Em um dia ameno de outono de 2016, o matemático húngaro Gábor Domokos chegou à porta do geofísico Douglas Jerolmack na Filadélfia. Domokos carregava consigo suas malas, um forte resfriado e um segredo ardente.
Os dois homens atravessaram um terreno de cascalho atrás da casa, onde a esposa de Jerolmack dirigia um carrinho de tacos. Seus pés pisaram em calcário esmagado. Domokos apontou para baixo.
“Quantas facetas cada um desses pedaços de cascalho tem?” ele disse. Então ele sorriu. “E se eu dissesse que o número estava sempre em torno de seis?” Em seguida, ele fez uma pergunta maior, uma que esperava que se infiltrasse no cérebro de seu colega. E se o mundo for feito de cubos?
A princípio, Jerolmack objetou. As casas podem ser construídas com tijolos, mas a Terra é feita de rochas. Obviamente, as rochas variam. Mica se desmancha em folhas; cristais racham em eixos nitidamente definidos. Mas, partindo apenas da matemática, Domokos argumentou, quaisquer rochas que se quebrassem aleatoriamente se quebrassem em formas que têm, em média, seis faces e oito vértices. Considerados juntos, eles seriam aproximações obscuras convergindo em uma espécie de cubo ideal. Domokos provou matematicamente, disse ele. Agora ele precisava da ajuda de Jerolmack para mostrar que isso é o que a natureza faz.
“Era a geometria com uma previsão exata que foi confirmada no mundo natural, essencialmente sem física envolvida”, disse Jerolmack, professor da Universidade da Pensilvânia. “Como diabos a natureza deixou isso acontecer?”
Ao longo dos anos seguintes, o par perseguiu sua visão geométrica de fragmentos microscópicos a afloramentos rochosos a superfícies planetárias e até mesmo ao Timeu de Platão, impregnando o projeto com um ar adicional de misticismo. O filósofo grego fundacional, escrevendo por volta de 360 aC, combinou seus cinco sólidos platônicos com cinco supostos elementos: terra, ar, fogo, água e estrelas. Com previsão ou sorte ou um pouco das duas, Platão emparelhou cubos, a forma mais empilhável, com terra. “Eu estava tipo, oh, OK, agora estamos ficando um pouco metafísicos”, disse Jerolmack.
Mas eles continuaram encontrando médias cubóides na natureza, além de alguns não cubos que poderiam ser explicados com as mesmas teorias. Eles acabaram com uma nova estrutura matemática: uma linguagem descritiva para expressar como todas as coisas se desintegram. Quando o artigo foi publicado no início deste ano, veio com o título de um romance particularmente esotérico de Harry Potter: “O Cubo de Platão e a Geometria Natural da Fragmentação”.
Vários geofísicos contatados pela Quanta dizem que a mesma estrutura matemática também pode ajudar com problemas como a compreensão da erosão de faces de penhascos rachados ou prevenção de deslizamentos de rocha perigosos. “Isso é muito, muito empolgante”, disse o geomorfólogo Mikaël Attal da Universidade de Edimburgo, um dos dois cientistas que revisaram o artigo antes da publicação. O outro revisor, o geofísico de Vanderbilt David Furbish, disse: “Um artigo como este me faz pensar: Posso de alguma forma usar essas ideias?”
Todas as possíveis quebras
Muito antes de vir para a Filadélfia, Domokos tinha questões matemáticas mais inócuas.
Suponha que você fratura algo em muitos pedaços. Agora você tem um mosaico: uma coleção de formas que poderiam ser ladrilhadas sem sobreposições ou lacunas, como o piso de um antigo banho romano. Além disso, suponha que essas formas sejam todas convexas, sem indentações.
Primeiro, Domokos queria ver se a geometria por si só poderia prever quais formas, em média, formariam esse tipo de mosaico. Em seguida, ele queria ser capaz de descrever todas as outras coleções possíveis de formas que você pudesse encontrar.
Em duas dimensões, você pode experimentar sem quebrar nada. Pegue uma folha de papel. Faça uma fatia aleatória que divide a página em duas partes. Em seguida, faça outra fatia aleatória de cada um desses dois polígonos. Repita esse processo aleatório mais algumas vezes. Em seguida, conte e calcule a média do número de vértices em todos os pedaços de papel.
Para um estudante de geometria, prever a resposta não é muito difícil. “Aposto uma caixa de cerveja que posso fazer você derivar essa fórmula em duas horas”, disse Domokos. As peças devem ter em média quatro vértices e quatro lados, calculando a média para um retângulo.
Você também pode considerar o mesmo problema em três dimensões. Há cerca de 50 anos, o físico nuclear russo, dissidente e ganhador do Prêmio Nobel da Paz Andrei Dmitrievich Sakharov levantou o mesmo problema ao cortar repolho com sua esposa. Quantos vértices os pedaços de repolho devem ter, em média? Sakharov passou o problema para o lendário matemático soviético Vladimir Igorevich Arnold e para um estudante. Mas seus esforços para resolvê-lo foram incompletos e foram amplamente esquecidos.
Sem saber desse trabalho, Domokos escreveu uma prova que apontava os cubos como a resposta. Ele queria verificar, porém, e suspeitou que se uma resposta para o mesmo problema já existisse, ela estaria trancada em um volume inescrutável pelos matemáticos alemães Wolfgang Weil e Rolf Schneider, um titã de 80 anos no campo da geometria. Domokos é um matemático profissional, mas até ele achou o texto assustador.
“Encontrei alguém que estava disposto a ler essa parte do livro para mim e traduzi-la de volta para a linguagem humana”, disse Domokos. Ele encontrou o teorema para qualquer número de dimensões. Isso confirmou que os cubos eram de fato a resposta 3D.
Agora, Domokos tinha as formas médias produzidas pela divisão de uma superfície plana ou um bloco tridimensional. Mas então surgiu uma busca maior. Domokos percebeu que também poderia desenvolver uma descrição matemática não apenas de médias, mas de potencialidade: quais coleções de formas são matematicamente possíveis quando algo se desfaz?
Lembre-se de que as formas produzidas depois que algo se desfaz são um mosaico. Eles se encaixam sem sobreposição ou lacunas. Esses retângulos recortados, por exemplo, podem facilmente ser colocados lado a lado para preencher um mosaico em duas dimensões. O mesmo pode acontecer com os hexágonos, em um caso idealizado do que os matemáticos chamariam de padrão de Voronoi. Mas pentágonos? Octógonos? Eles não telham.
Para classificar corretamente os mosaicos, Domokos começou a descrevê-los com dois números. O primeiro é o número médio de vértices por célula. O segundo é o número médio de células diferentes compartilhando cada vértice. Portanto, em um mosaico de ladrilhos de banho hexagonais, por exemplo, cada célula é um hexágono, que tem seis vértices. E cada vértice é compartilhado por três hexágonos.
Em um mosaico, apenas certas combinações desses dois parâmetros funcionam, formando uma faixa estreita de formas que podem resultar de algo se desintegrando.
Mais uma vez, essa faixa completa foi bastante fácil de encontrar em duas dimensões, mas muito mais difícil em três. Os cubos empilham-se bem em 3D, é claro, mas o mesmo acontece com outras combinações de formas, incluindo aquelas que formam uma versão 3D do padrão de Voronoi. Para manter o problema viável, Domokos se restringiu a apenas mosaicos com células ordenadas e convexas que compartilham os mesmos vértices. Por fim, ele e o matemático Zsolt Lángi conceberam uma nova conjectura que esboçou a curva de todos os mosaicos tridimensionais possíveis como este. Eles publicaram na Experimental Mathematics e “então eu enviei a coisa toda para Rolf Schneider, que é claro o deus”, disse Domokos.
“Eu perguntei se ele queria que eu explicasse como eu consegui essa conjectura, mas ele me garantiu que sabia”, disse Domokos, rindo. “Isso significa cem vezes mais do que ser aceito em qualquer jornal”.
Mais importante, Domokos agora tinha uma estrutura. A matemática ofereceu uma maneira de classificar todos os padrões em que as superfícies e os blocos poderiam quebrar. A geometria também previu que se você fragmentasse uma superfície plana aleatoriamente, ela se quebraria em retângulos ásperos, e se você fizesse o mesmo em três dimensões, produziria cubos ásperos.
Mas para que tudo isso importe para alguém que não seja alguns matemáticos, Domokos teve que provar que essas mesmas regras se manifestam no mundo real.
Da Geometria à Geologia
Quando Domokos passou pela Filadélfia em 2016, ele já havia feito algum progresso no problema do mundo real. Ele e seus colegas da Universidade de Tecnologia e Economia de Budapeste reuniram cacos de dolomita erodidos da face de um penhasco na montanha Hármashatárhegy em Budapeste. Ao longo de vários dias, um técnico de laboratório sem pressuposições sobre uma conspiração universal contra cubos contou cuidadosamente os rostos e vértices em centenas de grãos. Na média? Seis faces, oito vértices. Trabalhando com János Török, um especialista em simulações de computador, e Ferenc Kun, um especialista em física de fragmentação, Domokos descobriu que as médias cubóides apareciam em tipos de rochas como gesso e calcário também.
Com a matemática e as primeiras evidências físicas, Domokos apresentou sua ideia a um atordoado Jerolmack. “De alguma forma, ele lançou um feitiço e todo o resto desaparece por um momento”, disse Jerolmack.
Sua aliança era familiar. Anos atrás, Domokos ganhou renome provando a existência do Gömböc, uma curiosa forma tridimensional que gira em uma posição de repouso vertical, não importa como você a empurre. Para ver se Gömböcs existia no mundo natural, ele recrutou Jerolmack, que ajudou a aplicar o conceito para explicar o arredondamento de seixos na Terra e em Marte. Agora Domokos estava novamente pedindo ajuda para traduzir conceitos matemáticos elevados em pedra literal.
Os dois homens estabeleceram um novo plano. Para provar que os cubos de Platão realmente aparecem na natureza, eles precisavam mostrar mais do que apenas um eco coincidente entre a geometria e alguns punhados de rocha. Eles precisavam considerar todas as rochas e então esboçar uma teoria convincente de como a matemática abstrata poderia se infiltrar pela geofísica confusa e chegar à realidade ainda mais confusa.
No início, “tudo parecia funcionar”, disse Jerolmack. A matemática de Domokos previu que os fragmentos de rocha deveriam ser em média cubos. Um número crescente de fragmentos de rocha reais parecia feliz em obedecer. Mas Jerolmack logo percebeu que provar a teoria exigiria o confronto de casos de quebra de regras também.
Afinal, a mesma geometria oferecia um vocabulário para descrever os muitos outros padrões de mosaico que poderiam existir em duas ou três dimensões. No topo de sua cabeça, Jerolmack podia imaginar algumas rochas fraturadas do mundo real que não pareciam retângulos ou cubos, mas ainda podiam ser classificadas neste espaço maior.
Talvez esses exemplos afundassem inteiramente a teoria do mundo do cubo. Mais promissor, talvez eles surgissem apenas em circunstâncias distintas e trouxessem lições separadas para geólogos. “Eu disse que sei que não funciona em todos os lugares e preciso saber por quê”, disse Jerolmack.
Ao longo dos próximos anos, trabalhando em ambos os lados do Atlântico, Jerolmack e o resto da equipe começaram a traçar onde exemplos reais de rochas quebradas se encaixavam na estrutura de Domokos. Quando a equipe investigou sistemas de superfície que são essencialmente bidimensionais – rachando o permafrost no Alasca, um afloramento de dolomita e as rachaduras expostas de um bloco de granito – eles encontraram polígonos com quatro lados e quatro vértices em média, assim como a folha de papel cortada . Cada um desses casos geológicos parecia aparecer onde as rochas simplesmente haviam se fraturado. Aqui as previsões de Domokos se confirmaram.
Outro tipo de placa fraturada, entretanto, provou ser o que Jerolmack esperava: uma exceção com sua própria história distinta para contar. Planícies lamacentas que secam, racham, ficam molhadas, cicatrizam e racham novamente têm células com uma média de seis lados e seis vértices, seguindo o padrão hexagonal de Voronoi. A rocha feita de lava em resfriamento, que se solidifica na superfície, pode assumir uma aparência semelhante.
Notavelmente, esses sistemas tendiam a se formar sob um tipo diferente de tensão – quando as forças puxavam uma rocha para fora, em vez de empurrá-la para dentro. A geometria revelou a geologia. E Jerolmack e Domokos pensaram que esse padrão de Voronoi, mesmo que fosse relativamente raro, também poderia ocorrer em escalas muito maiores do que eles haviam considerado anteriormente.
Contando a Crosta
No meio do projeto, a equipe se reuniu em Budapeste e passou três dias turbulentos correndo para incorporar exemplos mais naturais. Logo Jerolmack criou um novo padrão em seu computador: o mosaico de como as placas tectônicas da Terra se encaixam. As placas estão confinadas à litosfera, uma pele quase bidimensional na superfície do planeta. O padrão parecia familiar e Jerolmack chamou os outros. “Estávamos tipo, oh uau”, disse ele.
A olho nu, as placas pareciam ter se ajustado ao padrão de Voronoi, não ao retangular. Então a equipe contou. Em um mosaico Voronoi perfeito de hexágonos em um plano plano, cada célula teria seis vértices. As placas tectônicas reais tinham em média 5,77 vértices.
Para um geofísico, isso era perto o suficiente para comemorar. Para um matemático, nem tanto. “Doug estava ficando de bom humor. Ele estava trabalhando demais”, disse Domokos. “Eu estava ficando deprimido no dia seguinte, porque só estava pensando na lacuna.”
Domokos foi para casa passar a noite, a diferença ainda o corroendo. Ele anotou os números novamente. E então ele percebeu. Um mosaico de hexágonos pode revestir um avião. Mas a Terra não é um plano plano, pelo menos fora de certos cantos do YouTube. Pense em uma bola de futebol, coberta por hexágonos e pentágonos. Domokos analisou os números da superfície de uma esfera e descobriu que, em um globo, as células do mosaico de Voronoi deveriam ter em média 5,77 vértices.
Essa percepção pode ajudar os pesquisadores a responder a uma grande questão em aberto na geofísica: como as placas tectônicas da Terra se formaram? Uma ideia sustenta que as placas são apenas um subproduto de células de convecção borbulhantes nas profundezas do manto. Mas um campo oposto afirma que a crosta terrestre é um sistema separado – que se expandiu, tornou-se quebradiço e se abriu. O padrão observado de placas de Voronoi, uma reminiscência de planícies de lama muito menores, pode apoiar o segundo argumento, disse Jerolmack. “Isso também me fez perceber a importância desse papel”, disse Attal. “É realmente fenomenal.”
Uma pausa reveladora
Enquanto isso, em três dimensões, as exceções à regra do cubóide eram raras o suficiente. E eles também podiam ser produzidos pela simulação de forças incomuns de atração para fora. Uma formação rochosa distintamente não cúbica encontra-se na costa da Irlanda do Norte, onde as ondas batem contra dezenas de milhares de colunas de basalto. Em irlandês, é Clochán na bhFomhórach, os degraus de uma raça de seres sobrenaturais; o nome inglês é Calçada do Gigante.
Crucialmente, essas colunas e outras formações rochosas vulcânicas semelhantes têm seis lados. Mas as simulações de Torok produziram mosaicos do tipo Calçada do Gigante como estruturas tridimensionais que simplesmente cresceram a partir de uma base de Voronoi bidimensional, ela própria produzida quando a rocha vulcânica esfriou.
Afastando o zoom, a equipe argumenta, você poderia classificar a maioria dos mosaicos de rocha fraturada usando apenas retângulos platônicos, padrões 2D de Voronoi e então – esmagadoramente – cubos platônicos em três dimensões. Cada um desses padrões pode contar uma história geológica. E sim, com as ressalvas apropriadas, você realmente poderia dizer que o mundo é feito de cubos.
“Eles fizeram a devida diligência em vetar suas formas modeladas contra a realidade”, disse Martha-Cary Eppes, uma cientista da Terra da Universidade da Carolina do Norte, em Charlotte. “Meu ceticismo inicial foi dissipado.”
“A matemática está nos dizendo que, quando começamos a fraturar rochas, não importa o que façamos, seja de forma aleatória ou determinística, há apenas um certo conjunto de possibilidades”, disse Furbish. “Quão inteligente é isso?”
Especificamente, talvez você pudesse pegar um local de campo fraturado real, contar coisas como vértices e faces e, então, ser capaz de inferir algo sobre as circunstâncias geológicas responsáveis.
“Temos lugares onde temos dados sobre os quais podemos pensar dessa maneira”, disse Roman DiBiase, geomorfologista da Pennsylvania State University. “Esse seria um resultado muito legal, se você pudesse discernir coisas que são mais sutis do que a Calçada dos Gigantes, e bater em uma pedra com um martelo e ver como são os cacos.”
Quanto a Jerolmack, depois de se sentir incomodado pela primeira vez com uma conexão possivelmente coincidente com Platão, ele passou a abraçá-la. Afinal, o filósofo grego propôs que as formas geométricas ideais são centrais para a compreensão do universo, mas sempre fora da vista, visíveis apenas como sombras distorcidas.
“Este é literalmente o exemplo mais direto em que podemos pensar. A média estatística de todas essas observações é o cubo”, disse Jerolmack.
“Mas o cubo nunca existe.”
Publicado em 22/11/2020 02h05
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