Em três artigos gigantescos, uma equipe de matemáticos elaborou os detalhes da teoria quântica de campos de Liouville, um modelo bidimensional da gravidade quântica.
Alexander Polyakov, um físico teórico agora na Universidade de Princeton, teve um vislumbre do futuro da teoria quântica em 1981. Uma série de mistérios, desde o mexer de cordas até a ligação de quarks em prótons, exigia uma nova ferramenta matemática cuja silhueta ele vislumbrava.
“Existem métodos e fórmulas na ciência que servem como chaves mestras para muitos problemas aparentemente diferentes”, escreveu ele na introdução de uma carta de quatro páginas agora famosa em Physics Letters B. “No momento, temos que desenvolver uma arte de lidar com somas em superfícies aleatórias. ”
A proposta de Polyakov provou ser poderosa. Em seu artigo, ele esboçou uma fórmula que descrevia aproximadamente como calcular as médias de um tipo de superfície descontroladamente caótico, o “campo de Liouville”. Seu trabalho trouxe os físicos para uma nova arena matemática, essencial para desvendar o comportamento de objetos teóricos chamados cordas e construir um modelo simplificado de gravidade quântica.
Anos de labuta levariam Polyakov a soluções inovadoras para outras teorias da física, mas ele nunca entendeu totalmente a matemática por trás do campo de Liouville.
Nos últimos sete anos, porém, um grupo de matemáticos fez o que muitos pesquisadores consideraram impossível. Em uma trilogia de publicações marcantes, eles reformularam a fórmula de Polyakov usando uma linguagem matemática totalmente rigorosa e provaram que o campo de Liouville modela perfeitamente os fenômenos que Polyakov pensava que existiriam.
“Levamos 40 anos em matemática para dar sentido a quatro páginas”, disse Vincent Vargas, matemático do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica e co-autor da pesquisa com Rémi Rhodes da Universidade Aix-Marseille, Antti Kupiainen do Universidade de Helsinque, François David do Centro Nacional Francês de Pesquisa Científica e Colin Guillarmou da Universidade Paris-Saclay.
Os três artigos criam uma ponte entre o mundo primitivo da matemática e a realidade confusa da física – e eles fazem isso abrindo novos caminhos no campo matemático da teoria da probabilidade. O trabalho também aborda questões filosóficas sobre os objetos que ocupam o centro do palco nas principais teorias da física fundamental: os campos quânticos.
“Esta é uma obra-prima da física matemática”, disse Xin Sun, um matemático da Universidade da Pensilvânia.
Campos infinitos
Na física de hoje, os principais atores nas teorias mais bem-sucedidas são os campos – objetos que preenchem o espaço, assumindo valores diferentes de um lugar para outro.
Na física clássica, por exemplo, um único campo diz tudo sobre como uma força empurra os objetos. Veja o campo magnético da Terra: as contrações da agulha de uma bússola revelam a influência do campo (sua força e direção) em todos os pontos do planeta.
Os campos também são fundamentais para a física quântica. No entanto, a situação aqui é mais complicada devido à profunda aleatoriedade da teoria quântica. Do ponto de vista quântico, a Terra não gera um campo magnético, mas sim um número infinito de campos diferentes. Alguns se parecem quase com o campo que observamos na física clássica, mas outros são totalmente diferentes.
Mas os físicos ainda querem fazer previsões – previsões que correspondem idealmente, neste caso, ao que um montanhista lê em uma bússola. Assimilar as formas infinitas de um campo quântico em uma única previsão é a tarefa formidável de uma “teoria de campo quântico” ou QFT. Este é um modelo de como um ou mais campos quânticos, cada um com suas infinitas variações, agem e interagem.
Impulsionados por um imenso suporte experimental, os QFTs se tornaram a linguagem básica da física de partículas. O modelo padrão é um desses QFT, representando partículas fundamentais como elétrons como saliências difusas que emergem de uma infinidade de campos de elétrons. Ele passou em todos os testes experimentais até agora (embora vários grupos possam estar prestes a encontrar os primeiros buracos).
Os físicos jogam com muitos QFTs diferentes. Alguns, como o Modelo Padrão, aspiram a modelar partículas reais movendo-se através das quatro dimensões de nosso universo (três dimensões espaciais mais uma dimensão de tempo). Outros descrevem partículas exóticas em universos estranhos, de planícies bidimensionais a supermundos de seis dimensões. Sua conexão com a realidade é remota, mas os físicos os estudam na esperança de obter insights que possam levar para o nosso próprio mundo.
A teoria de campo de Liouville de Polyakov é um exemplo.
Campo Gravitacional
O campo de Liouville, que é baseado em uma equação de análise complexa desenvolvida em 1800 pelo matemático francês Joseph Liouville, descreve uma superfície bidimensional completamente aleatória – isto é, uma superfície, como a crosta terrestre, mas na qual a altura de cada ponto é escolhido aleatoriamente. Tal planeta entraria em erupção com cadeias de montanhas de picos infinitamente altos, cada um determinado pelo lançamento de um dado com faces infinitas.
Esse objeto pode não parecer um modelo informativo para a física, mas a aleatoriedade não é desprovida de padrões. A curva do sino, por exemplo, informa a probabilidade de você ultrapassar aleatoriamente um jogador de basquete de 2,10 metros na rua. Da mesma forma, nuvens bulbosas e linhas costeiras enrugadas seguem padrões aleatórios, mas, no entanto, é possível discernir relações consistentes entre suas características de grande e pequena escala.
A teoria de Liouville pode ser usada para identificar padrões na paisagem infinita de todas as superfícies irregulares e aleatórias possíveis. Polyakov percebeu que essa topografia caótica era essencial para modelar cordas, que traçam superfícies à medida que se movem. A teoria também foi aplicada para descrever a gravidade quântica em um mundo bidimensional. Einstein definiu a gravidade como a curvatura do espaço-tempo, mas traduzir sua descrição para a linguagem da teoria quântica de campos cria um número infinito de espaços-tempos – assim como a Terra produz uma coleção infinita de campos magnéticos. A teoria de Liouville empacota todas essas superfícies juntas em um objeto. Ele dá aos físicos as ferramentas para medir a curvatura – e, portanto, a gravitação – em cada local em uma superfície 2D aleatória.
“Gravidade quântica significa basicamente geometria aleatória, porque quantum significa aleatório e gravidade significa geometria”, disse Sun.
O primeiro passo de Polyakov para explorar o mundo das superfícies aleatórias foi escrever uma expressão definindo as chances de encontrar um planeta pontiagudo específico, assim como a curva do sino define as chances de encontrar alguém de uma altura específica. Mas sua fórmula não levou a previsões numéricas úteis.
Resolver uma teoria quântica de campo é ser capaz de usar o campo para prever observações. Na prática, isso significa calcular as “funções de correlação” de um campo, que capturam o comportamento do campo ao descrever a extensão em que uma medição do campo em um ponto se relaciona, ou se correlaciona, com uma medição em outro ponto. Calcular funções de correlação no campo de fótons, por exemplo, pode fornecer as leis de livro do eletromagnetismo quântico.
Polyakov estava atrás de algo mais abstrato: a essência das superfícies aleatórias, semelhantes às relações estatísticas que transformam uma nuvem em uma nuvem ou um litoral em um litoral. Ele precisava das correlações entre as alturas aleatórias do campo de Liouville. Ao longo das décadas, ele tentou duas maneiras diferentes de calculá-los. Ele começou com uma técnica chamada integral de caminho de Feynman e acabou desenvolvendo uma solução alternativa conhecida como bootstrap. Ambos os métodos falharam de maneiras diferentes, até que os matemáticos por trás do novo trabalho os uniram em uma formulação mais precisa.
Adicionar em cima
Você pode imaginar que explicar as infinitas formas que um campo quântico pode assumir é quase impossível. E você estaria certo. Na década de 1940, Richard Feynman, um pioneiro da física quântica, desenvolveu uma receita para lidar com essa situação desconcertante, mas o método se mostrou severamente limitado.
Considere, novamente, o campo magnético da Terra. Seu objetivo é usar a teoria quântica de campo para prever o que você observará quando fizer uma leitura de bússola em um local específico. Para fazer isso, Feynman propôs somar todas as formas do campo. Ele argumentou que sua leitura representará alguma média de todas as formas possíveis do campo. O procedimento para somar essas configurações de campo infinito com a ponderação adequada é conhecido como integral de caminho de Feynman.
É uma ideia elegante que produz respostas concretas apenas para campos quânticos selecionados. Nenhum procedimento matemático conhecido pode fazer uma média significativa de um número infinito de objetos cobrindo uma extensão infinita do espaço em geral. A integral do caminho é mais uma filosofia da física do que uma receita matemática exata. Os matemáticos questionam sua própria existência como uma operação válida e se incomodam com a maneira como os físicos confiam nela.
“Como matemática, estou perturbada por algo que não está definido”, disse Eveliina Peltola, matemática da Universidade de Bonn, na Alemanha.
Os físicos podem aproveitar a integral do caminho de Feynman para calcular funções de correlação exatas apenas para os campos mais enfadonhos – campos livres, que não interagem com outros campos ou mesmo com eles próprios. Caso contrário, eles têm que falsificá-lo, fingindo que os campos estão livres e adicionando interações suaves, ou “perturbações”. Este procedimento, conhecido como teoria de perturbação, obtém funções de correlação para a maioria dos campos do Modelo Padrão, porque as forças da natureza são bastante fracas.
Mas não funcionou para Polyakov. Embora ele inicialmente tenha especulado que o campo de Liouville pode ser receptivo ao hack padrão de adição de perturbações leves, ele descobriu que interagia com ele mesmo muito fortemente. Comparado a um campo livre, o campo de Liouville parecia matematicamente inescrutável e suas funções de correlação pareciam inatingíveis.
Up by the Bootstraps
Polyakov logo começou a procurar uma solução alternativa. Em 1984, ele se juntou a Alexander Belavin e Alexander Zamolodchikov para desenvolver uma técnica chamada bootstrap – uma escada matemática que gradualmente leva às funções de correlação de um campo.
Para começar a subir a escada, você precisa de uma função que expresse as correlações entre as medições em apenas três pontos no campo. Esta “função de correlação de três pontos”, mais algumas informações adicionais sobre as energias que uma partícula do campo pode assumir, forma o degrau inferior da escada de bootstrap.
De lá, você escala um ponto de cada vez: use a função de três pontos para construir a função de quatro pontos, use a função de quatro pontos para construir a função de cinco pontos e assim por diante. Mas o procedimento gera resultados conflitantes se você começar com a função de correlação de três pontos errada na primeira linha.
Polyakov, Belavin e Zamolodchikov usaram o bootstrap para resolver com sucesso uma variedade de teorias QFT simples, mas assim como com a integral de caminho de Feynman, eles não conseguiram fazer funcionar para o campo de Liouville.
Então, na década de 1990, dois pares de físicos – Harald Dorn e Hans-Jörg Otto, e Zamolodchikov e seu irmão Alexei – conseguiram atingir a função de correlação de três pontos que tornou possível escalar a escada, resolvendo completamente o campo de Liouville (e sua descrição simples da gravidade quântica). Seu resultado, conhecido por suas iniciais como fórmula DOZZ, permitiu que os físicos fizessem qualquer previsão envolvendo o campo de Liouville. Mas mesmo os autores sabiam que haviam chegado a isso parcialmente por acaso, não por meio de matemática sólida.
“Eles eram esse tipo de gênios que adivinhavam fórmulas”, disse Vargas.
Suposições educadas são úteis em física, mas não satisfazem os matemáticos, que depois queriam saber de onde veio a fórmula DOZZ. A equação que resolveu o campo de Liouville deveria ter vindo de alguma descrição do próprio campo, mesmo que ninguém tivesse a menor idéia de como obtê-lo.
“Parecia-me ficção científica”, disse Kupiainen. “Isso nunca será provado por ninguém.”
Domando superfícies selvagens
No início da década de 2010, Vargas e Kupiainen uniram forças com o teórico da probabilidade Rémi Rhodes e o físico François David. O objetivo deles era amarrar as pontas soltas matemáticas do campo de Liouville – formalizar a integral do caminho de Feynman que Polyakov havia abandonado e, talvez, desmistificar a fórmula DOZZ.
Quando começaram, perceberam que um matemático francês chamado Jean-Pierre Kahane havia descoberto, décadas antes, o que viria a ser a chave para a teoria mestra de Polyakov.
“Em certo sentido, é completamente louco que Liouville não tenha sido definida antes de nós”, disse Vargas. “Todos os ingredientes estavam lá.”
O insight levou a três trabalhos importantes em física matemática concluídos entre 2014 e 2020.
Eles primeiro eliminaram a integral de caminho, que falhou em Polyakov porque o campo de Liouville interage fortemente com ele mesmo, tornando-o incompatível com as ferramentas perturbativas de Feynman. Então, em vez disso, os matemáticos usaram as ideias de Kahane para remodelar o campo selvagem de Liouville como um objeto aleatório um pouco mais suave conhecido como campo livre gaussiano. Os picos no campo livre gaussiano não flutuam para os mesmos extremos aleatórios que os picos no campo de Liouville, tornando possível para os matemáticos calcularem médias e outras medidas estatísticas de maneiras razoáveis.
“De alguma forma, tudo é apenas usando o campo livre gaussiano”, disse Peltola. “A partir disso, eles podem construir tudo na teoria.”
Em 2014, eles revelaram seu resultado: uma versão nova e aprimorada da integral de caminho que Polyakov havia escrito em 1981, mas totalmente definida em termos do campo livre gaussiano confiável. É um raro caso em que a filosofia integral do caminho de Feynman encontrou uma execução matemática sólida.
“Integrais de caminho podem existir, existem”, disse Jörg Teschner, um físico do Síncrotron Eletrônico Alemão.
Com uma integral de caminho rigorosamente definida em mãos, os pesquisadores tentaram ver se poderiam usá-la para obter respostas do campo de Liouville e derivar suas funções de correlação. O alvo era a fórmula DOZZ mítica – mas o abismo entre ela e a integral do caminho parecia vasto.
“Escreveríamos em nossos jornais, apenas por motivos de propaganda, que queremos entender a fórmula DOZZ”, disse Kupiainen.
A equipe passou anos estimulando seu caminho probabilístico integral, confirmando que ele realmente tinha todos os recursos necessários para fazer o bootstrap funcionar. Ao fazer isso, eles desenvolveram trabalhos anteriores de Teschner. Eventualmente, Vargas, Kupiainen e Rhodes tiveram sucesso com um artigo publicado em 2017 e outro em outubro de 2020, com Colin Guillarmou. Eles derivaram DOZZ e outras funções de correlação da integral de caminho e mostraram que essas fórmulas correspondiam perfeitamente às equações que os físicos alcançaram usando o bootstrap.
“Agora terminamos”, disse Vargas. “Ambos os objetos são iguais.”
O trabalho explica as origens da fórmula DOZZ e conecta o procedimento de bootstrap – que os matemáticos consideraram incompleto – com objetos matemáticos verificados. Ao todo, ele resolve os mistérios finais do campo de Liouville.
“É de alguma forma o fim de uma era”, disse Peltola. “Mas espero que seja também o início de algumas coisas novas e interessantes.”
Nova esperança para QFTs
Vargas e seus colaboradores agora têm um unicórnio em suas mãos, um QFT de interação forte perfeitamente descrito de uma forma não perturbativa por uma breve fórmula matemática que também faz previsões numéricas.
Agora, a pergunta literal de um milhão de dólares é: até onde podem ir esses métodos probabilísticos? Eles podem gerar fórmulas organizadas para todos os QFTs? Vargas rapidamente frustra tais esperanças, insistindo que suas ferramentas são específicas para o ambiente bidimensional da teoria de Liouville. Em dimensões superiores, mesmo os campos livres são muito irregulares, então ele duvida que os métodos do grupo algum dia serão capazes de lidar com o comportamento quântico dos campos gravitacionais em nosso universo.
Mas a nova cunhagem da “chave mestra” de Polyakov abrirá outras portas. Seus efeitos já estão sendo sentidos na teoria da probabilidade, onde os matemáticos podem agora usar fórmulas da física anteriormente duvidosas com impunidade. Encorajado pelo trabalho de Liouville, Sun e seus colaboradores já importaram equações da física para resolver dois problemas relativos a curvas aleatórias.
Os físicos também aguardam benefícios tangíveis no futuro. A construção rigorosa do campo de Liouville pode inspirar matemáticos a tentarem provar características de outros QFTs aparentemente intratáveis – não apenas teorias de gravidade de brinquedo, mas descrições de partículas reais e forças que afetam diretamente os segredos físicos mais profundos da realidade.
“[Matemáticos] farão coisas que nem podemos imaginar”, disse Davide Gaiotto, físico teórico do Perimeter Institute.
Publicado em 19/06/2021 14h44
Artigo original:
Estudo original:
- https://arxiv.org/abs/1410.7318
- https://arxiv.org/abs/2005.11530
- https://arxiv.org/abs/1707.08785
- https://arxiv.org/abs/2104.09477