Considerada há muito resolvida, a pergunta de David Hilbert sobre polinômios de sétimo grau está levando os pesquisadores a uma nova teia de conexões matemáticas.
O sucesso é raro em matemática. Basta perguntar a Benson Farb.
“A parte difícil sobre matemática é que você está reprovando 90% das vezes e precisa ser o tipo de pessoa que pode reprovar 90% das vezes”, disse Farb certa vez em um jantar. Quando outro convidado, também um matemático, expressou surpresa por ter obtido sucesso em 10% das vezes, ele rapidamente admitiu: “Não, não, não, eu estava exagerando minha taxa de sucesso. Muito. ”
Farb, um topologista da Universidade de Chicago, não poderia estar mais feliz com seu último fracasso – embora, para ser justo, não seja só dele. Trata-se de um problema que, curiosamente, está resolvido e não resolvido, fechado e aberto.
O problema era o 13º de 23 problemas matemáticos então não resolvidos que o matemático alemão David Hilbert, na virada do século 20, previu que moldariam o futuro do campo. O problema levanta uma questão sobre a resolução de equações polinomiais de sétimo grau. O termo “polinomial” significa uma cadeia de termos matemáticos – cada um composto de coeficientes numéricos e variáveis elevados a potências – conectados por meio de adição e subtração. “Sétimo grau” significa que o maior expoente na string é 7.
Os matemáticos já têm receitas engenhosas e eficientes para resolver equações de segundo, terceiro e até um grau de quarto grau. Essas fórmulas – como a conhecida fórmula quadrática para o grau 2 – envolvem operações algébricas, significando apenas aritmética e radicais (raízes quadradas, por exemplo). Mas quanto mais alto o expoente, mais espinhosa se torna a equação, e resolvê-la se aproxima da impossibilidade. O 13º problema de Hilbert pergunta se as equações de sétimo grau podem ser resolvidas usando uma composição de adição, subtração, multiplicação e divisão mais funções algébricas de duas variáveis, tops.
Universidade de Göttingen
A resposta provavelmente é não. Mas, para Farb, a questão não é apenas resolver um tipo complicado de equação algébrica. O 13º de Hilbert é um dos problemas abertos mais fundamentais em matemática, disse ele, porque provoca questões profundas: quão complicados são os polinômios, e como medimos isso? “Uma grande parte da matemática moderna foi inventada para entender as raízes dos polinômios”, disse Farb.
O problema levou ele e o matemático Jesse Wolfson da Universidade da Califórnia em Irvine a uma toca de coelho matemática, cujos túneis eles ainda estão explorando. Eles também redigiram Mark Kisin, um teórico dos números na Universidade de Harvard e um velho amigo de Farb, para ajudá-los a escavar.
Eles ainda não resolveram o 13º problema de Hilbert e provavelmente não estão nem perto disso, Farb admitiu. Mas eles descobriram estratégias matemáticas que haviam praticamente desaparecido e exploraram as conexões entre o problema e uma variedade de campos, incluindo análise complexa, topologia, teoria dos números, teoria da representação e geometria algébrica. Ao fazer isso, eles fizeram suas próprias incursões, especialmente ao conectar polinômios à geometria e estreitar o campo de possíveis respostas à pergunta de Hilbert. Seu trabalho também sugere uma maneira de classificar polinômios usando métricas de complexidade – análoga às classes de complexidade associadas ao P não resolvido vs. Problema NP.
“Eles realmente conseguiram extrair da questão uma versão mais interessante” do que as estudadas anteriormente, disse Daniel Litt, um matemático da Universidade da Geórgia. “Eles estão alertando a comunidade matemática para muitas questões naturais e interessantes.”
Abra e feche e abra novamente
Muitos matemáticos já achavam que o problema estava resolvido. Isso porque um prodígio soviético chamado Vladimir Arnold e seu mentor, Andrey Nikolyevich Kolmogorov, publicaram provas disso no final dos anos 1950. Para a maioria dos matemáticos, o trabalho de Arnold-Kolmogorov fechou o livro. Até a Wikipedia – não uma fonte definitiva, mas um proxy razoável para conhecimento público – até recentemente declarou o caso encerrado.
Svetlana Tretyakova
Mas, cinco anos atrás, Farb encontrou algumas linhas tentadoras em um ensaio de Arnold, no qual o famoso matemático refletia sobre seu trabalho e carreira. Farb ficou surpreso ao ver que Arnold descreveu o 13º problema de Hilbert como aberto e passou quatro décadas tentando resolver o problema que ele supostamente já havia vencido.
“Há todos esses papéis que literalmente repetem que foi resolvido. Eles claramente não tinham compreensão do problema real”, disse Farb. Ele já estava trabalhando com Wolfson, então um pesquisador de pós-doutorado, em um projeto de topologia, e quando ele compartilhou o que havia encontrado no artigo de Arnold, Wolfson entrou na conversa. Em 2017, durante um seminário celebrando o 50º aniversário de Farb, Kisin ouviu a palestra de Wolfson e percebeu com surpresa que suas ideias sobre polinômios estavam relacionadas a questões em seu próprio trabalho na teoria dos números. Eu me juntei à colaboração.
O motivo da confusão sobre o problema logo ficou claro: Kolmogorov e Arnold haviam resolvido apenas uma variante do problema. Sua solução envolveu o que os matemáticos chamam de funções contínuas, que são funções sem descontinuidades abruptas ou cúspides. Eles incluem operações familiares como funções seno, cosseno e exponencial, bem como outras mais exóticas.
Mas os pesquisadores discordam sobre se Hilbert estava interessado nesta abordagem. “Muitos matemáticos acreditam que Hilbert realmente quis dizer funções algébricas, não funções contínuas”, disse Zinovy Reichstein, um matemático da Universidade de British Columbia. Farb e Wolfson têm trabalhado no problema que acreditam que Hilbert pretendia desde a descoberta.
O 13º de Hilbert, disse Farb, é um caleidoscópio. “Você abre essa coisa e, quanto mais você investe, mais novas direções e ideias você obtém”, disse ele. “Isso abre a porta para uma série inteira, toda essa bela teia de matemática.”
As raízes da matéria
Os matemáticos têm investigado polinômios desde que a matemática existe. Tábuas de pedra esculpidas há mais de 3.000 anos mostram que os antigos matemáticos da Babilônia usavam uma fórmula para resolver polinômios de segundo grau – um antepassado cuneiforme da mesma fórmula quadrática que os alunos de álgebra aprendem hoje. Essa fórmula, x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a, explica como encontrar as raízes, ou os valores de x que tornam uma expressão igual a zero, do polinômio de segundo grau ax2 + bx + c.
Com o tempo, os matemáticos naturalmente se perguntaram se essas fórmulas claras existiam para polinômios de grau superior. “A história multi-milenar desse problema é voltar a algo tão poderoso, simples e eficaz”, disse Wolfson.
Quanto mais altos os polinômios crescem em grau, mais pesados eles se tornam. Em seu livro Ars Magna de 1545, o polímata italiano Gerolamo Cardano publicou fórmulas para encontrar as raízes de polinômios cúbicos (terceiro grau) e quárticos (quarto grau).
As raízes de um polinômio cúbico escrito ax3 + bx2 + cx + d = 0 podem ser encontradas usando esta fórmula:
A fórmula quártica é ainda pior.
“À medida que aumentam de grau, aumentam de complexidade; eles formam uma torre de complexidades”, disse Curt McMullen, de Harvard. “Como podemos capturar essa torre de complexidades?”
O matemático italiano Paolo Ruffini argumentou em 1799 que polinômios de grau 5 ou superior não podiam ser resolvidos usando aritmética e radicais; o norueguês Niels Henrik Abel provou isso em 1824. Em outras palavras, não pode haver uma “fórmula quíntica” semelhante. Felizmente, surgiram outras ideias que sugeriram caminhos a seguir para polinômios de alto grau, que poderiam ser simplificados por meio da substituição. Por exemplo, em 1786, um advogado sueco chamado Erland Bring mostrou que qualquer equação polinomial quíntica da forma ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0 poderia ser reequipada como px5 + qx + 1 = 0 (onde p e q são números complexos determinados por a, b, c, d, e e f). Isso apontou para novas maneiras de abordar as regras inerentes, mas ocultas, dos polinômios.
No século 19, William Rowan Hamilton continuou de onde Bring e outros haviam parado. Ele mostrou, entre outras coisas, que para encontrar as raízes de qualquer equação polinomial de sexto grau, você só precisa das operações aritméticas usuais, algumas raízes quadradas e cúbicas, e uma fórmula algébrica que depende de apenas dois parâmetros.
Em 1975, o algebraist americano Richard Brauer em Harvard introduziu a ideia de “grau resolvente”, que descreve o menor número de termos necessários para representar o polinômio de algum grau. (Menos de um ano depois, Arnold e o teórico dos números japonês Goro Shimura introduziram quase a mesma definição em outro artigo.)
Na estrutura de Brauer, que representou a primeira tentativa de codificar as regras de tais substituições, o 13º problema de Hilbert nos pergunta se é possível que polinômios de sétimo grau tenham um grau de resolução menor que 3; Mais tarde, fiz conjecturas semelhantes sobre polinômios de sexto e oitavo graus.
Mas essas questões também invocam uma questão mais ampla: Qual é o menor número de parâmetros que você precisa para encontrar as raízes de qualquer polinômio? Quão baixo você pode ir?
Pensando Visualmente
Uma maneira natural de abordar essa questão é pensar sobre a aparência dos polinômios. Um polinômio pode ser escrito como uma função – f (x) = x2 – 3x + 1, por exemplo – e essa função pode ser representada graficamente. Então, encontrar as raízes torna-se uma questão de reconhecer que, onde a função tem valor 0, a curva cruza o eixo x.
Polinômios de alto grau dão origem a figuras mais complicadas. Funções polinomiais de terceiro grau com três variáveis, por exemplo, produzem superfícies suaves, mas tortuosas, embutidas em três dimensões. E, novamente, sabendo para onde olhar essas figuras, os matemáticos podem aprender mais sobre sua estrutura polinomial subjacente.
Como resultado, muitos esforços para entender polinômios tomam emprestado da geometria algébrica e topologia, campos matemáticos que se concentram no que acontece quando formas e figuras são projetadas, deformadas, comprimidas, esticadas ou de outra forma transformadas sem quebrar. “Henri Poincaré basicamente inventou o campo da topologia e disse explicitamente que estava fazendo isso para entender as funções algébricas”, disse Farb. “Na época, as pessoas estavam realmente lutando contra essas conexões fundamentais.”
O próprio Hilbert descobriu uma conexão particularmente notável ao aplicar a geometria ao problema. Quando ele enumerou seus problemas em 1900, os matemáticos tinham uma vasta gama de truques para reduzir os polinômios, mas ainda não podiam fazer progresso. Em 1927, entretanto, Hilbert descreveu um novo truque. Ele começou identificando todas as maneiras possíveis de simplificar os polinômios de nono grau e encontrou dentro deles uma família de superfícies cúbicas especiais.
Hilbert já sabia que toda superfície cúbica lisa – uma forma sinuosa definida por polinômios de terceiro grau – contém exatamente 27 linhas retas, não importa o quão emaranhada pareça. (Essas linhas mudam conforme os coeficientes dos polinômios mudam.) Ele percebeu que, se conhecesse uma dessas linhas, poderia simplificar o polinômio de nono grau para encontrar suas raízes. A fórmula exigia apenas quatro parâmetros; em termos modernos, isso significa que o grau de resolução é no máximo 4.
“O incrível insight de Hilbert foi que este milagre da geometria – de um mundo completamente diferente – poderia ser aproveitado para reduzir o [grau de resolução] para 4”, disse Farb.
Em direção a uma teia de conexões
Quando Kisin ajudou Farb e Wolfson a conectar os pontos, eles perceberam que a suposição generalizada de que o 13º de Hilbert foi resolvido tinha essencialmente fechado o interesse em uma abordagem geométrica para o grau de resolução. Em janeiro de 2020, Wolfson publicou um artigo revivendo a ideia, estendendo o trabalho geométrico de Hilbert sobre polinômios de nono grau para uma teoria mais geral.
Hilbert se concentrou em superfícies cúbicas para resolver polinômios de nono grau em uma variável. Mas e quanto aos polinômios de alto grau? Para resolvê-los de maneira semelhante, pensou Wolfson, você poderia substituir essa superfície cúbica por alguma “hipersuperfície” de dimensão superior formada por esses polinômios de grau superior em muitas variáveis. A geometria deles é menos compreendida, mas nas últimas décadas os matemáticos conseguiram provar que as hipersuperfícies sempre têm linhas em alguns casos.
Greg Egan
A ideia de Hilbert de usar uma linha em uma superfície cúbica para resolver um polinômio de nono grau pode ser estendida para linhas nessas hipersuperfícies de dimensão superior. Wolfson usou esse método para encontrar fórmulas novas e mais simples para polinômios de certos graus. Isso significa que, mesmo que você não consiga visualizá-lo, você pode resolver um polinômio de 100 graus “simplesmente” encontrando um plano em uma hipersuperfície cúbica multidimensional (47 dimensões, neste caso).
Com este novo método, Wolfson confirmou o valor de Hilbert do grau resolvente para polinômios de nono grau. E para outros graus de polinômios – especialmente aqueles acima do grau 9 – seu método restringe os valores possíveis para o grau resolvente.
Assim, este não é um ataque direto ao 13º de Hilbert, mas sim aos polinômios em geral. “Eles meio que encontraram algumas questões adjacentes e fizeram progresso nelas, algumas delas antigas, na esperança de que isso esclareça a questão original”, disse McMullen. E seu trabalho aponta para novas maneiras de pensar sobre essas construções matemáticas.
Esta teoria geral do grau resolvente também mostra que as conjecturas de Hilbert sobre as equações de sexto, sétimo e oitavo graus são equivalentes a problemas em outros campos aparentemente não relacionados da matemática. O grau de resolução, disse Farb, oferece uma maneira de categorizar esses problemas por um tipo de complexidade algébrica, como se fosse o agrupamento de problemas de otimização em classes de complexidade.
Mesmo que a teoria tenha começado com o 13º de Hilbert, no entanto, os matemáticos estão céticos de que ela possa realmente resolver a questão em aberto sobre polinômios de sétimo grau. Ele fala para grandes paisagens matemáticas inexploradas em dimensões inimagináveis – mas atinge uma parede de tijolos com os números mais baixos e não pode determinar seus graus de resolução.
Para McMullen, a falta de progresso – apesar desses sinais de progresso – é por si só interessante, pois sugere que o problema guarda segredos que a matemática moderna simplesmente não consegue compreender. “Não fomos capazes de resolver esse problema fundamental; isso significa que há uma área escura que não invadimos”, disse ele.
“Resolvê-lo exigiria ideias inteiramente novas”, disse Reichstein, que desenvolveu suas próprias novas ideias sobre como simplificar polinômios usando um conceito que ele chama de dimensão essencial. “Não há como saber de onde virão.”
Mas o trio não se intimidou. “Não vou desistir disso”, disse Farb. “Definitivamente se tornou uma espécie de baleia branca. O que me faz continuar é essa rede de conexões, a matemática que a cerca.”
Publicado em 16/01/2021 11h17
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