sem limites. Mas os topologistas têm algumas restrições: eles não podem criar ou destruir buracos nas formas. (É uma velha piada que os topologistas não sabem a diferença entre uma caneca de café e um donut, já que ambos têm um buraco.) Embora isso possa parecer muito distante dos rigores da álgebra, uma ideia poderosa chamada homologia ajuda os matemáticos conecte esses dois mundos.
A palavra “buraco” tem muitos significados na linguagem cotidiana – bolhas, elásticos e tigelas têm diferentes tipos de buracos. Os matemáticos estão interessados em detectar um tipo específico de buraco, que pode ser descrito como um espaço fechado e vazio. Um orifício unidimensional parece um elástico. A linha ondulada que forma um elástico é fechada (ao contrário de um pedaço de barbante solto) e oca (ao contrário do perímetro de uma moeda).
Estendendo essa lógica, um buraco bidimensional parece uma bola oca. Os tipos de buracos que os matemáticos procuram – fechados e ocos – são encontrados nas bolas de basquete, mas não em tigelas ou bolas de boliche.
Mas a matemática trafega no rigor e, embora pensar em buracos dessa forma possa ajudar a apontar nossa intuição para elásticos e bolas de basquete, não é preciso o suficiente para ser qualificado como uma definição matemática. Não descreve claramente furos em dimensões superiores, por exemplo, e você não poderia programar um computador para distinguir espaços fechados e vazios.
“Não há uma boa definição de buraco”, disse Jose Perea, da Michigan State University.
Então, em vez disso, a homologia infere os buracos de um objeto a partir de seus limites, um conceito matemático mais preciso. Para estudar os buracos em um objeto, os matemáticos precisam apenas de informações sobre seus limites.
O limite de uma forma é a coleção dos pontos em sua periferia, e o limite de uma forma é sempre uma dimensão menor do que a própria forma. Por exemplo, o limite de um segmento de linha unidimensional consiste em dois pontos em cada extremidade. (Os pontos são considerados dimensionais zero.) O limite de um triângulo sólido é o triângulo oco, que consiste em arestas unidimensionais. Da mesma forma, a pirâmide sólida é delimitada por uma pirâmide oca.
Se você unir dois segmentos de linha, os pontos de fronteira onde eles se encontram desaparecem. Os pontos de limite são como a borda de um penhasco – eles estão perto de cair da linha. Mas quando você conecta as linhas, os pontos que estavam nas bordas agora estão seguramente no centro. Separadamente, as duas linhas tinham quatro pontos de limite totais, mas quando elas estão coladas, a forma resultante tem apenas dois pontos de limite.
Se você puder anexar uma terceira aresta e fechar a estrutura, criando um triângulo oco, os pontos de limite desaparecerão completamente. Cada ponto limite das arestas do componente é cancelado com outro e o triângulo vazio é deixado sem limite. Portanto, sempre que uma coleção de linhas forma um loop, os limites são cancelados.
Os loops circulam sobre si mesmos, envolvendo uma região central. Mas a alça só forma um buraco se a região central for oca, como acontece com um elástico. Um círculo desenhado em um papel forma um loop, mas não é um buraco porque o centro é preenchido. Loops que envolvem uma região sólida – o tipo sem buraco – são o limite dessa região bidimensional.
Portanto, os furos têm duas características importantes e rigorosas. Primeiro, um buraco não tem limite, porque tem uma forma fechada. E, em segundo lugar, um buraco não é o limite de outra coisa, porque o próprio buraco deve ser oco.
Esta definição pode se estender a dimensões superiores. Um triângulo sólido bidimensional é delimitado por três arestas. Se você anexar vários triângulos, algumas arestas de limite desaparecem. Quando quatro triângulos são organizados em uma pirâmide, cada uma das arestas se anula com a outra. Portanto, as paredes de uma pirâmide não têm limites. Se essa pirâmide for oca – isto é, não é o limite de um bloco sólido tridimensional – então ela forma um buraco bidimensional.
Para encontrar todos os tipos de orifícios dentro de uma forma topológica específica, os matemáticos constroem algo chamado complexo de cadeia, que forma o andaime da homologia.
Muitas formas topológicas podem ser construídas colando peças de diferentes dimensões. O complexo da cadeia é um diagrama que fornece as instruções de montagem de uma forma. As peças individuais da forma são agrupadas por dimensão e, em seguida, organizadas hierarquicamente: o primeiro nível contém todos os pontos, o próximo nível contém todas as linhas e assim por diante. (Há também um nível zero vazio, que simplesmente serve como base.) Cada nível é conectado ao nível abaixo por setas, que indicam como eles são colados. Por exemplo, um triângulo sólido está vinculado às três arestas que formam seu limite.
Os matemáticos extraem a homologia de uma forma de seu complexo de cadeia, que fornece dados estruturados sobre as partes componentes da forma e seus limites – exatamente o que você precisa para descrever os buracos em cada dimensão. Quando você usa o complexo de cadeia, os processos para encontrar um orifício de 10 dimensões e um orifício de uma dimensão são quase idênticos (exceto que um é muito mais difícil de visualizar do que o outro).
A definição de homologia é rígida o suficiente para que um computador possa usá-la para encontrar e contar buracos, o que ajuda a estabelecer o rigor normalmente exigido em matemática. Também permite que os pesquisadores usem a homologia para uma busca cada vez mais popular: a análise de dados.
Isso porque os dados podem ser visualizados como pontos flutuando no espaço. Esses pontos de dados podem representar a localização de objetos físicos, como sensores, ou posições em um espaço abstrato, como uma descrição de preferências alimentares, com pontos próximos indicando pessoas que têm um paladar semelhante.
Para formar formas a partir de dados, os matemáticos desenham linhas entre os pontos vizinhos. Quando três pontos estão próximos, eles são preenchidos para formar um triângulo sólido. Quando um grande número de pontos são agrupados, eles formam formas mais complicadas e de dimensões mais altas. Preencher os pontos de dados dá-lhes textura e volume – cria uma imagem a partir dos pontos.
A homologia traduz este mundo de formas vagas no mundo rigoroso da álgebra, um ramo da matemática que estuda estruturas numéricas e simetrias particulares. Os matemáticos estudam as propriedades dessas estruturas algébricas em um campo conhecido como álgebra homológica. Da álgebra, eles aprendem indiretamente informações sobre a forma topológica original dos dados. A homologia vem em muitas variedades, todas relacionadas com a álgebra.
“A homologia é uma construção familiar. Temos muitas coisas algébricas que sabemos sobre isso”, disse Maggie Miller, do Massachusetts Institute of Technology.
A informação fornecida pela homologia ainda explica a imprecisão dos dados: se os dados mudarem ligeiramente, o número de lacunas deve permanecer o mesmo. E quando grandes quantidades de dados são processadas, os furos podem revelar características importantes. Por exemplo, loops em dados que variam no tempo podem indicar periodicidade. Furos em outras dimensões podem mostrar clusters e vazios nos dados.
“Há um ímpeto real em ter métodos robustos e que extraiam recursos qualitativos”, disse Robert Ghrist, da Universidade da Pensilvânia. “Isso é o que a homologia lhe dá.”
Publicado em 07/07/2021 09h01
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