Enquanto estavam presos devido ao COVID-19, Joshua Greene e Andrew Lobb descobriram como provar uma versão do “problema do peg retangular”.
Em meados de março, os matemáticos Joshua Greene e Andrew Lobb se viram na mesma situação: trancados e lutando para se ajustar enquanto a pandemia do COVID-19 crescia do lado de fora de suas portas. Eles decidiram lidar, lançando-se em suas pesquisas.
“Acho que a pandemia foi realmente meio que estimulante”, disse Greene, professor do Boston College. “Cada um de nós decidiu que seria melhor se apoiar em algumas colaborações para nos sustentar”.
Um dos problemas que os dois amigos analisaram foi a versão de uma questão não resolvida de um século em geometria.
“O problema é tão fácil de declarar e tão fácil de entender, mas é realmente difícil”, disse Elizabeth Denne, da Washington and Lee University.
Começa com um loop fechado – qualquer tipo de caminho curvo que termina onde começa. O problema que Greene e Lobb trabalharam prediz, basicamente, que cada caminho desse tipo contém conjuntos de quatro pontos que formam os vértices dos retângulos de qualquer proporção desejada.
Embora esse “problema de peg retangular” pareça o tipo de pergunta que um estudante de geometria do ensino médio possa resolver com uma régua e uma bússola, ele resistiu aos melhores esforços dos matemáticos por décadas. E quando Greene e Lobb decidiram resolvê-lo, eles não tinham nenhum motivo específico para esperar que se saíssem melhor.
De todos os diferentes projetos em que ele estava trabalhando, Greene disse: “Eu pensei que esse era provavelmente o menos promissor”.
Mas, com o aumento da pandemia, Greene e Lobb, da Universidade de Durham, na Inglaterra, e do Instituto de Ciência e Tecnologia de Okinawa, realizavam chamadas semanais sobre o Zoom e tiveram uma rápida sucessão de informações. Então, em 19 de maio, quando partes do mundo estavam começando a reabrir, elas surgiram à sua maneira e publicaram uma solução.
Sua prova final – mostrando os retângulos previstos de fato existe – transporta o problema para um cenário geométrico inteiramente novo. Lá, a questão teimosa cede facilmente.
“É meio estranho”, disse Richard Schwartz, da Brown University. “Foi a idéia certa para esse problema.”
Repensando retângulos
O problema do peg retangular é uma ramificação próxima de uma pergunta feita pelo matemático alemão Otto Toeplitz em 1911. Ele previu que qualquer curva fechada contém quatro pontos que podem ser conectados para formar um quadrado. O seu “problema da pegada quadrada” permanece sem solução.
“É um problema antigo e espinhoso que ninguém conseguiu resolver”, disse Greene.
Para entender por que o problema é tão difícil, é importante saber algo sobre os tipos de curvas de que trata o problema da estaca quadrada, o que também é importante para a prova de Greene e Lobb.
O par resolveu um problema sobre curvas fechadas que são “contínuas” e “suaves”. Contínuo significa que eles não têm intervalos. Suave significa que eles são contínuos e também não têm cantos. Curvas suaves e contínuas são as que você provavelmente desenharia se sentasse com lápis e papel. Eles são “mais fáceis de pôr em nossas mãos”, disse Greene.
Curvas suaves e contínuas contrastam com curvas que são meramente contínuas, mas não suaves – o tipo de curva que aparece na conjectura de peg quadrada de Toeplitz. Esse tipo de curva pode ter cantos – locais onde eles se desviam repentinamente em direções diferentes. Um exemplo proeminente de uma curva com muitos cantos é o floco de neve Koch fractal, que na verdade é feito de nada além de cantos. O floco de neve de Koch, e outras curvas como ele, não podem ser analisados usando cálculo e métodos relacionados, fato que os torna especialmente difíceis de estudar.
“Algumas curvas contínuas [não suaves] são realmente desagradáveis”, disse Denne.
Mais uma vez, o problema que Greene e Lobb resolveram envolve curvas suaves e, portanto, contínuas. E, em vez de determinar se essas curvas sempre têm quatro pontos que formam um quadrado – uma questão que foi resolvida para curvas suaves e contínuas em 1929 – eles investigaram se tais curvas sempre têm conjuntos de quatro pontos que formam retângulos de todas as “proporções” significando as proporções de seus comprimentos laterais. Para um quadrado, a proporção é de 1: 1, enquanto para muitas TVs de alta definição é 16: 9.
O primeiro grande progresso no problema do peg retangular foi feito em uma prova do final da década de 1970 por Herbert Vaughan. A prova iniciou uma nova maneira de pensar sobre a geometria de um retângulo e estabeleceu métodos que muitos matemáticos, incluindo Greene e Lobb, adotaram posteriormente.
“Todo mundo conhece essa prova”, disse Greene. “É o tipo de folclore e o tipo de coisa que você aprende durante uma discussão na mesa do almoço pela sala comum”.
Em vez de pensar em um retângulo como quatro pontos conectados, Vaughan pensou nele como dois pares de pontos que têm uma relação particular um com o outro.
Imagine um retângulo cujos vértices estão rotulados como ABCD, no sentido horário, no canto superior esquerdo. Nesse retângulo, a distância entre o par de pontos AC (ao longo da diagonal do retângulo) é a mesma que a distância entre o par de pontos BD (ao longo da outra diagonal). Os dois segmentos de linha também se cruzam nos pontos médios.
Portanto, se você estiver procurando por retângulos em um loop fechado, uma maneira de buscá-los é procurar pares de pontos que compartilhem essa propriedade: eles formam segmentos de linha de comprimento igual com o mesmo ponto médio. E para encontrá-los, é importante criar uma maneira sistemática de pensar sobre eles.
Este vídeo 3blue1brown demonstra como pensar geometricamente sobre o problema do peg retangular.
Para entender o que isso significa, vamos começar com algo mais simples. Pegue a linha numérica padrão. Escolha dois pontos – digamos os números 7 e 8 – e trace-os como um único ponto no plano xy (7, 8). Pares do mesmo ponto também são permitidos (7, 7). Agora considere todos os pares possíveis de números que podem ser extraídos da linha numérica (é muito!). Se você plotar todos esses pares de pontos, preencha todo o plano xy bidimensional. Outra maneira de afirmar isso é dizer que o plano xy “parametriza”, ou coleta de maneira ordenada todos os pares de pontos na linha numérica.
Vaughan fez algo semelhante para pares de pontos em uma curva fechada. (Como a linha numérica, é unidimensional, somente ela também se curva.) Ele percebeu que se você pegar pares de pontos da curva e os traçar – sem se preocupar com qual ponto é a coordenada x e qual é a y – você não recebe o plano xy plano. Em vez disso, você obtém uma forma surpreendente: uma faixa de Möbius, que é uma superfície bidimensional que possui apenas um lado.
De certa forma, isso faz sentido. Para ver o porquê, escolha um par de pontos na curva e identifique-os como x e y. Agora viaje de x para y ao longo de um arco da curva enquanto viaja de y para x ao longo do arco complementar da curva. Ao fazer isso, você percorre todos os pares de pontos da curva, começando e terminando com o par não ordenado (x, y). Mas, ao fazer isso, você volta para onde começou, apenas com a orientação invertida. Esse loop de pontos desordenados, de orientação invertida, forma o núcleo de uma tira de Möbius.
Essa faixa de Möbius fornece aos matemáticos um novo objeto para analisar, a fim de resolver o problema do peg retangular. Vaughan usou esse fato para provar que todas essas curvas contêm pelo menos quatro pontos que formam um retângulo.
Respostas quadridimensionais
A prova de Greene e Lobb se baseia no trabalho de Vaughan. Mas também combinou vários resultados adicionais, alguns dos quais estavam disponíveis apenas muito recentemente. A prova final é como um instrumento de precisão, que possui a combinação certa de idéias para produzir o resultado desejado.
Um dos primeiros grandes ingredientes de sua prova apareceu em novembro de 2019, quando um estudante de graduação de Princeton chamado Cole Hugelmeyer postou um artigo que apresentava uma nova maneira de analisar a tira de Möbius de Vaughan. Este trabalho envolveu um processo matemático chamado incorporação, no qual você pega um objeto e o transplanta em um espaço geométrico. Greene e Lobb eventualmente pegariam a técnica de Hugelmeyer e a moveriam para outro espaço geométrico. Mas para ver o que eles fizeram, primeiro você precisa saber o que ele fez.
Aqui está um exemplo simples do que é uma incorporação.
Comece com uma linha unidimensional. Cada ponto na linha é definido por um único número. Agora, “incorpore” essa linha no espaço bidimensional – ou seja, apenas faça um gráfico no plano.
Depois de incorporar a linha no plano xy, cada ponto nela é definido por dois números – as coordenadas x e y que especificam exatamente onde está o plano nesse ponto. Dada essa configuração, você pode começar a analisar a linha usando as técnicas da geometria bidimensional.
A ideia de Hugelmeyer era fazer algo semelhante para a faixa de Möbius, mas incorporá-la no espaço quadridimensional, onde ele poderia usar recursos da geometria quadridimensional para provar os resultados que desejava sobre os retângulos.
“Essencialmente, você tem sua faixa de Möbius e, para cada ponto, você dará quatro coordenadas. Você atribui a cada ponto um tipo de endereço no espaço quadridimensional”, disse Lobb.
Hugelmeyer criou esses endereços de uma maneira que seria particularmente útil para o objetivo geral de encontrar retângulos em uma curva. Como em um endereço postal, você pode pensar nele atribuindo a cada ponto da curva um estado, uma cidade, um nome de rua e um número de rua.
Para fazer isso, ele começou com um determinado ponto na faixa de Möbius e olhou para os dois pontos na curva fechada original que representava. Então, ele encontrou o ponto médio desse par de pontos e determinou suas coordenadas x e y. Esses foram os dois primeiros valores no endereço quadridimensional (pense neles como o estado e a cidade).
Em seguida, ele mediu a distância em linha reta entre os dois pontos originais na curva. Esse comprimento se tornou o terceiro valor no endereço quadridimensional (pense nisso como o nome da rua). Finalmente, ele calculou o ângulo formado onde uma linha através dos dois pontos originais encontra o eixo x. Esse ângulo se tornou o quarto valor no endereço quadridimensional (pense nisso como o número da rua). Esses quatro valores informam efetivamente tudo sobre o par de pontos na curva.
O exercício pode parecer complicado, mas pagou dividendos rápidos a Hugelmeyer. Ele pegou a tira embutida de Möbius e girou-a, da maneira que você poderia imaginar segurando um bloco à sua frente e torcendo-o um pouco para a esquerda. A tira girada de Möbius foi deslocada da original, de modo que as duas cópias se cruzaram. (Como a rotação ocorre no espaço quadridimensional, é difícil visualizar exatamente como as duas cópias da faixa Möbius se sobrepõem, mas é matematicamente fácil de acessar.)
Essa interseção foi crítica. Sempre que as duas cópias da faixa de Möbius se sobrepunham, você encontrava dois pares de pontos na curva fechada original que formava os quatro vértices de um retângulo.
Por quê?
Primeiro, lembre-se de que um retângulo pode ser pensado como dois pares de pontos que compartilham um ponto médio e estão a uma distância igual. Esta é exatamente a informação codificada nos três primeiros valores do endereço quadridimensional atribuído a cada ponto na faixa de Möbius incorporada.
Segundo, é possível girar a faixa de Möbius no espaço quadridimensional para que você altere apenas uma das coordenadas no endereço de quatro coordenadas de cada ponto – como alterar os números de ruas de todas as casas de um quarteirão, mas deixar o nome da rua, cidade e estado inalterados. (Para um exemplo mais geométrico, pense em como segurar um bloco à sua frente e deslocá-lo para a direita altera apenas suas coordenadas x, não as coordenadas ye z).
Hugelmeyer explicou como girar a faixa de Möbius no espaço quadridimensional, para que as duas coordenadas que codificam o ponto médio entre pares de pontos permaneçam iguais, assim como as coordenadas que codificam a distância entre pares de pontos. A rotação mudou apenas a última coordenada – aquela que codifica informações sobre o ângulo do segmento de linha entre os pares de pontos.
Como resultado, a interseção entre a cópia girada da faixa de Möbius e o original correspondia exatamente a dois pares distintos de pontos na curva fechada que tinham o mesmo ponto médio e estavam à mesma distância. Ou seja, o ponto de interseção correspondia exatamente aos quatro vértices de um retângulo na curva.
Essa estratégia, de usar uma interseção entre dois espaços para encontrar os pontos que você procura, é usada há muito tempo no trabalho sobre problemas de estacas quadradas e retangulares.
“Onde esses [espaços] se cruzam é onde você tem o que procura”, disse Denne. “Todas essas provas na história do problema da estaca quadrada, muitas delas têm essa ideia”.
Hugelmeyer usou a estratégia de interseção em um ambiente quadridimensional e tirou mais proveito dela do que qualquer um antes dele. A tira de Möbius pode ser girada por qualquer ângulo entre 0 e 360 graus, e ele provou que um terço dessas rotações produz uma interseção entre o original e a cópia girada. Esse fato é equivalente a dizer que, em uma curva fechada, é possível encontrar retângulos com um terço de todas as proporções possíveis.
“Agradecemos a Cole por perceber que você deveria pensar em colocar a tira de Möbius no espaço quadridimensional e ter técnicas quadridimensionais à sua disposição”, disse Greene.
Ao mesmo tempo, o resultado de Hugelmeyer foi provocativo: se o espaço quadridimensional era uma maneira tão útil de atacar o problema, por que seria útil apenas para um terço de todos os retângulos?
“Você deve conseguir os outros dois terços, pelo amor de Deus”, disse Greene. “Mas como?”
Mantenha-o simplético
Mesmo antes de serem bloqueados pela pandemia, Greene e Lobb estavam interessados no problema do estacas retangulares. Em fevereiro, Lobb organizou uma conferência no Instituto de Ciência e Tecnologia de Okinawa, na qual Greene participou. Os dois passaram alguns dias conversando sobre o problema. Depois, eles continuaram a conversa durante uma semana de visitas a Tóquio.
“Não paramos de falar sobre o problema”, disse Lobb. “Íamos a restaurantes, cafés, museus e, de vez em quando, pensávamos no problema”.
Eles continuaram sua conversa mesmo depois de terem sido confinados em suas respectivas casas. A esperança deles era provar que toda rotação possível da faixa de Möbius produzia um ponto de interseção – o que equivale a provar que você pode encontrar retângulos com todas as proporções possíveis.
Em meados de abril, eles apresentaram uma estratégia. Envolveu a incorporação da tira em uma versão especial do espaço quadridimensional. Com uma incorporação comum, você pode colocar o objeto incorporado da maneira que desejar. Pense em incorporar um loop fechado unidimensional no plano bidimensional. O número de maneiras pelas quais você pode fazer isso é tão ilimitado quanto o número de maneiras pelas quais você pode colocar um loop de string em uma tabela.
Mas suponha que a superfície bidimensional na qual você incorporará o loop tenha alguma estrutura. Pense, por exemplo, em um mapa em camadas com setas (chamadas vetores) mostrando em que direção e a que velocidade o vento sopra em cada ponto da Terra. Agora você tem uma superfície bidimensional com informações ou estrutura extra em cada ponto.
Você pode impor a restrição de que o loop fechado unidimensional precisa ser incorporado neste mapa, para que ele sempre siga a direção das setas nas quais está incorporado.
“Sua restrição é que você está tentando fazer uma curva que segue esses vetores”, disse Schwartz. Agora, existem muito menos maneiras de colocar esse loop de string.
Outros tipos de espaços geométricos tornam possível pensar em outros tipos de restrições. O que se mostrou importante no trabalho de Greene e Lobb é chamado de espaço simplético.
Esse tipo de configuração geométrica surgiu no século 19 com o estudo de sistemas físicos como planetas em órbita. À medida que um planeta se move através do espaço tridimensional, sua posição é definida por três coordenadas. Mas o matemático irlandês William Rowan Hamilton observou que, em cada ponto do movimento de um planeta, também é possível colocar um vetor representando o momento do planeta.
Nos anos 80, um matemático chamado Vladimir Arnold elaborou o estudo matemático da geometria simplética. Ele entendeu que os espaços geométricos com uma estrutura simplética se cruzam mais frequentemente em rotação do que os espaços sem essa estrutura.
Isso foi perfeito para Greene e Lobb, que queriam resolver o problema do peg retangular para todas as proporções, provando que uma cópia girada da faixa de Möbius com parâmetros também se interceptava bastante. Então eles começaram a tentar incorporar a tira bidimensional de Möbius no espaço simplético quadridimensional.
“Havia essa visão essencial para analisar o problema da perspectiva da geometria simplética”, disse Greene. “Isso foi apenas um divisor de águas.”
No final de abril, Greene e Lobb haviam determinado que era possível incorporar a faixa de Möbius no espaço simplético quadridimensional de uma maneira que estivesse em conformidade com a estrutura do espaço. Com isso feito, eles poderiam começar a usar as ferramentas da geometria simplética – muitas das quais se relacionam diretamente com a questão de como os espaços se cruzam.
“Se você pode fazer a [faixa de Möbius] seguir regras simpléticas, poderá usar alguns teoremas simpléticos”, disse Lobb.
Greene e Lobb estavam confiantes neste ponto de que poderiam melhorar o resultado de Hugelmeyer – o que significa que poderiam provar que mais de um terço de todas as rotações produzem um cruzamento. Por sua vez, isso significa que retângulos com mais de um terço de todas as proporções podem ser encontrados como pontos em qualquer curva fechada.
“Estava claro que algo iria acontecer quando tivéssemos essa idéia”, disse Lobb.
Mas o resultado foi mais abrangente – e chegou muito mais rápido – do que o previsto. E a razão disso tinha a ver com um objeto matemático peculiar chamado garrafa de Klein, que possuía uma propriedade importante quando considerado no contexto da geometria simplética.
A conexão da garrafa Klein
A garrafa Klein é uma superfície bidimensional que parece um jarro modernista de água. Como a tira de Möbius, ela tem apenas um lado, e você pode fazer uma colando duas tiras de Möbius. Qualquer garrafa de Klein que você possa fazer e colocar em sua mesa, como muitos matemáticos, atravessa por si mesma. Não há como incorporar o frasco de Klein no espaço tridimensional para que ele não se cruze.
“A garrafa de Klein deveria ser uma superfície, mas a alça, para ir de fora para dentro, tem que bater na garrafa”, disse Schwartz.
Nem sempre é esse o caso. No espaço quadridimensional, é possível incorporar a garrafa de Klein para que ela não se cruze. A quarta dimensão fornece espaço extra para manobra, permitindo que a garrafa Klein se evite. É semelhante ao modo como duas pessoas caminhando uma em direção à outra em uma linha unidimensional não podem deixar de colidir, mas duas pessoas se aproximando em um piso bidimensional podem facilmente desviar-se do caminho.
Em maio, Greene e Lobb se lembraram de um fato interessante sobre a garrafa de Klein: é impossível incorporar no espaço simplético quadridimensional para que não se cruze. Em outras palavras, não existe uma garrafa Klein não interconectada que também esteja de acordo com as regras especiais do espaço simplético. Este fato foi a chave para a prova. “Foi a bala mágica”, disse Greene.
Aqui está o porquê. Greene e Lobb já haviam demonstrado que é possível incorporar a faixa de Möbius no espaço simplético quadridimensional de uma maneira que siga as regras do espaço. O que eles realmente queriam saber era se toda rotação da faixa de Möbius cruza a cópia original.
Bem, duas tiras de Möbius que se cruzam são equivalentes a uma garrafa de Klein, que se cruza nesse tipo de espaço. E se você girar uma faixa de Möbius para que a cópia girada não cruze a cópia original, em essência você produziu uma garrafa de Klein que não se cruza. Mas tal garrafa de Klein é impossível no espaço simplético quadridimensional. Portanto, toda rotação possível da faixa incorporada de Möbius também deve se cruzar – o que significa que toda curva suave e fechada deve conter conjuntos de quatro pontos que podem ser unidos para formar retângulos de todas as proporções.
A conclusão, no final, chegou como uma avalanche.
“É como instalação, instalação, instalação e, em seguida, o martelo cai e a prova é concluída”, disse Denne.
A prova de Greene e Lobb é um bom exemplo de como a solução de um problema geralmente depende de encontrar a luz certa para considerá-lo. Gerações de matemáticos não conseguiram entender essa versão do problema do pino retangular porque tentaram resolvê-lo em configurações geométricas mais tradicionais. Depois que Greene e Lobb o levaram ao mundo simplético, o problema cedeu com um sussurro.
“Esses problemas que estavam sendo discutidos nas décadas de 1910 e 1920, eles não tinham a estrutura certa para pensar sobre eles”, disse Greene. “O que estamos percebendo agora é que eles são realmente encarnações ocultas de fenômenos simpléticos”.
Publicado em 27/06/2020 09h23
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